山东省名校考试联盟2025届高三下学期4月高考模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份山东省名校考试联盟2025届高三下学期4月高考模拟考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，有且只有2个子集，则实数（ ）
A．B．C．1D．e
3．已知函数在处取得最大值，则（ ）
A．B．1C．D．2
4．在正方形中，，为的中点，为边上靠近的四等分点，与交于点，则（ ）
A．B．C．D．
5．若随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
6．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．设函数，则（ ）
A．一定有两个极值点
B．若，则或
C．过点作曲线的切线有且仅有一条
D．当时，
11．如图，矩形中，分别为的中点．现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ）

A．三棱锥体积的最大值为8
B．存在某个位置使
C．三棱锥外接球半径为3
D．直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．一个大于1的自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．在不超过20的质数中任取三个不同数，则其和是偶数的取法有 种．
13．已知数列的前项和为，且满足，则
14．已知的内角的对边分别为，已知，则 ；若，则面积的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面所成的角为，且．底面是边长为2的正三角形，其重心为在线段上，且满足．
(1)求证：平面；
(2)求直线与底面所成角的正弦值．
16．每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况，
通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②，
(1)根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？
(2)根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
样本相关系数为．
参考数据：．
令．
17．已知函数．
(1)当，求的取值范围；
(2)当时．
（ⅰ）设，讨论函数在上的单调性；
（ⅱ）证明：对任意的，有．
18．已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若上两点满足．
（ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程；
（ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值．
19．若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）．
(1)判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由；
①；②．
(2)过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组；
(3)从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，故虚部为.
故选B.
2．【答案】C
【详解】令，则，记，则，
当在单调递增，当在单调递减，
且当，,
因此只有一个实数根时，则，
由于有且只有2个子集，则只有一个元素，故，
故选C.
3．【答案】D
【详解】由题设，则，，
又，则.
故选D.
4．【答案】A
【详解】由题意，为的夹角，而，
所以，
，
，
综上，.
故选A.

5．【答案】C
【详解】由题设，则，
当且仅当时取等号，即的最小值为1.
故选C.
6．【答案】A
【详解】，
构造函数，，则，
当时，；当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
由于，，且，
则，即，
又，
所以.
故选A.
7．【答案】B
【详解】设,,可得,，
设以为切点的切线方程为，
联立与抛物线的方程可得，
故，解得，
故以为切点的切线方程为:,即——①
同理可得,以为切点的切线方程为: ——②
设过直线上任一点为
代入①②得
所以直线的方程为,即,
故过定点,
当时,到的距离的最大值为:.
故选B.
8．【答案】C
【详解】由，则.
故选C.
9．【答案】ABD
【详解】因为，所以，所以，故A对；
因为，所以，
由，所以，故B对；
若，满足，显然不成立，故C错；
当，则，必有，
当，则，故，必有，
故D对.
故选ABD.
10．【答案】AB
【详解】由题设，
当或时，，则在、上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以分别为极大值点、极小值点，A对；
由，令，则，
所以或，故对于，则或，B对；
由且，则处的切线为，过，
由，则处的切线过，
所以过的切线至少有两条，C错；
由，，
所以，故，D错.
故选AB.
11．【答案】ACD
【详解】A：当面面BCD时，三棱锥体积最大，由题设易知，
所以三棱锥的高为，则，对．
B：在矩形ABCD中连接CM，有，易得，则，
如下图，翻折过程中始终有，又在平面内，
所以平面，翻折过程中平面，即恒有，
且平面，翻折过程中恒有平面平面，
所以，在翻折的过程中，点M在底面BCD的投影落到平面在平面的投影直线上，
显然，翻折过程中同一平面内的DN与DB不平行，故不成立，错．
C：在翻折的过程中，和都是直角三角形，
所以两个面的外接圆圆心都在BD的中点处，故三棱锥外接球半径为3，对．
D：因为球心为BD的中点O，连接OM，ON，所以，
又直线MN被三棱锥外接球截得的线段长，其中h为O到MN的距离，
所以h只受与的夹角的影响，其中夹角越大，线段越长，
当刚要翻折时线段最长，趋近于直径6，当将要与面BCD重合时，线段最短，
如图所示，因为，所以，

