2025年中考数学压轴专题(通用版)压轴题01二次函数图象与性质选填题(原卷版+解析)特训

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从全国多地的中考数学试卷来看，二次函数的图象与性质都是重点考查对象之一，常出现在选择、填空题的压轴位置出此类考点的应用。此考点包括的具体内容有以下几点：
压轴题型一：二次函数的性质
1．（2024•西宁）点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0）上的两个点．下列结论：①抛物线与y轴的交点是（0，1）；②抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；③当y1＝y2＝1时，AB＝4；④当x1＞x2＞2时，y1＜y2；⑤当0≤x≤2时，y有最大值是1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2024•上海）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=−12x2+13x+3“开口大小”为 ．
3．（2024•滕州市校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m≠0），当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的值是（ ）
A．1B．13C．1或13D．1或−13
4．（2024•桐乡市校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m＞0），若点A（t，a），点B（t+2，a），点C（4，b）都在二次函数图象上，且a＜b＜3，则t的取值范围为（ ）
A．t＜2B．2＜t＜4或t＞6
C．1＜t＜2D．1＜t＜2或t＞4
压轴题型二：二次函数图象与系数的关系
1．（2024•日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＜0；②a+c＝b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2024•牡丹江）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②43＜b＜2；③若ax12−bx1=ax22−bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；④直线y=−56cx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的一个交点（m，n）（m≠0），则m=12．其中正确的结论是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
3．（2024•连云港）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）的顶点为（1，2）．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c＝0的一个根为3，则a=−12；④抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
4．（2024•烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的序号为 ．
5．（2024•巴中）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 ．
①ba=2；
②当32≤a≤52时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3；
③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立；
④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2．
压轴题型三：二次函数图象上点的坐标特征
1．（2024•赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（ ）
A．m+n＝1B．m﹣n＝1C．m＝1D．mn=1
2．（2024•苏州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m，n为常数，则mn的值为 ．
3．（2024•成都）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1 y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 ．
4．（2024•灞桥区校级四模）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．0D．1
5．（2024•镇海区校级模拟）已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
压轴题型四：抛物线与x轴的交点
1．（2024•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 ．
2．（2024•济宁）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
3．（2024•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2023）（x﹣2024）+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝ ．
4．（2024•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：
①b＞0；
②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；
③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞−12，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m≤12．
其中正确的是 （填写序号）．
5．（2024•淄博）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线y=14x2相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点∁i，得△AiBi∁i和△Ai+1Bi+1∁i，若将其面积之比记为ai=S△AiBiCiS△Ai+1Bi+1Ci，则a2024＝ ．
压轴题型五：二次函数图象性质与几何的结合
1．（2024•陆丰市模拟）已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线y=13x2+kx的图象上，则k的值是（ ）
A．23B．13C．73D．43
2．（2024•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C．以下结论：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c=7；④当c＝3时，在△AOC内有一动点P，若OP＝2，则CP+23AP的最小值为973．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2024•资阳）已知二次函数y=−12x2+bx与y=12x2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论：
①b＝2；
②PB＝PC；
③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+13．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2024•新疆）如图，抛物线y=12x2−4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 ．
1、解析式
一般式
顶点式
顶点：，对称轴：直线
交点式
与x轴交点；对：
2、图象特征
开口
对称轴
顶点与最值
3、函数的增减性
根据对称轴的位置，可以判断函数在对称轴左侧和右侧的增减性.如果，则在对称轴左侧函数值随x增大而减小，在右侧函数值随x增大而增大；反之亦然
4、图象与系数的关系
b的作用
“左同右异”：与a一起确定对称轴与y轴的左右关系，当b=0时，对为y轴
c的作用
确定抛物线与y轴交点，
2a+b与0
a+b+c与0
看当x=1时抛物线上的点在x轴上方还是下方，上方则a+b+c＞0
b2-4ac与0
确定抛物线与x轴交点个数
5、二次函数平移规律
①将一般式转化为顶点式，②按照“左加右减，上加下减”的规律平移
（上下平移不需要转化为顶点式）
√满分技法
对于二次函数y＝ax2+bx+c的性质规律：
当a＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，各点中，谁离对称轴越近，谁的y越小；
当a＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，各点中，谁离对称轴越近，谁的y越大；
√满分技法
综合应用抛物线图象特征、图象与系数关系的规律，对应考点要熟记
x
﹣4
﹣3
﹣1
1
5
y
0
5
9
5
﹣27
√满分技法
紧抓要点：
①点在图象上，则点的坐标符合所在函数图象的表达式；
②图象上的点具有所在函数图象的各种性质；
③若抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，则可以用两点的横坐标的平均数表示对称轴；
√满分技法
①求抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点，则令y=0，即ax2+bx+c=0
②求抛物线与x轴交点个数时，找根的判别式b2-4ac,当抛物线与某一直线交点个数时用法相同；