专题03 二次函数的图象与性质大题 (五大题型)学生版-2025年中考数学压轴训练

这是一份专题03 二次函数的图象与性质大题 (五大题型)学生版-2025年中考数学压轴训练，共17页。试卷主要包含了已知二次函数，已知二次函数为常数，等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
题型一．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
题型二．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
题型三．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
题型四．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
题型五．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
题型一．二次函数的性质（共3小题）
1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．
（1）若抛物线经过点，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围；
（3）若对于，，存在，直接写出的取值范围．
2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数．
（1）若它的图象经过点，求该函数的对称轴．
（2）若时，的最小值为1，求出的值．
（3）如果，两点都在这个二次函数的图象上，直线与该二次函数交于，，，两点，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
（1）若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出的取值范围；
（2）若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由．
题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）
4．（2023•南京）已知二次函数为常数，．
（1）若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点．
（2）若，求证：当时，．
（3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，，，且，则的取值范围是 ．
5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）求抛物线的顶点 ；
（2）若，求的取值范围；
（3）若点，在抛物线上，若存在，使成立，求的取值范围．
6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
（1）求该抛物线的对称轴（用含有的代数式表示）；
（2）点，，为该抛物线上的三个点，若存在实数，使得，求的取值范围．
7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的，的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．
（1）若输入，，得到如图①所示的图象，求顶点的坐标及抛物线与轴的交点，的坐标；
（2）已知点，．
①若输入，的值后，得到如图②的图象恰好经过，两点，求出，的值；
②淇淇输入，嘉嘉输入，若得到二次函数的图象与线段有公共点，求淇淇输入的取值范围．
8．（2024•浙江模拟）设二次函数，均为常数，，已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）判断，的大小关系，并说明理由；
（2）若，求的值；
（3）若在，，这三个数中，只有一个数是负数，求的取值范围．
9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．
（1）若，求抛物线的对称轴；
（2）若，求的取值范围．
10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线，，为常数，且经过和两点．
（1）求和的值（用含的代数式表示）；
（2）若该抛物线开口向下，且经过，两点，当时，随的增大而减小，求的取值范围；
（3）已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围．
11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）当时，求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线经过点，当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）当时，点，在抛物线上．若，请直接写出的取值范围．
题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）
12．（2024•保山一模）如图，抛物线过，，三点；点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且．
（1）试求抛物线的表达式；
（2）过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求的值．
13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是直线上方抛物线上一点，过点分别作轴，轴的平行线，交直线于点，．当时，求点的坐标．
14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数的图象经过点，．点在抛物线上，其横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求的取值范围；
（3）当抛物线上、两点之间部分的最大值与最小值的差为时，求的值；
（4）点在抛物线上，其横坐标为．过点作轴于点，过点作轴于点，分别连结，，，当与的面积相等时，直接写出的值．
题型四．抛物线与x轴的交点（共14小题）
15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数为常数）．
（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点．
（2）不论为何值，该函数的图象经过的定点坐标是 ．
（3）在的范围中，的最大值是2，直接写出的值．
16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求的面积
17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，交抛物线于点，（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值；
（3）若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围．
18．（2024•西湖区校级模拟）已知和且是同一直角坐标系中的两条抛物线．
（1）当，时，求抛物线的顶点坐标；
（2）判断这两条抛物线与轴的交点的总个数，并说明理由；
（3）如果对于抛物线上的任意一点均有．当时，求自变量的取值范围．
19．（2024•三元区一模）抛物线与轴相交于点，，与轴正半轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点，，，是抛物线上不同的两点．
①当，满足什么数量关系时，；
②若，求的最小值．
20．（2024•黄山一模）已知抛物线与轴交于，两点，经过点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点是轴上位于点与点之间的一个动点（含点与点，过点作轴的垂线分别交抛物线和直线于点、点．求线段的最大值．
21．（2024•碑林区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，，与轴交于点，点是抛物线上轴左侧的一个动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点关于直线的对称点恰好落在轴上，求点的坐标．
22．（2024•江西模拟）已知关于的二次函数．
（1）求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有两个交点；
（2）若二次函数的顶点的坐标为，求与之间的函数关系及的最大值．
23．（2024•峰峰矿区校级二模）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）若该抛物线过点；
①求该抛物线的表达式，并求出此时，两点的坐标；
②将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应的函数为，点的对应点为，求平移后顶点坐标和线段的长；
（2）点关于的对称轴的对称点的坐标为 （用含的代数式表示）．
24．（2024•安徽模拟）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点、分别是抛物线上第四象限、第二象限上的点，其中点的横坐标为，连接交轴于点，连接、，设的面积为，且，求点的坐标．
25．（2024•宜昌模拟）如图，函数的图象与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点．
（1）已知一次函数的图象过点，，求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数为常数）的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
26．（2024•昆山市模拟）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若抛物线关于原点对称的抛物线为，求抛物线的表达式；
（3）在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2024•安徽模拟）已知抛物线，是常数）与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是上方抛物线上的一点．
（1）求，的值；
（2）如图1，点是第二象限抛物线上的一点，且横坐标比点的横坐标大1，分别过点和点作轴，轴，与分别与交于点，，连接，，求的值；
（3）如图2，连接与交于点，连接，，当时，求点的坐标．
28．（2024•西安校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线关于坐标原点对称的抛物线为，点，的对应点分别为，．抛物线的顶点为，则在轴下方的抛物线上是否存在点，使得的面积等于△的面积．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五．二次函数综合题（共3小题）
29．（2024•鄞州区模拟）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
（1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
（2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
30．（2023•大庆）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表：
（1）求二次函数的表达式；
（2）若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点在左边），为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值；
（3）若将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，其中为常数，请直接写出的取值范围．
31．（2024•历下区一模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，且顶点在直线上．
（1）如图，当抛物线的顶点在点时，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点，满足．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）定义抛物线为抛物线的换系抛物线，点，点在抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
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