山东省名校考试联盟2025届高三下学期4月高考模拟考试数学试题（解析版）

这是一份山东省名校考试联盟2025届高三下学期4月高考模拟考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，故虚部为.
故选：B
2. 已知集合，，有且只有2个子集，则实数（ ）
A. B. C. 1D. e
【答案】C
【解析】令，则，记，则，
当在单调递增，当在单调递减，
且当，,
因此只有一个实数根时，则，
由于有且只有2个子集，则只有一个元素，故，
故选：C
3. 已知函数在处取得最大值，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】由题设，则，，
又，则.
故选：D
4. 在正方形中，，为的中点，为边上靠近的四等分点，与交于点，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，为的夹角，而，
所以，
，
，
综上，.
故选：A

5. 若随机变量，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】由题设，则，
当且仅当时取等号，即的最小值为1.
故选：C
6. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
构造函数，，则，
当时，；当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
由于，，且，
则，即，
又，
所以.
故选：A.
7. 已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】设,,可得,，
设以为切点的切线方程为，
联立与抛物线的方程可得，
故，解得，
故以为切点的切线方程为:,即——①
同理可得,以为切点的切线方程为: ——②
设过直线上任一点为
代入①②得
所以直线的方程为,即,
故过定点,
当时,到的距离的最大值为:.
故选:B
8. 对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】由，则.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，所以，所以，故A对；
因为，所以，
由，所以，故B对；
若，满足，显然不成立，故C错；
当，则，必有，
当，则，故，必有，
故D对.
故选：ABD
10. 设函数，则（ ）
A. 一定有两个极值点
B. 若，则或
C. 过点作曲线的切线有且仅有一条
D. 当时，
【答案】AB
【解析】由题设，
当或时，，则在、上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以分别为极大值点、极小值点，A对；
由，令，则，
所以或，故对于，则或，B对；
由且，则处的切线为，过，
由，则处的切线过，
所以过的切线至少有两条，C错；
由，，
所以，故，D错.
故选：AB
11. 如图，矩形中，分别为中点．现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ）

A. 三棱锥体积的最大值为8
B. 存在某个位置使
C. 三棱锥外接球半径为3
D. 直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
A：当面面BCD时，三棱锥体积最大，由题设易知，
所以三棱锥的高为，则，对．
B：在矩形ABCD中连接CM，有，易得，则，
如下图，翻折过程中始终有，又在平面内，
所以平面，翻折过程中平面，即恒有，
且平面，翻折过程中恒有平面平面，
所以，在翻折的过程中，点M在底面BCD的投影落到平面在平面的投影直线上，
显然，翻折过程中同一平面内的DN与DB不平行，故不成立，错．
C：在翻折的过程中，和都是直角三角形，
所以两个面的外接圆圆心都在BD的中点处，故三棱锥外接球半径为3，对．
D：因为球心为BD的中点O，连接OM，ON，所以，
又直线MN被三棱锥外接球截得的线段长，其中h为O到MN的距离，
所以h只受与的夹角的影响，其中夹角越大，线段越长，
当刚要翻折时线段最长，趋近于直径6，当将要与面BCD重合时，线段最短，
如图所示，因为，所以，

