四川省泸州市泸县普通高中共同体2024-2025学年高二下学期期中联合考试数学试卷（解析版）

这是一份四川省泸州市泸县普通高中共同体2024-2025学年高二下学期期中联合考试数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了 已知直线l， 曲线在点处的切线方程为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置.
2.选择题答案使用铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效.
3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效.
第I卷（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在数列中，，且，则等于（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 16
【答案】C
【解析】因为，，所以为公比为2的等比数列，
所以.
故选：C
2. 双曲线一条渐近线斜率可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的渐近线的斜率为或.
故选：C
3. 抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则点的横坐标为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】抛物线的焦点，设点的横坐标为，
由得,
故选：A.
4. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
【答案】B
【解析】
.
故选：B.
5. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点,则（ ）
A. B. 5C. D. 10
【答案】C
【解析】圆C：的圆心，半径，
圆心C到直线l的距离，
所以.
故选：C
6. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得最大值
B. 在区间上单调递减
C. 在处取得极大值
D. 在区间上有2个极大值点
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知：
故选：C
7. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由求导得，则，而，
所以所求切线方程为.
故选：A
8.任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1；若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈,这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
,
可知数列可看作从第8项起以3为周期的数列，
因为，
所以，
故选：B
二、多选题：本题共3.小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 取最小值时
C. 数列是等差数列D.
【答案】ACD
【解析】对于A，当时，，
而满足上式，因此，A正确；
对于B，由选项A知，数列单调递增，由，得，
即数列前5项均为负数，
第6项为0，从第7项起为正数，取最小值时或，B错误；
对于C，，数列是等差数列，C正确；
对于D，
，D正确.
故选：ACD
10. 某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组，，…，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（ ）
A. 第一组的频率为0.1
B. 该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25
C. 如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量（吨）的最低标准的估计值为2.7
D. 在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4
【答案】BCD
【解析】对于A，第一组的频率为，A错误；
对于B，样本数据在区间的频率最大，该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25，B正确；
对于C，样本数据小于2.5的频率，
样本数据小于3的频率，
，由，解得吨，
因此月均用水量的标准定为吨，C正确；
对于D，月均用水量在的人数为：人，记为，，
月均用水量在的人数为：人，记为，，，，
从此人中随机抽取两人所有可能的情况有：,,,,,,,,,,,,,,，共种，
其中月均用水量都在的情况有：,,,,,，共种，
因此两人月均用水量都不低于吨的概率：，D正确.
故选：BCD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减，则
B. 当时，若有2个零点，则实数或
C. 当时，若，则
D. 若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则
【答案】ABD
【解析】对于A，由函数在上单调递减，
得，，
则，而函数在上单调递增，当时，，因此，A正确；
对于B，当时，，当或时，；
当时，，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
又有2个零点，因此或，即或，B正确；
对于C，由选项B知在上单调递增，，则，C错误；
对于D，
，则函数的图象关于点成中心对称，
由直线与曲线有3个不同的交点，且，得点，
即，，D正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的导函数为，则______.
【答案】
【解析】，
则.
故答案为：.
13. 记为等差数列的前项和，若，则________.
【答案】63
【解析】因为数列为等差数列，则由题意得，
解得，所以.故答案为：63.
14. 在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值______________.
【答案】
【解析】由整理得，即，又，
故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，可得,
不等式，可化为，
令，当时，；
当时，，，
故当时，单调递减，故，
综上，，
所以，故最小值为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求在区间上的最大值.
解：（1）函数的定义域为R，
求导得，
当或时，；
当时，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）得函数在上单调递增，
在上单调递减，
而，则，
所以在区间上的最大值为.
16. 如图，在三棱柱中，平面，是边长为2的正三角形，，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角余弦值.
解：（1）在三棱柱中，由底面,平面，得，
由为等边三角形，为的中点，得，
而平面，所以平面.
（2）取中点，连结，由为的中点，得，
由（1）知平面，平面，则，而，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
，，设平面的法向量，
则 ，令，得，而，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的余弦值为.

17. 已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，记数列前项和.
解：（1）由已知得，
由得，
即，又，
所以数列是以为首项为公差的等差数列，
，
即；
（2）由（1），
所以
；
（3）因为，
所以，
，
两式相减可得
，
可得.
18. 已知函数．
（1）讨论单调性；
（2）当时，证明；
（3）若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．
解：（1）由题意得：定义域为，；
当时，，，在上恒成立，
在上单调递增；
当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知：；
要证，只需证，
即证；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
又，，即.
（3）不妨设，则由得：，
即，
令，则在上单调递增，
在上恒成立，
即，又，；
令，则，
令，解得：（舍）或，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，
解得：；
的取值范围为.
19. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）.
（1）求曲线的方程；
（2）为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点.
（i）证明：点在定直线上；
（ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
解：（1）设点的坐标为，由轴于，为线段的中点，得点，
由点在圆上，得，即，
所以点的轨迹的方程是.
（2）（i）由（1）不妨令，直线不垂直于轴，
设直线，，
由，得，由，得或，
则，，
直线方程为，直线方程为，
联立消去，得，
解得，所以点在直线上.
（ii）由，得，
则点在以为直径的圆上，
设，则，
解得，即，
于是直线的方程为，
由消去得，
而点横坐标为，
则点横坐标，纵坐标，
所以直线的斜率.

0
0
非负
递增
极大值
递减
极小值
递增