青海省西宁市大通回族土族自治县2025届高三第三次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份青海省西宁市大通回族土族自治县2025届高三第三次模拟考试数学试卷（解析版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，所以.
故选：B
2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，因为，则.
故选：A.
3. 已知为抛物线上一点，且点到轴的距离为1，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】B
【解析】由题意知点的坐标为，将其代入，得，.
故选：B
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 无法确定，与有关
【答案】C
【解析】由题，则，
所以.
故选：C
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
即，所以，
则.
故选：A.
6. 设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，
解得，
所以.
故选：A.
7. 如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为74，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ）
A. 148B. C. D. 196
【答案】D
【解析】设线段，，，的中点分别为，，，，如下图所示：
易知四边形为等腰梯形，因为线段，的中点分别为，，
则，设棱台的高为，体积为，
则棱台的高为，设其体积为，则，，
所以，则该方斗杯可盛水的总体积为.
故选:D.
8. 设双曲线的右顶点为，，分别在两条渐近线上，且，，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，由角平分线定理可得，
则，.
在中，由余弦定理得；
在中，由余弦定理得.
由得.解得.
则，即，
所以双曲线的离心率为.
故选:B.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数的大致图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】函数，其中，，，取.
又函数的图象是由的图象向左平移个单位得到的，AC符合题意，
故选:AC.
10. 已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为4
C. 的最大值为2D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6，故B错误；
因为，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为2，故C错误；
可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：AD
11. 已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（ ）
A. 为偶函数B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由于是定义在上的奇函数，所以，
则，即，故A正确；
因为是奇函数，所以，即，
所以，则，令，所以，
所以，即的图象关于直线对称，
则，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知为等差数列的前项和，若当时，，则__________.
【答案】
【解析】当时，，得，
在等差数列中，，
所以，得.
故答案为：.
13. 已知且，则二项式的展开式中，常数项为__________.
【答案】24
【解析】由且，得，即，
二项式的展开式的通项公式为，，
令，解得，所以展开式中的常数项为.
故答案为：24
14. A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数（万人）与第个月的数据：
根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，且回归方程中的，则相关系数__________（精确到0.01）.
参考公式：相关系数.回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为；
参考数据：，，，，.
【答案】0.98
【解析】由题设，，，
，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，.
（1）解：当时，，，
则，，则所求切线方程为，即.
所以曲线在点处的切线方程为
（2）证明：的定义域为，，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以.要证，只需证.
设，则只需证当时，.
因为在时恒成立，所以在上单调递减，
所以当时，，即，所以，得证.
16. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求角A；
（2），，D为AC的中点，求.
解：（1）因为，所以由正弦定理得.
因为，所以，所以，
整理得，即.
因为，所以，所以，即.
（2）在中，由余弦定理得，
即，解得或.
若，则，则为钝角，舍去，
所以，，因为，根据正弦定理，角最大，所以为锐角三角形，符合题意.
因为为的中点，所以，
所以，在中，，
所以.
在中，.
17. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ADEF为梯形，，，四边形ABCD是菱形，，，，.

（1）证明：平面平面BDF；
（2）求平面BDF与平面BCE的夹角的余弦值.
（1）证明：因为四边形是菱形，且，所以.
又因为，，所以，所以.
因为，所以.
又因为四边形是菱形，所以，又平面，且，所以.
因为平面，所以平面.
（2）解：记，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，平行向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
则，，，.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，.
设平面一个法向量为，
则，令，得，.
.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18. 已知数列中，，.
（1）求；
（2）数列满足，设为数列的前项和，证明：.
（3）设，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
（1）解：在数列中，由，得，
则，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则，解得.
（2）证明：由（1）知，
，
，
两式相减得，
因为，所以.
（3）证明：由题.
假设数列中存在不同三项，，（，）构成等差数列，
则，即，
两边同时乘以，得.
因为，，所以，，
则是2的倍数，除以2余1，等式不成立.
所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
19. 已知椭圆的离心率为，A，D分别为其上、下顶点，且.
（1）求椭圆M的标准方程.
（2）点E为椭圆M的右顶点，点B为椭圆M上在第三象限内的动点，B、C两点关于轴对称，直线DE与直线AB、直线AC分别交于点P，T，过D作轴的平行线交AE的延长线于点Q，连接QP，QT.试探究四边形APQT是否为平行四边形，并写出探究过程.
解：（1）由已知，得，，，所以，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）如图所示，易知直线的斜率存在并且其斜率满足条件，则其方程为.
由解得或（舍去），
所以点的坐标为，从而点的坐标为，
于是直线的斜率，直线的方程为.
又直线的方程为，由得；
由得.
直线的方程为，直线的方程为，由得.
因为直线的斜率，直线的斜率，
所以，，所以四边形为平行四边形.1
2
3
4
5
23.1
37.0
62.1
111.6
150.8