山东省齐鲁名校2025届高三联考四数学试卷（解析版）

这是一份山东省齐鲁名校2025届高三联考四数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知复数满足为虚数单位，则， 已知向量，，若，则等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得，故，
由可得，则，
所以.
故选：D.
2. 已知复数满足为虚数单位，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】由，得，
所以.
故选：A
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为向量，，所以和，
所以，解得或.
故选：B.
4. 点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如下图：
不妨设椭圆的方程为，椭圆的上顶点为.
因为椭圆上存在点，使得，所以需；
在中，由余弦定理得，
又，化简得.
同理可得，椭圆焦点在轴上时，也有，经检验可知选项B满足.
故选：B.
5. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，得圆锥形容器的底面半径，高.
因为边长为的正三角形的内切圆半径，所以轴截面是边长为的正三角形的圆锥的内切球半径为1，
所以小球与容器的侧面，底面均相切.
要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，所以只需小球与小球，
圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时，
所以小球的体积与容器体积之比的最大值为.
故选：A.
6. 若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为，给出下面两个条件：条件单调递减且；条件单调递增且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中，正确的是（ ）
A. 只有是B. 只有是
C. 和都是D. 和都不是
【答案】C
【解析】对于，当时，，
因为单调递减且，所以，
故存在且，对任意的，
均有即成立，
所以是函数具有性质的充分条件；
对于，当时，，
因为单调递增，所以恒成立，
故存在，且，
对任意的，均有成立，
所以也是函数具有性质的充分条件.
故选：C.
7. 某导航通讯的信号可以用函数近似模拟，若方程在上有3个根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方程在上有3个根，即在上有3个根，也即是与的图象在上有3个交点，
令，因为，所以.
由题意得，函数的图象与直线有三个交点，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：A.
8. 已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以.
令，整理得，由题意得此方程有两个不同的解；
设，则函数的图象与直线有两个交点；
易知，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，其图象如下图所示：
又当时，，当时，，
当趋近于时，趋近于0，所以，解得，
即实数的取值范围是，
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知三个正态密度函数的图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则存在实数，使得
【答案】CD
【解析】根据正态曲线关于直线对称，且越大曲线越靠右，则，故A错误；
又越小，数据越集中，正态曲线越瘦高，则，故B错误；
，
则，
所以，故C正确；
由三个正态密度函数的图象可知，存在实数，使得，故D正确；
故选：CD．
10. 南北朝时期杰出的数学家，天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，定义函数，下列有关函数的结论中，正确的是（ ）
A. 方程的解集为
B. ，使得，都有
C. 当时，
D. 若，函数为常数函数，则的最小值为7
【答案】AD
【解析】因为，
且，
所以函数的值域为.
对于A，由题意得，
，
，
考虑到当时，，
则方程的解集为，故A正确.
对于B，当时，，从而，都有，故B错误，
对于C，因为，所以，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
所以当或时，取得最小值7，故C错误，
对于D，由题意得
，
若要使函数为常数函数，则，
对于任意的，则，
又由题意得，
，
，
，
则的最小值为7，故D正确.
故选：AD.
11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A. 平分
B.
C. 直线，直线与抛物线的准线相交于同一点
D. 点是轴上一动点，当最小时，点的坐标为
【答案】ACD
【解析】如图，由抛物线，得其焦点为，准线方程为.
由抛物线的光学性质得轴，直线过点轴.
因为，所以，即，代入，得，则，
所以直线的斜率，故直线的方程为，即.
由，解得，或，所以.
对于A，，故，所以.
又因为轴，轴，所以，故，
所以，即平分，故A正确.
对于B，因为，所以，故B错误.
对于C，因为，所以直线的方程为，由得直线与抛物线的准线的交点为，
又轴，，所以直线与抛物线的准线的交点为，即点，
则直线，直线与抛物线准线相交于同一点，故C正确.
对于D，点关于轴的对称点为，所以，
当最小时，点在直线上，
因为，所以直线为，即，
当时，，所以点的坐标为.故D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列的前项和为，满足，则__________.
【答案】
【解析】因为，所以.
令，则的定义域为，且，所以为奇函数.又因为，所以在上单调递增.
令，则，故，即，则，
故.
故答案为：.
13. 若为正实数，且在上单调递减，则的最大值为______.
【答案】
【解析】由题知，恒成立.
令，则.
因为，令，解得，
所以当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
所以，即.
由，得.
设，
则，
令，解得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以，
即，所以的最大值为，此时.
故答案为：.
14. 有一个4行4列的表格，在每一个格中等概率地填入数字0或1，若符合要求的填法使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是各一个（如图为其中一种填法），则填法符合要求的概率为__________.
【答案】
【解析】根据题意，每一个格子中都等概率地填入数字0或1，一共有种填法.
方法一：题图中已经给出了一种填法，发现随意交换图中的任意两行或者两列，都符合题目要求（而其他填法显然不可行），所以共有种填法，故填法符合要求的概率为.
方法二：根据题意，①某一行，某一列必全为0，这样的选法共有种（如图1）；

图1 图2
②考虑到有一行的数字和为1，在图1的基础上，有9种选法（如图2）；
③在图2的基础上，为保持4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是各一个，只能有以下4种填法.