所以，所以，故线段长为，
综上，线段长的取值范围为，对．
故选ACD.
12．【答案】21
【详解】不超过20的质数有：共有8个数，
要使得取出的三个数和为偶数，则必须得有2，再从剩下7个数中任取2个，则共有种.
13．【答案】
【详解】由题设，数列是首项、公差均为1的等差数列，
则，所以，
当，则，显然满足上式，
所以.
14．【答案】 2
【详解】（1）法一：因为，
可得，
由正弦定理可得： 所以；
法二：因为，由正弦定理可得，
由余弦定理得：
化简得：，即，所以.
（2）方法一：可得，
由余弦定理可得，
且，
所以
所以，即时，的最大值为3，所以面积的最大值为．
方法二：以AB边所在直线为x轴，以边AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则，设，
因为，所以，化简得：，
即顶点C在以为圆心，以为半径的圆（除去与x轴的交点）上，
所以的AB边上的高最大值为，
所以面积的最大值为．
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵侧面底面，侧棱与底面成60°的角，
∴，
又，取的中点，则底面.
以为原点建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，，
∵为的重心，
∴，∵，∴，
∴，又，
所以，则，
又平面，平面，
∴侧面.
（2）由（2）得，，
易得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则.
即直线与底面所成角的正弦值为．
16．【答案】(1)应选模型②；
(2)，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米.
【详解】（1）由题设，，所以，
所以，故应选模型②；
（2）令，则求出线性回归方程，
所以，，
所以，
所以，
又，则，故，
所以回归方程为，故，有厘米，
所以，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米.
17．【答案】(1)；
(2)（i）在上单调递增；（ii）证明见解析.
【详解】（1）由，则，
令且，则，
令且，则，即在上单调递增，
所以，即，故在上单调递增，则，
综上，.
（2）（i）时，且，则，故在上单调递增；
（ii）令，则，
由，则，
由（i）知，，即在上恒成立，
所以在上单调递增，故，
因为，所以在上单调递增，则，
所以，
综上，对任意的，有.
18．【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）由题意，知PF与x轴垂直，，
令，解得，即，解得或（舍去），
故，椭圆C的标准方程为．
（2）（i）当直线AB斜率不存在时，设，
则，，
由，知，又，解得或1（舍去），
故直线AB的方程为；
（ii）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立椭圆C的方程，得，
设，由韦达定理知，
于是，
由知，
，
若，则直线AB为，直线AB恒过定点，不合题意，
若，则直线AB为，直线AB过定点，
当直线AB斜率不存在时，直线AB也过点，
于是直线AB恒过定点，
当直线AB与OM垂直时，圆心O到直线AB的距离最大，为，
故直线AB被圆O所截得的弦的长度的最小值为．

19．【答案】(1)①不是，②是；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）①不是，因为数组中的任何两个都是比例关系；
②是，因为数组中的任何两个都不是比例关系.
（2）直线AB的方程为，联立圆的方程，
整理得，
由韦达定理得，即，
于是，又点B的坐标满足圆的方程，
于是，即．
取，其中，
若存在正整数i和j且i，，使，那么．
因为，则有比例性质，
于是，
，
故，则，矛盾！
故对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则2是有趣数，
所以2的一列有趣数组为．
（3）由（1）可知1是有趣数；由（2）可知2是有趣数；
当时，假设方程有正整数解，
设是所有正整数解中使x最小的一组解，由，故是3的倍数，
若，k，l为非负整数，则不可能是3的倍数，矛盾！
同理，或，或也不成立．
若为3的倍数，则也为3的倍数，
设，则，即，故为3的倍数．
设，则有，所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾．
因此方程没有正整数解，则3不是有趣数，
当时，由（1）知，则，
此时取，其中，…，
由比例性质同理可知对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则4是有趣数，
当时，过点作斜率为的直线交圆于另一点D，
则直线CD的方程为，联立圆的方程，
整理得，
由韦达定理可得，即，
于是，又点D的坐标满足圆的方程，
于是，即．
取，其中，…，
由比例性质同理知：对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则5是有趣数．
当时，假设方程有正整数解，
设是所有正整数解中使x最小的一组解．
由于，故是3的倍数，
由时的分析可知和都是3的倍数，
设，则，即，
故：为3的倍数．
设，则有．
所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾．
因此方程也没有正整数解，则6不是有趣数．
因此1，2，…，6中的有趣数为1，2，4，5，所求概率为．
天数
1
2
3
4
5
胚芽长度（厘米）
0.8
1.1
1.5
2.4
4.2