[数学][期末]四川省泸州市合江县2023-2024学年高一下学期期末联合考试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]四川省泸州市合江县2023-2024学年高一下学期期末联合考试试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】因为，
所以集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，
所以集合的个数为.
故选：C.
2. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不等式成立的一个充分不必要条件是，
是的必要不充分条件，是的非充分非必要条件，
是的充分必要条件.
故选：A.
3. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，因为，
所以.
故选：B.
4. 若角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为角的终边过点，所以，
所以.
故选：A.
5. 幂函数在上单调递减，则等于（ ）
A 3B. －2C. －2 或3D. －3
【答案】B
【解析】为幂函数，，或，当时，，
在单调增，当时，，在单调减．
故选：B.
6. 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c，k为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×105 Pa，在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105 Pa，则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93)（ ）
A. 9.4×104 PaB. 9.4×106 Pa
C. 9×103 PaD. 9×105 Pa
【答案】A
【解析】依题意得：1.01×105＝ce0＝c，090×105＝ce1 000k，因此e1 000k＝≈0.89，
因此当x＝600时，y＝1.01×105e600k＝1.01×105(e1 000k)0.6＝1.01×105×0.890.6≈9.4×104.
故选：A.
7. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C.
8. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数在上单调递增，故，
又因为的值域为，则需满足，
，解得.
故选：B.
二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A 若，则或
B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C. 若，则的模为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
【答案】BD
【解析】对A，由，可得，且，故A错误；
对B，若点的坐标为，则故对应的点的坐标为，
在第三象限，故B正确；
对C，若，则的模为，故C错误；
对D，设，若，则，
则点的集合所构成的图形的面积为，故D正确．
故选：BD．
10. 已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（ ）
A. 的定义域为
B. 当时，取得最大值
C. 当时，的单调递增区间为
D. 当时，有且只有两个零点和
【答案】BCD
【解析】由图得，且位于增区间上，所以，
又因为，所以，，
则，得，所以，
所以，
由图可知，原点右侧的第二个零点为，
所以的定义域为，故A错误；
当时，，
因为为最大值，则当时，取得最大值，故B正确；
当时，令，则，
又因为，所以当时，的减区间为，
因为函数为偶函数，所以当时，的单调递增区间为，
故C正确；
当时，，令，
得或，则或，
因为函数为偶函数，所以当时，有且只有两个零点和，
故D正确.
故选：BCD.
11. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，点在对角线上，则（ ）
A. 的最小值为
B. 三棱锥体积为
C. 点到平面的距离为
D. 四面体外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】根据题意，可作图如下：
对于A，在正方体中，易知平面，
因为平面，所以，
将点绕旋转得到，使共面，如下图：
易知，在中，易知，
由余弦定理，
，
则，故A正确；
对于B，在正方体中，平面，
在三棱锥中，以为底面，则为其高，
因为，易知为等腰直角三角形，且分别为的中点，
所以，且到距离为，
所以，故B正确；
对于C，在中，易知，则，
在中，易知，则，
在中，易知，则，
在中，由余弦定理，，
则，所以，
点到平面的距离为，故C不正确；
对于D，取的中点，易知为的外接圆圆心，连接，
作，取，连接，如下图：
因为，所以平面，由为的外接圆圆心，
则可设为三棱锥的外接球球心，即，
因为，所以易知四边形为矩形，则，
在中，，易知，
则，
在中，由余弦定理得：，
在中，，
在中，，
则，解得，则球的表面积为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
12. 若复数是纯虚数，则__________.
【答案】
【解析】由题意，
由于为纯虚数，所以，，故.
故答案为：.
13. 已知，则等于____________．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
14. 已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】取的中点，连接，则，
所以，
当且仅当时，有最小值，则有最小值，
此时菱形的面积，
最小值为，
因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值，
的取值范围为.
故答案为：.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
（1）若，求的值；
（2）设，，，，求的值.
解：（1）因为，所以，
又因为为的中点，所以，
所以，
又，所以.
（2）因为，，，，
所以，，
又因为，所以，
又因为，，三点共线，所以，即.
16. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的取值范围．
解：（1）由图象可知，，，
设最小正周期为，，∴，
∴，
又∵，且，
∴，，∴，
∴函数的解析式为.
（2）当时，，，
∴函数的取值范围是.
17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
在中，角，，的对边分别为，，，且___________，.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解：（1）若选择条件①：
因为，
所以，
由正弦定理得，
即，
因为，所以，
所以，所以.
若选择条件②：
由得，
由余弦定理得，所以，
所以，
所以，因为，所以.
若选择条件③：
由题意，
因为，
所以. 解得(舍)或，
因为，所以.
（2）因为，所以，
所以，
因为，，，
由正弦定理得，所以，
所以的面积.
18. 如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求异面直线与所成角的大小.
（3）求直线与平面所成角的正切值.
解：（1）如图，连接交于点，
因为，分别为，的中点，所以，
因为平面，且平面，
所以平面.
（2）因为，且，易得，
则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角），
因为，所以，
即与所成角的大小为.
（3）连接，过作于点，
因为平面，且平面，
所以，又且，
所以平面，
因为平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，
所以直线与平面所成角为（或其补角），
因为正方体的边长为1，所以，，
所以.
19. 已知函数是奇函数.（e是自然对数的底）
（1）求实数k的值；
（2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.
解：（1）因为是奇函数，且定义域为R，所以，
即，解得.经检验，此时是奇函数，
所以.
（2）由（1）知，
由时，恒成立，得，
因为，所以，
设，
因为，当且仅当时，等号成立，又，所以，
故，
所以.
（3）由题意得：，
不妨设，
以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且，
以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，
得恒成立，
因为，仅当a=b时前一个等号成立，
所以，即，于是n的最大值为.