2025年中考数学压轴专题(通用版)压轴专题08反比例函数及其综合应用(原卷版+解析)特训

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反比例函数常见考点及其综合应用有：
1、反比例函数的基本性质：
2、反比例函数增减性的应用技巧：
若点A（x1,y1）,点B（x2,y2）在反比例函数的同一支上，则有
①当k＞0时，若x1＞x2，则y1＜y2；
②当k＜0时，若x1＞x2，则y1＞y2；
3、反比例函数图象上点的坐标特征：
①若点A（a,b）在反比例函数的图象上，则；
②若点A（a1,b1）,点B（a2,b2）在反比例函数的图象上，则；
③若点P在反比例函数的图象上，则可根据反比例函数解析式设点P坐标为
4、反比例函数k的几何意义常用规律：
压轴题型一：反比例函数选择题综合
1．（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，过点A（m，0）且垂直于x轴的直线l与反比例函数y=−4x的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2或m＞2B．﹣2＜m＜2且m≠0
C．﹣2＜m＜0或m＞2D．m＜﹣2或0＜m＜2
【分析】当A在原点右侧时，B点坐标为（m，−4m），设旋转后的直线的解析式为：y＝﹣x+b，得到b＝m−4m=m2−4m＞0，求出m＞2；当A在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：y＝﹣x+b′，b′=m2−4m＞0，求出﹣2＜m＜0，即可得到m的取值范围．
【解答】解：当A在原点右侧时，B点坐标为（m，−4m），
∵直线l绕点B逆时针旋转45°，
∴所得的直线与直线y＝﹣x平行，
设这条直线的解析式为：y＝﹣x+b，
∵这条直线经过第一、二、四象限，
∴b＞0，
∵B在直线y＝﹣x+b上，
∴﹣m+b=−4m，
∴b＝m−4m=m2−4m＞0，
∵m＞0，
∴m2﹣4＞0，
∴m＞2；
当A在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：y＝﹣x+b′，
同理：b′=m2−4m＞0，
∵m＜0，
∴m2﹣4＜0，
∴﹣2＜m＜2，
∵m＜0，
∴﹣2＜m＜0．
m的取值范围是﹣2＜m＜0或m＞2．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，关键是要分两种情况讨论．
2．（2024•黑龙江）如图，双曲线y=12x（x＞0）经过A、B两点，连接OA、AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是（ ）
A．4.5B．3.5C．3D．2.5
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形中位线定理、相似三角形的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，连接OB，则S△AOM＝S△OBD=12|k|=12×12＝6，
∵E是OA的中点，即OE＝AE，而DE∥AM，
∴DE=12AM，OD=12OM，
∵S△AOM＝S△OBD＝6，
即12AM•OM=12OD•BD＝6，
∴AM•OD=12BD•OD，
∴BD＝2AM，
∴DE=12AM=14BD，
∴DE=13BE，
∵S△ODE=14S△AOM=14×6=32，
∴S△ABE＝3S△ODE＝3×32=4.5，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质是正确解答的关键．
3．（2024•宿迁）如图，点A在双曲线y1=kx（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2=k4x（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】依据题意，过A作AD⊥x轴于D，再设A（a，ka）（a＞0），从而可得OC＝2OD＝2a，再求出直线OA为y=ka2x，然后联立y=k4xy=ka2x，可得B的坐标，最后结合S△ABC＝S△BOC+S△AOC＝6，进而可得k的方程，计算即可得解．
【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴于D．
由题意，设A（a，ka）（a＞0），
∵AO＝AC，AD⊥OC，
∴OC＝2OD＝2a．
又设直线OA为y＝mx，
∴ma=ka．
∴m=ka2．
∴直线OA为y=ka2x．
联立y=k4xy=ka2x，
∴x2=a24．
∴x＝±a2．
∴B（−a2，−k2a）．
∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC
=12OC•|yB|+12OC•|yA|
=12×2a（k2a+ka）
=32k．
又∵S△ABC＝6，
∴32k＝6．
∴k＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
4．（2024•牡丹江）矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y=kx的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（ ）
A．25B．35C．45D．85
【分析】过点E作EM⊥OC，则EM∥OB，设E(a，ka)，由△OME∽△OCA，可得OC=32a，AC=32⋅ka，再S矩形OBAC＝S△OBD+S△OCF+S四边形ODAF，列方程，即可得出k的值．
【解答】解：过点E作EM⊥OC，则EM∥OB，
∴△OME∽△OCA，
∴OMOC=EMAC=OEOA，
设E(a，ka)，
∵OE＝2AE，
∴OMOC=EMAC=23，
∴OC=32a，AC=32⋅ka，
