2025届山东省齐鲁名校高三下联考四数学试题（含答案解析）

这是一份2025届山东省齐鲁名校高三下联考四数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知复数满足为虚数单位，则（ ）
3. 已知向量，，若，则（ ）
4. 点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（ ）
5. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
6. 若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为，给出下面两个条件：条件单调递减且；条件单调递增且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中，正确的是（ ）
7. 某导航通讯的信号可以用函数近似模拟，若方程在上有3个根，则实数的取值范围是（ ）
8. 已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知三个正态密度函数的图象如图所示，则（ ）
10. 南北朝时期杰出的数学家，天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，定义函数，下列有关函数的结论中，正确的是（ ）
11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知等差数列的前项和为，满足，则__________.
13. 若为正实数，且在上单调递减，则的最大值为______.
14. 有一个4行4列的表格，在每一个格中等概率地填入数字0或1，若符合要求的填法使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是各一个（如图为其中一种填法），则填法符合要求的概率为__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知的内角、、所对的边分别为、、，且.
(1)求角；
(2)若为边上一点，为的平分线，且，求的面积.
16. 已知为数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
17. 如图1，在菱形中，，点分别是边的中点，，.沿直线将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.
(1)证明：在翻折过程中，总有.
(2)若平面平面，线段上是否存在一点（可与点重合），使得点到平面的距离是菱形边长的？若存在，试确定点的位置，并求此时平面与平面所成锐二面角的余弦值；若不存在，请说明理由.
18. 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)判断函数的零点个数并说明理由；
(3)若对于，曲线与曲线有且仅有一个交点，求的取值范围.
19. 已知双曲线，过点作两条互相垂直的直线.
(1)求两条直线与双曲线的交点个数，并说明理由；
(2)若，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，证明：直线过定点.
2025届山东省齐鲁名校高三联考四数学试题
整体难度：适中
考试范围：等式与不等式、函数与导数、集合与常用逻辑用语、复数、平面向量、平面解析几何、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．
A．
B．
C．1
D．2
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．只有是
B．只有是
C．和都是
D．和都不是
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．若，则
D．若，则存在实数，使得
A．方程的解集为
B．，使得，都有
C．当时，
D．若，函数为常数函数，则的最小值为7
A．平分
B．
C．直线，直线与抛物线的准线相交于同一点
D．点是轴上一动点，当最小时，点的坐标为
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
4
适中
7
较难
5
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
解不含参数的一元二次不等式；由指数函数的单调性解不等式；交集的概念及运算
2
0.94
复数的除法运算
3
0.85
利用向量垂直求参数
4
0.85
求椭圆的顶点坐标；余弦定理解三角形；求椭圆的焦点、焦距
5
0.65
球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；锥体体积的有关计算
6
0.65
函数新定义；函数不等式恒成立问题
7
0.4
根据函数零点的个数求参数范围；正、余弦型三角函数图象的应用
8
0.4
函数单调性、极值与最值的综合应用；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究函数的零点；利用导数研究方程的根
二、多选题
9
0.85
正态曲线的性质；指定区间的概率
10
0.65
函数新定义
11
0.4
与抛物线焦点弦有关的几何性质；直线与抛物线交点相关问题
三、填空题
12
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；利用等差数列的性质计算；函数奇偶性的应用；三角函数的化简、求值——诱导公式
13
0.65
由函数在区间上的单调性求参数；由导数求函数的最值（不含参）
14
0.4
分步乘法计数原理及简单应用；计算古典概型问题的概率
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；用和、差角的正弦公式化简、求值；余弦定理解三角形
16
0.65
利用定义求等差数列通项公式；错位相减法求和；求等比数列前n项和；利用an与sn关系求通项或项
17
0.4
证明线面垂直；面面角的向量求法；求点面距离
18
0.15
根据函数零点的个数求参数范围；利用导数研究双变量问题；利用导数研究函数的零点；含参分类讨论求函数的单调区间
19
0.15
讨论双曲线与直线的位置关系；双曲线中的直线过定点问题
序号
知识点
对应题号
1
等式与不等式
1
2
函数与导数
1,6,7,8,10,12,13,18
3
集合与常用逻辑用语
1
4
复数
2
5
平面向量
3
6
平面解析几何
4,11,19
7
三角函数与解三角形
4,7,12,15
8
空间向量与立体几何
5,17
9
计数原理与概率统计
9,14
10
数列
12,16