山东省济南市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省济南市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数满足（i是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
2．某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为．现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研．已知从高一抽取的人数为30，则从高三抽取的人数为（ ）
A．45B．60C．90D．135
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．2
4．已知是两条直线，是三个平面，则正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（ ）（参考数据：）
A．30米B．35米C．45米D．70米
6．用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为10，则（ ）
A．B．C．D．
7．抛掷枚质地均匀的硬币，恰有枚正面朝上的概率为（其中），则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（ ）
A．B．众数是230
C．中位数是210D．跳远距离在区间的人数为168
10．已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的一动点，且满足//平面，则（ ）
A．点到平面的距离为定值
B．存在点，满足
C．二面角的取值范围为
D．过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为
三、填空题
12．已知圆台的上底面半径和母线长均为2，下底面半径为3，则圆台的体积为 ．
13．若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为 ．
14．设Ox，Oy是平面内的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若，则把有序数对叫做向量在坐标系Oxy中的坐标．已知，，对任意，恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题
15．袋中有5个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球．
(1)求至少一个是白球的概率；
(2)设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由．
16．已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点．
(1)证明：平面；
(2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值．
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求角B的大小；
(2)若为锐角三角形．
（ⅰ）求角A的取值范围；
（ⅱ）设，求面积的取值范围．
18．某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）：
(1)计算该组数据的平均值和方差；
(2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选：
①记（其中s为样本标准差，，）；
②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效．
（ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）；
（ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由．
（参考数据：）
19．在数学上用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体某顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中面角是多面体的面的内角（角用弧度制表示）．例如：对于正四面体任意一个顶点，每个面角均为，所以正四面体在该顶点的曲率为．
(1)如图1，该多面体由边长相等的10个正三角形和2个正五边形围成，任取一顶点，求该点的曲率；
(2)如图2，在正三棱台中，，，点A与处的曲率之差为π．若D为侧面（含边界）内一动点，且直线BD与平面所成角的正切值为2，求动点D的轨迹长度；
(3)某多面体由边长相等的个正三角形和个正五边形围成，若各顶点的曲率之和为4π，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同（图3为满足条件的两个多面体示例），求该多面体面数的所有可能取值．
1．C
由复数除法运算即可求解.
【详解】由题意.
故选：C.
2．B
根据分层抽样的基本原则，计算各层人数即可.
【详解】设高三抽取的人数为，则由分层抽样可知，解得：.
故选：B.
3．A
由向量垂直列方程求解即可.
【详解】已知，则，解得.
故选：A.
4．C
根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，若，则或异面，故A错误，
对于B，若，则或相交，故B错误，
对于C， 若，则，C正确，
对于D， 若，则或，故D错误，
故选：C
5．B
由题意可得在中，，在中，再结合正弦定理可得，从而可求解.
【详解】由题意可得在中，，
在中，，则由正弦定理可得，
即，解得千米，故B正确.
故选：B.
6．A
根据斜二测画法的规则，由直观图画出原图，得到，，求得，进而得到的长.
【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，可由直观图画出原图，
因为，可得，所以，即，
则，所以.
故选：A.
7．D
由古典概型的概率计算公式分别计算的值，从而得到结果.
【详解】由题意，当时，；当时，；当时，.
所以.
故选：D.
8．B
利用面积比可得，结合等面积法可得,即可利用向量的模长求解.
【详解】由,
由于，则,,
因此,
又,
化简得，
故,
因此,
故选：B
9．AB
对于A，由各个矩形面积之和为1列方程验算即可；对于B，只需看最高矩形的中间值即可；对于C，由中位数的定义即可验算；对于D，由对应的频率乘以总人数即可验算.
【详解】对于A，由图可知，，解得，故A正确；
对于B，右图可知，最高的矩形是区间所对应的矩形，所以众数是230，故B正确；
对于C，第一组的频率为，第二组的频率为，
第三组的频率为，第四组的频率为，
而，
从而中位数在区间内，设中位数为，
则，解得，故C错误；
对于D，跳远距离在区间的人数为，故D错误.