∴S矩形OBAC=S△OBD+S△OCF+S四边形ODAF=32a⋅32⋅ka，
即k2+k2+2=32a⋅32⋅ka，解得：k=85，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．
5．（2024•淄博）如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y=kx的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是152，且MD＝4GN．则k的值是（ ）
A．5B．1C．3D．2
【分析】设AE＝EF＝FG＝a，AB＝BC＝AD＝b，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用a2+b2=152求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论．
【解答】解：设AE＝EF＝FG＝a，AB＝BC＝AD＝b，
由题意得：a2+b2=152．
∵正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y=kx的图象上，
∴FG∥ED∥OM，∠NFG＝∠DCM＝90°，
∴∠NGF＝∠DMC，
∴△NFG∽△DCM，
∴NFDC=NGDM，
∵MD＝4GN，
∴NFb=14，
∴NF=14b．
∵FG∥ED，
∴△NFG∽△NED，
∴NFNE=FGED，
∴14b14b+a=aa+b，
∴b2＝4a2，
∴a2+4a2=152，
∵a＞0，
∴a=62．
∴b=6．
∴A（62，6），
∴k=62×6=3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．
6．（2024•宜宾）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则ANAB的值为（ ）
A．13B．14C．15D．25
【分析】作辅助线如图，利用函数表达式设出A、B两点的坐标，利用D，M是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【解答】解：作过A作BC的垂线垂足为D，BC与y轴交于E点，如图，
在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，D是BC中点，
设A(a，ka)，B(b，kb)，
由BC中点为D，AB＝AC，
在等腰三角形ABC中，
∴BD＝DC＝a﹣b，
∴C(2a−b，kb)，
∵AC的中点为M，
∴M(3a−b2，ka+kb2)，即(3a−b2，k(a+b)2ab)，
由M在反比例函数上得M(3a−b2，k3a−b2)，
∴k(a+b)2ab=k3a−b2，
解得：b＝﹣3a，
由题可知，AD∥NE，
∴ANAB=DEBD=aa−b=aa+3a=14，
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．
7．（2024•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y=2x交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；③在y=2x的图象上任取点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），如果y1＞y2，那么x1＞x2；④S△BOD=12．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可．
【解答】解：如图，作BE⊥x轴，垂足为E，
①根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项正确；
②∵点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
在△OBE和△OAC中，
∠EOB=∠COA∠OEB=∠OCAOA=OB，
∴△OBE≌△OAC（AAS），
∴OE＝OC，
∵EB∥y轴，
∴△OCD∽△ECB，
∵OE＝OC，
∴OCCE=CDCB=12，
∴D是CB的中点，
∴OD是△BCE的中位线，故选项正确；
③在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项错误；
④S△BOD=12S△BOC=12S△AOC=12×1=12，故S△BOD=12正确；
其中正确结论的是①②④，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
压轴题型二：反比例函数填空题综合
1．（2024•绥化）如图，已知点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于点D，且OD：OB＝1：4，则k＝ ﹣15 ．
【分析】作BE⊥x轴，DG⊥x轴，根据点的坐标及相似三角形性质可求出点D坐标继而求出k值．
【解答】解：如图，作BE⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为E、G，
∵点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），
∴BE＝10，OF＝17，OA＝7，
∴EF＝BC＝OA＝7，
∴OE＝17+7＝24，
∵BE∥DG，
∴△ODG∽△OBE，
∵OD：OB＝1：4，
∴OGOE=DGBE=14，
∴DG10=14，OG24=14
∴DG=52，OG＝6，
∴D（﹣6，2.5），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝﹣6×2.5＝﹣15．
故答案为：﹣15．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是关键．