所以，所以，故线段长为，
综上，线段长的取值范围为，对．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一个大于1的自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．在不超过20的质数中任取三个不同数，则其和是偶数的取法有______种．
【答案】21
【解析】不超过20的质数有：共有8个数，
要使得取出的三个数和为偶数，则必须得有2，再从剩下7个数中任取2个，则共有种，
故答案为：21
13. 已知数列的前项和为，且满足，则__________
【答案】
【解析】由题设，数列是首项、公差均为1的等差数列，
则，所以，
当，则，显然满足上式，
所以.
故答案为：
14. 已知的内角的对边分别为，已知，则______；若，则面积的最大值为______．
【答案】①. 2 ②.
【解析】（1）法一：因为，
可得，
由正弦定理可得： 所以；
法二：因为，由正弦定理可得，
由余弦定理得：
化简得：，即，所以.
（2）方法一：可得，
由余弦定理可得，
且，
所以
所以，即时，的最大值为3，所以面积的最大值为．
方法二：以AB边所在直线为x轴，以边AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则，设，
因为，所以，化简得：，
即顶点C在以为圆心，以为半径的圆（除去与x轴的交点）上，
所以的AB边上的高最大值为，
所以面积的最大值为．
故答案为：2；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面所成的角为，且．底面是边长为2的正三角形，其重心为在线段上，且满足．
（1）求证：平面；
（2）求直线与底面所成角的正弦值．
证明：（1）∵侧面底面，侧棱与底面成60°的角，
∴，
又，取的中点，则底面.
以为原点建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，，
∵为的重心，
∴，∵，∴，
∴，又，
所以，则，
又平面，平面，
∴侧面.
（2）由（2）得，，
易得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则.
即直线与底面所成角的正弦值为．
16. 每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况，
通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②，
（1）根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？
（2）根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
样本相关系数为．
参考数据：．
令．
解：（1）由题设，，所以，
所以，故应选模型②；
（2）令，则求出线性回归方程，
所以，，
所以，
所以，
又，则，故，
所以回归方程为，故，有厘米，
所以，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米.
17. 已知函数．
（1）当，求的取值范围；
（2）当时．
（ⅰ）设，讨论函数在上的单调性；
（ⅱ）证明：对任意的，有．
解：（1）由，则，
令且，则，
令且，则，即在上单调递增，
所以，即，故在上单调递增，则，
综上，.
（2）（i）时，且，则，故在上单调递增；
（ii）令，则，
由，则，
由（i）知，，即在上恒成立，
所以在上单调递增，故，
因为，所以在上单调递增，则，
所以，
综上，对任意的，有.
18. 已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若上两点满足．
（ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程；
（ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值．
解：（1）由题意，知PF与x轴垂直，，
令，解得，即，解得或（舍去），
故，椭圆C的标准方程为．
（2）（i）当直线AB斜率不存在时，设，
则，，
由，知，又，解得或1（舍去），
故直线AB的方程为；
（ii）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立椭圆C的方程，得，
设，由韦达定理知，
于是，
由知，
，
若，则直线AB为，直线AB恒过定点，不合题意，
若，则直线AB，直线AB过定点，
当直线AB斜率不存在时，直线AB也过点，
于是直线AB恒过定点，
当直线AB与OM垂直时，圆心O到直线AB的距离最大，为，
故直线AB被圆O所截得的弦的长度的最小值为．

19. 若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）．
（1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由；
①；②．
（2）过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组；
（3）从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率．
（1）解：①不是，因为数组中任何两个都是比例关系；
②是，因为数组中的任何两个都不是比例关系.
（2）证明：直线AB的方程为，联立圆的方程，
整理得，
由韦达定理得，即，
于是，又点B的坐标满足圆的方程，
于是，即．
取，其中，
若存在正整数i和j且i，，使，那么．
因为，则有比例性质，
于是，
，
故，则，矛盾！
故对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则2是有趣数，
所以2的一列有趣数组为．
（3）解：由（1）可知1是有趣数；由（2）可知2是有趣数；
当时，假设方程有正整数解，
设是所有正整数解中使x最小的一组解，由，故是3的倍数，
若，k，l为非负整数，则不可能是3的倍数，矛盾！
同理，或，或也不成立．
若为3的倍数，则也为3的倍数，
设，则，即，故为3的倍数．
设，则有，所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾．
因此方程没有正整数解，则3不是有趣数，
当时，由（1）知，则，
此时取，其中，…，
由比例性质同理可知对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则4是有趣数，
当时，过点作斜率为的直线交圆于另一点D，
则直线CD的方程为，联立圆的方程，
整理得，
由韦达定理可得，即，
于是，又点D的坐标满足圆的方程，
于是，即．
取，其中，…，
由比例性质同理知：对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则5是有趣数．
当时，假设方程有正整数解，
设是所有正整数解中使x最小的一组解．
由于，故是3的倍数，
由时分析可知和都是3的倍数，
设，则，即，
故：为3的倍数．
设，则有．
所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾．
因此方程也没有正整数解，则6不是有趣数．
因此1，2，…，6中的有趣数为1，2，4，5，所求概率为．天数
1
2
3
4
5
胚芽长度（厘米）
0.8
1.1
1.5
2.4
4.2