故选：AB.
10．BCD
分别计算出，再结合古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】由题意，
所以，，.
故选：BCD.
11．ABD
取中点，中点，连接，连接，，，，证明点的轨迹为，再结合，可对A判断；当点为的中点时可证平面，从而可对B判断；利用几何法作出就是二面角的平面角，分析点在运动时变化情况，可对C判断；求出正方体外接球的半径，且当点位于或时，离球心的距离最远，从而可对D判断求解.
【详解】取中点，中点，连接，连接，，，，
则，，所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，且，
又因为，，所以，
又因为平面，，平面，
所以平面，因平面，所以平面，
所以点的轨迹为.
A：由上可求得，可得为定值，故A正确；
B：作且交的中点，连接，因为平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又因为，所以平面，又平面，所以，
所以当点于点重合时，满足，故B正确；
C：连接，，作且交于点，作且交于点，
由平面，平面，则，
又，平面，所以平面，又平面，
所以，所以就是二面角的平面角，
即，因点的轨迹为，结合图形当点从到的过程中是逐渐增大的，
当点位于处，此时，则，求得，
当点位于的中点处时，，，则，
当点位于处时，，，则，
综上所述：取不到，故C错误；
D：正方体的外接球的半径为，
当点在或处时，正方体的中心（即外接球球心）离点距离最远为，
此时以点为截面圆心，截面圆半径最小为，所以截面面积的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
12．
由圆台的性质先求出高，再代入体积公式计算可得结果.
【详解】如图是圆台的轴截面，圆台的上下底面圆的半径分别为2和3，母线长为2，设圆台的高为，
则，解得：，
所以圆台的体积.
故答案为：
13．/
根据可得z的轨迹为以为圆心，以3为半径的圆，表示点到的距离，结合几何意义可得结果.
【详解】设，因为即，
所以z的轨迹为以为圆心，以3为半径的圆，
所以，其表示上述圆上的点到点的距离，
所以其最大值为到的距离加半径，为.
故答案为：.
14．
根据题意将，转化成用基底表示的形式，进一步可求出，根据恒成立求解的取值范围即可.
【详解】，.
，.
，，
.
对任意，恒成立.
.
.
，
.
解得：.
；.
即的取值范围为.
15．(1)
(2)A与B是相互独立的，理由见解析
（1）由对立事件概率公式、独立乘法公式即可求解；
（2）由古典概型概率计算公式和独立事件的定义求解即可.
【详解】（1）由于有放回地依次随机摸出两个小球，所以每次摸球的结果互相独立，
故至少一个是白球的概率为；
（2）因为事件A为“第一次是白球”，
事件B为“两个小球的编号之和为6”，即为
所以事件为“第一次编号为1且第二次编号为5”或者“第一次编号为2且第二次编号为4”，
所以，
注意到，
所以，
而，
从而，
所以A与B是相互独立的.
16．(1)证明见解析
(2)
（1）根据中位线以及平行四边形的判定可证明为平行四边形，即可由线面平行的判定求解，
（2）根据平行可得或其补角即为直线CN与AM所成角，即可利用三角形的边角关系求解.
【详解】（1）取的中点为，连接,
由于是中点，故,且，
又且，
故,则四边形为平行四边形，
故平面, 平面,
故平面
（2）由（1）知：故或其补角即为直线CN与AM所成角，
由于为边长为2的等边三角形，故，
,
故,
故直线CN与AM所成角的余弦值为
17．(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）
（1）由正弦定理边化角，结合正弦和角公式即可求解；
（2）（ⅰ）由锐角三角形的定义列不等式组即可求解；
（ⅱ）由三角形面积公式、正弦定理得到，结合角A的取值范围，即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
而，从而，所以，
又因为，所以；
（2）（ⅰ）显然是锐角，
需满足，解得，
故角A的取值范围为；
（ⅱ）因为，，所以，
由正弦定理有，所以，
所以，
因为角A的取值范围为，
所以的取值范围为，的取值范围为，
的取值范围为，的取值范围为，
故.