2．（2024•深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，sin∠AOC=45，且点A落在反比例函数y=3x（x＞0）上，点B落在反比例函数y=kx（x＞0）上，则k＝ 8 ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，由sin∠AOC=45，可设AD＝4x，则OD＝3x，根据点A落在反比例函数y=3x（x＞0）上得出x的值，根据菱形的性质可得出B点坐标，进而得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵sin∠AOC=45，
∴设AD＝4x，则OA＝5x，
∴OD=(5x)2−(4x)2=3x，
∵点A落在反比例函数y=3x上（x＞0），
∴4x•3x＝3，
解得x=12（负值舍去），
∴4x＝2，3x=32，
∴A（32，2），
∴OA＝5x=52，
∵四边形AOCB为菱形，
∴AB＝OA，
∴B（32+52，2），即（4，2），
∵点B落在反比例函数y=kx（x＞0）上，
∴k＝4×2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质及解直角三角形，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
3．（2024•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），C(0，42)是矩形OABC的顶点，点M，N分别为边AB，OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点B的对应点B'在边OA的中点处，点C的对应点C′在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，则k＝ −160281 ．
【分析】设B'C'交y轴于点E，MN交BB'于点F，过点C'作C'D⊥x轴于D，根据折叠性质得：CN＝C'N，BM＝B'M，B'C'＝BC，设BM＝B'M＝t，则AM＝AB﹣BM=42−t，在△AB'M中，由勾股定理求出t=924，则AM=724，证明∴△B'C'D∽△MB'A相似，利用相似三角形的性质得C'D=1629，B'D=289，则OD=109，由此得点C'(−109，1629)，据此即可得出k的值．
【解答】解：设B'C'交y轴于点E，MN交BB'于点F，过点C'作C'D⊥x轴于D，C'H⊥y轴于点H，如图所示：
则四边形ODC'H为矩形，
∴OD＝C'H，
根据折叠性质得：CN＝C'N，BM＝B'M，B'C'＝BC，∠MB'C'N＝∠ABCN＝90°，
∵点A（4，0），C(0，42)是矩形OABC的顶点，
∴BC＝OA＝B'C'＝4，OC＝AB=42，∠MAB'＝90°，
设BM＝B'M＝t，则AM＝AB﹣BM=42−t，
∵点B'是OA的中点，
∴OB'＝AB'＝2，
在△AB'M中，由勾股定理得：AM2+AB'2＝B'M2，
即(42−t)2+22=t2，
解得：t=924，
∴BM＝B'M=924，AM=42−t=724，
∵∠MB'C＝90°，∠B'AM＝90°，
∴∠DB'C'+∠AB'M＝90°，∠AMB'+∠AB'M＝90°，
∴∠DB'C'＝∠AMB'，
又∵∠B'DC'＝∠B'AM＝90°，
∴△B'C'D∽△MB'A，
∴C'D：AB'＝B'D：AM＝B'C'：MB'，
即：C′D：2=B′D：724=4：924，
∴C'D=1629，B'D=289，
∴OD＝B'D﹣OB'=289−2=109，
∴点C'的坐标为(−109，1629)，
∵点C'在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=−109×1629=−160281．
故答案为：−160281．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，灵活利用相似三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
4．（2024•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD＝2AD，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 12 ．
【分析】过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，则BC＝OM＝2，OC＝MB＝6，AM＝OA﹣OM＝3，由△ADN∽△ABM得DN＝2，AN＝1，则ON＝OA﹣AN＝4，由此得点D（4，2），则k＝8，进而得S△OCE=12×8＝4，S梯形OABC=12（BC+OA）•OC＝21，S△AOD=12OA•DN＝5，然后根据S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△AOD可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图所示：

∵点A（5，0），B（2，6），BC∥x轴，∠COM＝90°，
∴四边形OMBC为矩形，
∴BC＝OM＝2，OC＝MB＝6，
∴AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，
∵BD＝2AD，
∴AD：AB＝1：3，
∵BM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴BM∥DN，
∴△ADN∽△ABM，
∴DN：BM＝AN：AM＝AD：AB，
即DN：6＝AN：3＝1：3，
∴DN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA﹣AN＝5﹣1＝4，
∴点D的坐标为（4，2），
