山东省济南市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省济南市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列函数在其定义域上是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，的定义域为，，且，而，所以A错误；
对于B，是幂函数，定义域为0,+∞，因为，所以在其定义域是减函数，所以B正确；
对于C，是幂函数，定义域为，因为，所以在其定义域是增函数，所以C错误；
对于D，显然是定义在R上的增函数，所以D错误.
故选：B.
2. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，
所以，，
故选：A.
3. 已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为是幂函数，所以，
因此，所以是定义在上的增函数，
又因为，所以，解得，
故选：A.
4. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确.
故选：D
5. 已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，，则，，，，，
对于A，，所以，选项A错误；
对于B，，所以，选项B错误；
对于C，，所以，选项C错误；
对于D，，所以，选项D正确.
故选：D.
6. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过x的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.某校要召开学生代表大会，规定各班每8人推选一名代表，若某班人数除以8的余数大于5时该班再增选一名代表.那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为余数大于5进1，相当于大于等于6时进1，
所以加2即可即.
故选：C
7. 若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，，可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立．
因为不等式有解,
所以，解得或，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
8. 设集合，，函数已知，且，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】结合函数图象，
当时，则，
又因为，所以结合图象得，故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，在上的值域是的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】函数在上单调递增，所以，值域为，选项A正确；
函数，当时，，所以选项B错误；
函数在上单调递增，所以，值域为，选项C正确；
函数当时，，所以选项D错误.
故选：AC.
10. 已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（ ）
A. 为偶函数
B. 若，则
C.
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】令，由，得，解得，则，
对于A，，为偶函数，A正确；
对于B，，，B错误；
对于C，，
当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，由选项C知，，
解得，D正确.
故选：ACD
11. 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数，则以下说法正确的是（ ）
A.
B. 对任意的，
C. 若对任意实数x，，则实数a的取值范围是
D. 若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A，，所以选项A错误；
对于B，，因为，所以，当且仅当x=1时，等号成立，所以选项B正确；
对于C，，
所以，
所以对任意实数x恒成立，
所以，所以，故选项C正确；
对于D，存在，使，所以，
因为在为单调增函数，
所以，所以，所以，所以选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的图象关于1,2对称，且，则________.
【答案】1
【解析】法一：如图，点关于点对称，
则，解得，即.
法二：因为函数的图象关于对称，
所以，
令，得，
由，解得.
法三：由知的图象过点，
又函数的图象关于对称，
则，解得；
由，解得，
所以.
故答案为：1
13. 已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为________.
【答案】
【解析】由解集的形式可知2，3为对应方程的两根，且，
从而
则，所以，
即，解得.
故答案为：.
14. 已知，，且，则的最小值为________.
【答案】或6.25
【解析】由，当且仅当时等号成立，
由于，当且仅当时等号成立，
对勾函数在上单调递减，
可知当，即时取得最小值.
所以的最小值.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，若：，：.
（1）写出q的一个充分不必要条件；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
解：（1）由：，得，解得，
命题：
从而的一个充分不必要条件是(只要是集合的真子集即可).
（2）命题：，即，
由于，从而，则，
由于p是q的必要不充分条件，从而⫋，
所以，解得，所以.
当时，，满足⫋.
综上可知，实数的取值范围是.
16. 已知函数的图象过点，且满足．
（1）求函数的解析式：
（2）求函数在上的最小值；
解：（1）函数满足，则函数的图象关于对称，可得，解得，即，
又由函数的图象过点，可得，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为，
当时，可得在区间上单调递增，所以；
当时，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
当时，可得在上单调递减，所以，
所以函数在上的最小值.
17. 已知甲产品在30天内（包括第30天），销售价格为12元/件，日销售量（单位：件）与第x天的部分数据如下表所示：
给出下列三个函数模型：①；②；③
（1）请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的函数关系，并求出该函数的解析式及定义域.
（2）若乙产品在这30天内（包括第30天）的日销售收入（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，根据（1）中所求函数求这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数.
解：（1）由表格中的数据知，当时间x增加时，先增后减，
而①③函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，
所以选择模型②：.
由，可得，解得，
所以.
由
解得，
所以，
定义域为.
（2）因为甲产品的日销售收入不少于乙产品的日销售，
所以，
所以，
所以，所以，
解得，
因为，
所以这30天内甲产品的日销售收入不少于乙产品的总天数为11天.
18. 已知定义在上的函数，满足对任意的，都有.当时，，且.
（1）求；
（2）求证：在上是增函数；
（3）解关于x的不等式.
（1）解：令，所以.
（2）证明：任取，且，
因为，
所以，
因为时，，所以，
所以，即，
所以在上是增函数.
（3）解：，
所以，
则，
因为，所以，
所以，所以，
由（2）得在上是增函数，
所以，即，
所以，
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得或；
当时，解得；
当时，解得或；
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
19. 已知集合，若数组，满足：①；②；则称集合为“漂亮集合”，并称为的“配对数组”.
（1）已知，，若是的一个“配对数组”，写出a，b，c的值；
（2）判断是否是“漂亮集合”，并证明你的结论；
（3）若集合是“漂亮集合”，证明：集合的“配对数组”为偶数个.
（1）解：根据条件②，，，，6-2=4，所以，
剩下的数字是3和5.根据条件①，得，由，所以，
综上，，，.
（2）解：写法一：
，若是“漂亮集合”，
则的任意一个配对数组的所有元素之和为，
又，
（方法一）上述两式相加，得，
所以，与矛盾；
从而，所以不是“漂亮集合”.
（方法二）上述两式相减，得，
所以，与矛盾.
从而，所以不是“漂亮集合”.
写法二：
首先分析这个新定义满足的一些性质：
由①，的任意一个“配对数组”的所有元素之和.
又，可得，
所以由②，得.
所以.
即.
当时，，与矛盾；
所以不是“漂亮集合”.
写法三：
如果是“漂亮集合”，由题意得：
，，
两式相加，得，
即，从而当时，，与矛盾；
所以不是“漂亮集合”.
（3）证明：写法一：
证明：假设，是的一个“配对数组”，
设，，定义，，
由于满足条件①，所以也满足条件①.
又因为对于，，
所以也满足条件②.
因此，也是“配对数组”.
这样，对的每一个“配对数组”，通过上述操作，总可以找到另一个“配对数组”与之对应.
下面证明这种对应是唯一的：
一方面，因为，，
所以；
另一方面，假设，因为，所以，所以，
与矛盾，所以与是不同的数组.
所以与产生了一一对应关系.
故集合的“配对数组”必有偶数个.
写法二：
由题设，对集合的任意一个“配对数组”，作的对偶数组，
其中，，且，，显然也是的一个“配对数组”，且如果，则.
再证.事实上，假如，则由，从而可得，矛盾.
从而，的所有“配对数组”可分成若干个对偶组，每组两个.
因此，的“配对数组”有偶数个.
5
15
18
22
26
30
35
45
48
48
44
40