因此，符合要求的不同填法共有种.
故填法符合要求的概率为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求角；
（2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积.
解：（1）因为且，所以.
由正弦定理得.
又，
所以，
整理得.
又，即，所以.
又因为，所以，所以，所以.
（2）如下图所示：
由（1）知，因为为的平分线，所以.
因为，
即，
即，所以.
在中，由余弦定理得，
又，
所以，整理得，解得（负值舍去），
所以的面积.
16. 已知为数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
（1）解：因为，
所以.
又因为，所以，
所以，
所以是公差为1的等差数列.
则，所以.
当时，，
当时，满足上式，
所以.
（2）证明：由题意及（1），得，
所以，①
，②
①-②得，
整理得.
又，
所以，得证.
17. 如图1，在菱形中，，点分别是边的中点，，.沿直线将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.
（1）证明：在翻折过程中，总有.
（2）若平面平面，线段上是否存在一点（可与点重合），使得点到平面的距离是菱形边长的？若存在，试确定点的位置，并求此时平面与平面所成锐二面角的余弦值；若不存在，请说明理由.
（1）证明：因为四边形是菱形且，所以，.
因为分别是边的中点，，所以.
因为，所以，.
即在五边形中，；在中，.
在折叠过程中，，又因为，所以.
又平面，所以平面.
连接，因为平面，所以.
又，所以垂直平分线段，所以.
（2）解：因为平面平面，平面平面平面，
所以平面.因为平面，所以.
又因为，所以两两垂直，故以为坐标原点建立如图所示的
空间直角坐标系.
不妨设菱形的边长为，则，
，
所以，
.
假设线段上存在符合题意的点，设，
则.
易知平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
因为，
所以
可取.
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
因为，所以点到平面的距离
，即，即，
化简得，解得舍去）.
综上，当点到平面的距离是菱形边长的时，
点在线段的中点处，此时平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）判断函数的零点个数并说明理由；
（3）若对于，曲线与曲线有且仅有一个交点，求的取值范围.
解：（1）函数，定义域，则，
若，则，故函数在上单调递减，
若，则 得；得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，函数在上单调递减，且，
故函数仅有一个零点；
由（1）可知，当时，函数在上单调递减，
又因为，
所以函数在内仅有一个零点，即仅有一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
且的最小值为，
若，则，故函数没有零点；
若，则，故函数仅有一个零点；
若，则，
取，则，
又因为函数在上单调递减，所以函数在内仅有一个零点，
取且，可知，
令，则在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
因，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以函数在内仅有一个零点，
故当时，函数有两个零点，
综上，当时，函数的零点个数是；
当或时，函数的零点个数是1；
当时，函数的零点个数是.
（3）曲线与曲线的交点个数，
即方程的正数解的个数，
令，则当时，与一一对应，
则原问题等价转化为对于，方程有且仅有一正数解，
令，则，
若函数存在极值点，则在极值点附近两侧单调性相反，
则必存在，使得方程有至少两个不同的解，
所以函数在上不存在极值点，
结合，对于二次函数，其图象开口向上，
所以对于，
即，即在恒成立，
因为，所以对于成立，
转化为，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
又当时，有成立，
，，函数在上单调递增，
则方程有且仅有一解.
综上，的取值范围是.
19. 已知双曲线，过点作两条互相垂直的直线.
（1）求两条直线与双曲线的交点个数，并说明理由；
（2）若，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，证明：直线过定点.
（1）解：当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在），
因为两直线均过点，所以两直线的方程分别为，
则直线与双曲线共有四个交点，
分别为，.（由，解得或），
当直线和的斜率都存在时，设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程分别为.
联立直线与双曲线的方程，得，
消去整理得.
当，即时，方程仅有一解，此时直线与双曲线仅有一个交点；
当，即时，，此时直线与双曲线有两个交点.
同理联立直线与双曲线的方程，可知当时，直线与双曲线仅有一个交点；
当时，直线与双曲线有两个交点；
综上，当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在），交点个数为4；
当且时，交点个数为2；
当且时，交点个数为4；
当且或时，交点个数3；
当且且时，交点个数为4.
（2）证明：由（1）可知，当直线或的斜率不存在时，两直线与双曲线有四个交点，分别为，，
则点坐标分别为，直线与轴重合，所以若直线过定点，则定点应在轴上.
当直线和的斜率同时存在时，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程分别为.
因为在双曲线中，所以由（1）可知，当两直线与双曲线有四个交点时，且
记点，
联立直线与双曲线的方程，得，
消去整理得，
则，则，即点.
同理可得点.
当时，，，
则，
此时直线的方程为；
同理当时，，则，
此时直线的方程为.
所以若直线过定点，则定点在直线上.
又因为定点在轴上，所以可猜想定点为，
所以只需证明当时，三点共线即可
此时，，直线的斜率都存在，即证明.
因为，
，
所以，即三点共线，即直线过定点.
综上，直线过定点.