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝8，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OCE=12×8＝4，
∵S梯形OABC=12（BC+OA）•OC=12×（2+5）×6＝21，S△AOD=12OA•DN=12×5×2＝5，
∴S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△AOD＝21﹣4﹣5＝12．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点，反比例函数比例系数的几何意义，理解反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造相似三角形是解决问题的难点．
5．（2024•甘南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=kx的图象与AB相交于点M，与BC相交于点N，若点B的坐标为（4，2），△MON的面积是154，则k的值为 2 ．
【分析】根据题意和反比例函数的几何意义，列出S△BMN＝S矩形OABC﹣k−154，导入数据计算即可．
【解答】解：由题意可知点M的坐标为（4，k4），点N的坐标为（k2，2，），则BM＝2−k4，BN＝4−k2，
由反比例函数k值的几何意义可得：S△OCN+S△OAM＝k，
∴S△BMN＝S矩形OABC﹣k−154，
12(2−k4)(4−k2)=8﹣k−154，
解得：k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义及矩形的性质，列出12(2−k4)(4−k2)=8﹣k−154是关键．
6．（2024•广州）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y=kx（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A′），A'B'交函数y=kx（x＞0）的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积；
③A'E的最小值是2；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正确的结论有 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征判断①，根据反比例函数k值几何意义判断②，根据矩形性质判断③④即可．
【解答】解：①∵A（1，0），C（0，2），
∴B（1，2），
∵矩形OABC的顶点B在函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝2，故①正确；
②∵点B、点D在函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴S△AOB＝S△AOD=12丨k丨，
∴S△OBM＝S梯形AMDA′，
∴S△OBD＝S梯形ABDA′，故②正确；
③根据矩形对角线相等，A'E＝OD，根据双曲线的轴对称性，可知当点D落在直线y＝x与双曲线y=2x的交点（2，2）时，OD最短，最短为2，所以A'E的最小值为2，故③错误．
④向右平移的过程中角B′BD与角BB′O变化相同，这两个角刚好是矩形BB′ND的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确．
故正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化，熟练掌握平移性质是关键．
7．（2024•乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点（0，1）是函数y＝x+1图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 ③ （填序号）；
①y＝﹣x+3；
②y=2x；
③y＝﹣x2+2x﹣1．
（2）若一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 0＜m≤12或−12≤m＜0 ．
【分析】（1）分别计算各函数与两坐标轴的交点，与增减性结合可作判断；
（2）分两种情况：m＞0或m＜0，分别画图计算边界点可解答．
【解答】解：（1）①当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，﹣x+3，
∴x＝3，
∴y＝﹣x+3与两坐标的交点分别为（0，3）和（3，0），
当x＝1时，y＝2；
当y＝1时，x＝2；
∴函数y＝﹣x+3的图象上不存在“近轴点”；
②∵y=2x中，在每一象限内y随x的增大而减小，
当x＝1时，y＝2，
当y＝1时，x＝2，
∴函数y=2x的图象上不存在“近轴点”；
③∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，
当x＝1时，y＝0；当x＝0时，y＝﹣1；
∴函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上存在“近轴点”；
故答案为：③；
（2）∵y＝mx﹣3m＝m（x﹣3），
∴一次函数y＝mx﹣3m经过（3，0），
分两种情况：
①当m＞0时，如图1，
当x＝1时，y＝m﹣3m＝﹣2m，
∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，
∴﹣1≤﹣2m＜0，
∴0＜m≤12；
②当m＜0时，如图2，
由①知：点A的坐标为（1，﹣2m），
∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，
∴0＜﹣2m≤1，
∴−12≤m＜0；
综上，m的取值范围为：0＜m≤12或−12≤m＜0．