18．(1)平均数为210，方差为3.6
(2)（ⅰ）为无效数据，（ⅱ）1个，理由见解析
（1）根据平均数和方差的计算公式即可求解，
（2）（ⅰ）（ⅱ）根据的计算公式，与的值比较即可求解
【详解】（1）平均数,
方差
（2）（ⅰ）由可得，
故是无效数据，
（ⅱ）由表中数据可知：故此时可得，
此时
此时，
故，，，均为有效数据，
由（ⅰ）知是无效数据，因此无效数据只有1个
19．(1)
(2)
(3)12，32和92
【详解】（1）该多面体任取一顶点连接3个正三角形和1个正五边形，则该点的曲率为.
（2）梯形性质分析​：由于梯形是等腰梯形，处的内角互补.
设梯形在的内角为，在的内角为，则.
但是根据曲率差的条件，.
解方程组：.​
从点向下底作垂线，交于，上下底中点分别为.
由于上底，下底，
∴，∴，
设上下底面的中心分别为，在下底面内的射影为，则分别在上，
且，
计算得，
，
，
，
∴为的交点，由于∴，
∴点D的轨迹为如图所示的以为圆心，以为端点，半径为圆弧，
轨迹的长度为.
（3）​多面体由个正三角形和个正五边形组成，边长相等，各顶点曲率之和为4π.
每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同（顶点传递性）.
​欧拉公式​：对于凸多面体，欧拉公式，其中是顶点数，是边数，是面数.这里.
​曲率总和​：根据题目，曲率总和为.
​顶点均匀性​：题目要求每个顶点相同，意味着多面体是顶点传递的，且每个顶点周围的配置相同.
​面角计算​：正三角形的内角为，正五边形的内角为.
​顶点曲率​：设每个顶点周围有个正三角形和个正五边形.
由于顶点相同，所有顶点配置相同，面角总和为，曲率为.
​顶点数​：由于所有顶点相同，曲率总和为，因此，.
​边数计算​：每个正三角形有3条边，每个正五边形有5条边，但每条边被两个面共享，总边数.
​顶点配置​：由于多面体是顶点传递的，每个顶点有相同的边数（即相同的面数）.
设每个顶点周围有个面，.
由于每条边连接两个顶点，，但是，，因此，.
​结合欧拉公式​：，得.
​解方程组​：我们有以下方程：
，
，
，
，
由于每个顶点相同，我们需要考虑可能的值.
​枚举值​：常见的多面体顶点面数满足，
∴只能为3，4，5等.
​​：.
可能的组合：：解得，，不满足题目要求；
：2个三角形和1个五边形，得，非整数，舍去.
：1个三角形和2个五边形，得，非整数，舍去.
：全五边形，不可能，因为三个五边形无法闭合（）.
：：全三角形，如八面体，解得，，舍去.
：3个三角形和1个五边形，解得.
现在，.
.
解方程组： ，
解得：.
因此，.
：2个三角形和2个五边形，得.
，



.
：1个三角形和3个五边形.
，舍去.
：全五边形，不可能.
​：
：4个三角形和1个五边形.
.
.

，
∴
∴.
：3个三角形和2个五边形.
，舍去.
其他组合导致为负数或非整数.
​：，方程组无解.
因此，多面体面数的所有可能取值为12，32和92.211
209
210
208
210
210
209
208
210
215
对照表
n
3
4
5
6
7
8
9
10
1.16
1.48
1.72
1.89
2.02
2.13
2.22
2.29
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
C
B
A
D
B
AB
BCD
题号
11









答案
ABD