故答案为：0＜m≤12或−12≤m＜0．
【点评】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“近轴点”的意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
8．（2024•大庆）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y＝3x+1，其“倍值点”为（﹣1，﹣2）．下列说法不正确的序号为 ①③④ ．
①函数y＝2x+4是“倍值函数”；
②函数y=8x的图象上的“倍值点”是（2，4）和（﹣2，﹣4）；
③若关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mx+14m的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是m＜43；
④若关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x+n4−k2的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为−3−52．
【分析】依据题意，根据“倍值函数”的定义，结合一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，逐个进行判断分析可以得解．
【解答】解：由题意，对于①，∵y＝2x+4，
又令y＝2x，
∴2x＝2x+4，此时方程无解．
∴y＝2x+4不是“倍值函数”，故①错误．
对于②，∵y=8x，
又令y＝2x，
∴2x=8x．
∴x＝2或x＝﹣2．
∴y=8x图象上的“倍值点”为（2，4），（﹣2，﹣4），故②正确．
对于③∵y＝（m﹣1）x2+mx+14m，
又令y＝2x，
∴2x＝（m﹣1）x2+mx+14m，即（m﹣1）x2+（m﹣2）x+14m＝0．
∵函数y＝（m﹣1）x2+mx+14m的图象上有两个“倍值点”，
∴方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x+14m＝0的Δ＝（m﹣2）2﹣4×14m（m﹣1）＞0，且m﹣1≠0．
∴m＜43且m≠1，故③错误．
对于④，∵y＝x2+（m﹣k+2）x+n4−k2，
又令y＝2x，
∴2x＝x2+（m﹣k+2）x+n4−k2，即x2+（m﹣k）x+n4−k2=0．
∵y＝x2+（m﹣k+2）x+n4−k2的图象上存在唯一的“倍值点”，
∴方程x2+（m﹣k）x+n4−k2=0的Δ＝（m﹣k）2﹣4（n4−k2）＝0．
∴n＝（m﹣k）2+2k．
∴n关于m的函数的对称轴是直线m＝k，此时最小值为2k．
又∵y＝x2+（m﹣k+2）x+n4−k2存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，
∴①−1≤k≤3n的最小值=2k=k，
∴k＝0；
②k＞3n的最小值=(3−k)2+2k=k，
∴此时无解；
③k＜−1n的最小值=(−1−k)2+2k=k，
∴k=−3+52（舍去）或k=−3−52．
综上，k＝0或k=−3−52，故④错误．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
压轴题型三：反比例函数简答题综合
1．（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝2x+m的图象与x轴、y轴交于A（﹣3，0）、B两点，与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点C（1，n）．（1）求m和k的值；
（2）已知四边形OBDE是正方形，连接BE，点P在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上．当△OBP的面积与△OBE的面积相等时，直接写出点P的坐标 （6，43）或（﹣6，−43） ．
【分析】（1）把A的坐标代入y＝2x+m，即可求出m＝6，把C（1，n）代入y＝2x+6，求出n＝8，把C（1，8）代入y=kx，求出k＝8；
（2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+m的图象过A（﹣3，0），
∴2×（﹣3）+m＝0，
∴m＝6，
∵C（1，n）在函数y＝2x+6的图象上，
∴n＝2×1+6＝8，
∵C（1，8）在函数y=kx图象上，
∴k＝8；
（2）当x＝0时，y＝2x+6＝6，
∴OB＝6，
∵四边形OEDB是正方形，
∴OE＝OB＝6，
当P在反比例函数y=kx（k≠0）的图象右半支上，
设P的坐标是（a，8a），
∵△OBP的面积与△OBE的面积相等，
∴12OB•a=12OB2，
∴a＝OB＝6，
∴8a=43，
∴P的坐标是（6，43），
当P在反比例函数y=kx（k≠0）的图象左半支上，
设P的坐标是（b，8b），
∵△OBP的面积与△OBE的面积相等，
∴12OB•（﹣b）=12OB2，
∴b＝﹣OB＝﹣6，
∴8b=−43，
∴P的坐标是（﹣6，−43），
综上P的坐标为（6，43）或（﹣6，−43）．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求m和k的值；分两种情况求P的坐标．
2．（2024•青岛）如图，点A1，A2，A3，…，An，An+1为反比例函数y=kx（k＞0）图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线，垂足分别为点H1，H2，H3，…，Hn；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2，…，过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn．
记△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn．
（1）当k＝2时，点B1的坐标为 （1，1） ，
S1+S2＝ 23 ，
S1+S2+S3＝ 34 ，
S1+S2+S3+⋯+Sn＝ nn+1 （用含n的代数式表示）；
（2）当k＝3时，S1+S2+S3+⋯+Sn＝ 3n2n+2 （用含n的代数式表示）．
【分析】（1）当k＝2时，可得到反比例函数解析式，从而求得图象上各点坐标，能用坐标表示各个三角形的面积，利用各三角形面积相加时，能消去相邻两数的方法，从而得到结果；
（2）k＝3时，得到函数解析式，类比第（1）题的方法，得到结果．
【解答】解：（1）当k＝2时，y=kx=2x，
当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1，
∴A1（1，2），A2（2，1），
∴B1H1＝1，
∴B1＝（1，1），
同理：
A1(1，21)，A2(2，22)，A3(3，23)，A4(4，24)⋯⋯An(n.2n)，An+1(n+1，2n+1)，
∴S1=12×1×(21−22)，
S2=12×1×(22−23)，
S3=12×1×(23−24)，
……
Sn=12×1×(2n−2n+1)，
∴S1+S2=12×1×(21−22+22−23)=12×1×(21−23)=23；
S1+S2+S3=12×1×(21−24)=34，
……
S1+S2+S3+⋯+Sn=12×1×(21−2n+1)=nn+1；
故答案为：（1，1），23，34，nn+1；
（2）当k＝3时，y=3x，
∴A1(1，31)，A2(2，32)，A3(3，33)⋯⋯An(n，3n)，An+1(n+1，3n+1)，
∴S1+S2+S3+……+Sn=12×1×(31−3n+1)=3n2n+2．
故答案为：3n2n+2．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，以及比例系数k的几何意义，关键是求前n个三角形的面积之和时，能根据互为相反数的和为零，观察出相邻两项能互相消去，从而简化运算．
3．（2024•宁夏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x+1的图象可以由函数y＝2x的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
【动手操作】
列表：
描点连线：在已画出函数y=2x的图象的坐标系中画出函数y=2x+1的图象．
【探究发现】
（1）将反比例函数y=2x的图象向 左 平移 1 个单位长度得到函数y=2x+1的图象．
（2）上述探究方法运用的数学思想是 B ．
A．整体思想
B．类比思想
C．分类讨论思想
【应用延伸】
（1）将反比例函数y=−1x的图象先 右平移2个单位长度 ，再 向下平移1个单位长度 得到函数y=−1x−2−1的图象．
（2）函数y=−1x−2−1图象的对称中心的坐标为 （2，﹣1） ．
【分析】【动手操作】列表，描点、连线画出函数y=2x+1的图象即可；
【探究发现】结合图象填空即可；
【应用延伸】根据发现的规律填空即可．
【解答】解：【动手操作】
列表：
描点、连线画出函数图象如图示：
【探究发现】
（1）将反比例函数y=2x的图象向左平移 1个单位长度得到函数y=2x+1的图象．
故答案为：左，1；
（2）上述探究方法运用的数学思想是B．
故答案为：B；
【应用延伸】
（1）将反比例函数y=−1x的图象先右平移2个单位长度，再向下平移1个得到函数y=−1x−2−1的图象．
故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度；
（2）函数y=−1x−2−1图象的对称中心的坐标为（2，﹣1）．
故答案为（2，﹣1）．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
4．（2024•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），与x轴，y轴分别交于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF=12AB时，求a的值．
【分析】（1）根据已知条件列方程求得m＝6，得到反比例函数的表达式为y=6x，求得B（3，2），解方程组即可得到结论；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，则此时，△PAB的周长最小，根据轴对称的性质得到E（﹣1，6），得到直线BE的解析式为y＝﹣x+5，当x＝0时，y＝5，于是得到点P的坐标为（0，5）；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，求得直线EF的解析式为y＝﹣2x+8﹣a，解方程得到E（8−a2，0）．F（0，8﹣a），根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），
∴m1=6，
∴m＝6，
∴反比例函数的表达式为y=6x，
∴2=6n，
∴n＝3，
∴B（3，2），
∴k+b=63k+b=2，
解得k=−2b=8，
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+8；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，
则此时，△PAB的周长最小，
∵点A（1，6），
∴E（﹣1，6），
设直线BE的解析式为y＝mx+c，
∴−m+c=63m+c=2，
解得m=−1c=5，
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝0时，y＝5，
∴点P的坐标为（0，5）；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，
∴直线EF的解析式为y＝﹣2x+8﹣a，
∴E（8−a2，0）．F（0，8﹣a），
∵EF=12AB，
∴(8−a2)2+(8−a)2=12×(1−3)2+(6−2)2，
解得a＝6或a＝10．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称﹣最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
5．（2024•赤峰）在平面直角坐标系中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1+x2＝y1+y2时，称点N是点M的等和点．
（1）已知点M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是点M等和点的有 N1（4，2），N3（0，﹣2） ；
（2）若点M（3，﹣2）的等和点N在直线y＝x+b上，求b的值；
（3）已知，双曲线y1=kx和直线y2＝x﹣2，满足y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0．若点P在双曲线y1=kx上，点P的等和点Q在直线y2＝x﹣2上，求点P的坐标．
【分析】（1）依据题意，根据等和点的意义逐个进行判断即可得解；
（2）依据题意，设点N的横坐标为a，又点N是点M（3，﹣2）的等和点，从而可得点N的纵坐标为3+a﹣（﹣2）＝a+5，故点N的坐标为（a，a+5），结合点N在直线y＝x+b上，可得a+5＝a+b．进而可以得解；
∴b＝5．
（3）依据题意得，k＞0，双曲线分布在第一、第三象限，再设直线与双曲线的交点分别为点A、B，由y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0，故A的横坐标为4，B的横坐标为﹣2，再把x＝4代入y＝x﹣2得，y＝4﹣2＝2，求出A（4，2）可得反比例函数解析式，进而可设P（m，8m），点Q的横坐标为n，又点Q是点P的等和点，则点Q的纵坐标为m+n−8m，故Q（n，m+n−8m），又点Q在直线y2＝x﹣2上，可得m+n−8m=n﹣2，从而m−8m+2＝0，求出m后即可判断得解．
【解答】解：（1）由M（1，3），N1（4，2）得，
∴x1+x2＝y1+y2＝5．
∴点N1（4，2）是点M的等和点．
由M（1，3），N2（3，﹣1）得，
x1+x2＝4，y1+y2＝2，
∴x1+x2≠y1+y2．
∴N2（3，﹣1）不是点M的等和点．
由M（1，3），N3（0，﹣2）得，
∴x1+x2＝y1+y2＝1．
∴点N3（0，﹣2）是点M的等和点．
故答案为：N1（4，2），N3（0，﹣2）．
（2）由题意，设点N的横坐标为a，
∵点N是点M（3，﹣2）的等和点，
∴点N的纵坐标为3+a﹣（﹣2）＝a+5．
∴点N的坐标为（a，a+5）．
又∵点N在直线y＝x+b上，
∴a+5＝a+b．
∴b＝5．
（3）由题意得，k＞0，双曲线分布在第一、第三象限．
设直线与双曲线的交点分别为点A、B，
如图，由y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0，
∴A的横坐标为4，B的横坐标为﹣2．
把x＝4代入y＝x﹣2得，y＝4﹣2＝2，
∴A（4，2）．
把A（4，2）代入y1=kx得，2=k4．
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y=8x．
设P（m，8m），点Q的横坐标为n，
∵点Q是点P的等和点，
∴点Q的纵坐标为m+n−8m．
∴Q（n，m+n−8m）．
∵点Q在直线y2＝x﹣2上，
∴m+n−8m=n﹣2．
∴m−8m+2＝0．
∴m＝﹣4或m＝2．
经检验，m＝﹣4，m＝2是方程m−8m+2＝0的解．
∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）或（2，4）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
6．（2024•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m与直线y＝2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数y=kx（k＜0）图象上．
（1）求a，b，m的值；
（2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值；
（3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值．
【分析】（1）把A（2，a）代入y＝2x得a＝2×2＝4，把A（2，4）代入y＝﹣x+m得m＝6；把B（b，0）代入y＝﹣x+6得b＝6；
（2）设C（t，kt），由（1）知A（2，4），B（6，0），而O（0，0），①当AC，BO为对角线时，AC，BO的中点重合，t+2=6+0kt+4=0+0，②当CB，AO为对角线时，CB，AO的中点重合，t+6=2+0kt+0=4+0，③当CO，AB为对角线时，CO，AB的中点重合，t+0=2+6kt+0=4+0，分别解方程组可得答案；
（3）设直线AC解析式为y＝px+q，可知y＝px+4﹣2p，求出D（2p−4p，0），E（4−2pp，0），可得BE=8p−4p，BD=4p+4p，由△ABD与△ABE相似，可得BEAB=ABBD，即BE•BD＝AB2，从而8p−4p×4p+4p=32，解得p＝1，直线AC的解析式为y＝x+2，又有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，得x+2=kx只有一个解，即x2+2x﹣k＝0有两个相等实数根，可得Δ＝0，k＝﹣1．
【解答】解：（1）把A（2，a）代入y＝2x得：a＝2×2＝4，
∴A（2，4），
把A（2，4）代入y＝﹣x+m得：4＝﹣2+m，
∴m＝6；
∴直线y＝﹣x+m为y＝﹣x+6，
把B（b，0）代入y＝﹣x+6得：0＝﹣b+6，
∴b＝6，
∴a的值为4，m的值为6，b的值为6；
（2）设C（t，kt），
由（1）知A（2，4），B（6，0），而O（0，0），
①当AC，BO为对角线时，AC，BO的中点重合，
∴t+2=6+0kt+4=0+0，
解得t=4k=−16，
经检验，t＝4，k＝﹣16符合题意，
此时点C的坐标为（4，﹣4）；
②当CB，AO为对角线时，CB，AO的中点重合，
∴t+6=2+0kt+0=4+0，
解得t=−4k=−16，
经检验，t＝﹣4，k＝﹣16符合题意，
此时点C的坐标为（﹣4，4）；
③当CO，AB为对角线时，CO，AB的中点重合，
∴t+0=2+6kt+0=4+0，
解得t=8k=32，
∵k＝32＞0，
∴这种情况不符合题意；
综上所述，C的坐标为（4，﹣4）或（﹣4，4），k的值为﹣16；
（3）如图：
设直线AC解析式为y＝px+q，把A（2，4）代入得：4＝2p+q，
∴q＝4﹣2p，
∴直线AC解析式为y＝px+4﹣2p，
在y＝px+4﹣2p中，令y＝0得x=2p−4p，
∴D（2p−4p，0），
∵E与点D关于y轴对称，
∴E（4−2pp，0），
∵B（6，0），
∴BE＝6−4−2pp=8p−4p，BD＝6−2p−4p=4p+4p，
∵△ABD与△ABE相似，
∴E只能在B左侧，
∴∠ABE＝∠DBA，
故△ABD与△ABE相似，只需BEAB=ABBD即可，即BE•BD＝AB2，
∵A（2，4），B（6，0），
∴AB2＝32，
∴8p−4p×4p+4p=32，
解得p＝1，
经检验，p＝1满足题意，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
∵有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，
∴直线AC与反比例函数y=kx（k＜0）图象只有一个交点，
∴x+2=kx只有一个解，
即x2+2x﹣k＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝0，即22+4k＝0，
解得k＝﹣1，
∴k的值为﹣1．
【点评】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法，平行四边形判定与性质，相似三角形判定与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
7．（2024•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标；
（3）点Q在反比例函数y=mx位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出Q点坐标．
【分析】（1）把A（﹣6，1）代入y=mx得m＝﹣6，可得反比例函数的解析式为y=−6x，即可求出B（1，﹣6），再用待定系数法得一次函数的解析式为y＝﹣x﹣5；
（2）设直线x＝﹣2交直线AB于H，求出N（﹣2，﹣3），由△PAB的面积为21，可得12PH×（1+6）＝21，PH＝6，故P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣9）；
（3）过Q作QM∥x轴交直线AB于M，设Q（t，−6t），可得M（6t−5，−6t），MQ＝|6t−5﹣t|，故12MQ•|yA﹣yB|＝21，即12×|6t−5﹣t|×7＝21，解出t的值并检验可得Q的坐标为（−11+1452，−11+1452）或（3，﹣2）．
【解答】解：（1）把A（﹣6，1）代入y=mx得：1=m−6，
∴m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=−6x；
把B（1，n）代入y=−6x得：n＝﹣6，
∴B（1，﹣6），
把A（﹣6，1），B（1，﹣6）代入y＝kx+b得：
−6k+b=1k+b=−6，
解得k=−1b=−5，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣5；
（2）设直线x＝﹣2交直线AB于H，如图：
在y＝﹣x﹣5中，令x＝﹣2得y＝﹣3，
∴N（﹣2，﹣3），
∵△PAB的面积为21，
∴12PH•|xB﹣xA|＝21，即12PH×（1+6）＝21，
∴PH＝6，
∵﹣3+6＝3，﹣3﹣6＝﹣9，
∴P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣9）；
（3）过Q作QM∥x轴交直线AB于M，如图：
设Q（t，−6t），
在y＝﹣x﹣5中，令y=−6t得x=6t−5，
∴M（6t−5，−6t），
∴MQ＝|6t−5﹣t|，
∵△QAB的面积为21，
∴12MQ•|yA﹣yB|＝21，
即12×|6t−5﹣t|×7＝21，
∴6t−5﹣t＝6或6t−5﹣t＝﹣6，
解得t=−11±1452或t＝﹣2或t＝3，
经检验，t=−11+1452，t＝3符合题意，
∴Q的坐标为（−11+1452，−11+1452）或（3，﹣2）．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握直角坐标系中三角形面积的求法．
解析式
K的正负
图象
所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在其每个象限内，y随x的增大而减小
在其每个象限内，y随x的增大而增大
对称性
关于直线y=x，y=-x成轴对称；关于原点成中心对称
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
…
y=2x
…
−25
−12
−23
﹣1
﹣2
2
1
23
12
25
…
x
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
1
2
3
4
5
…
y=2x+1
…
−25
−12
−23
1
﹣2
1
23
12
25
13
…