2022年中考高分冲刺压轴题专题特训-反比例函数综合

中考压轴题高分冲刺专题特训

1．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝1，OC＝OD，AC＝AE，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．2

【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，∴四边形BDOE是矩形，

∴BD＝OE＝1，把y＝1代入y＝，求得x＝k，∴B（k，1），

∴OD＝k，∵OC＝OD，∴OC＝k，∵AC⊥x轴于点C，

把x＝k代入y＝得，y＝，∴AE＝AC＝，∵OC＝EF＝k，AF＝﹣1＝，

在Rt△AEF中，AE2＝EF2+AF2，∴（）2＝（k）2+（）2，解得k＝±，

∵在第一象限，∴k＝，故选：B．

2．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为 　或　．

【解答】解：设点A的坐标为（m，），∵点B是点A的“倒数点”，

∴点B坐标为（，），∵点B的横纵坐标满足＝，

∴点B在某个反比例函数上，∴点B不可能在OE，OC上，分两种情况：

①点B在ED上，由ED∥x轴，∴点B、点A的纵坐标相等，即＝，

∴m＝±2（﹣2舍去），∴点B纵坐标为1，此时，S△OBC＝×3×1＝；

②点B在DC上，∴点B横坐标为3，即＝3，∴点B纵坐标为：＝，此时，S△OBC＝×3×＝；故答案为：或．

3．（2020•宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为　24　，的值为　﹣　．

【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．

由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，

∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，∵E，C在反比例函数y＝的图象上，

∴E，C关于原点对称，∴E，O，C共线，∵OE＝OC，OA＝OD，

∴四边形ACDE是平行四边形，∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，∴S△AOE＝S△DEO＝12，∴a﹣b＝12，∴a﹣b＝24，

∵S△AOC＝S△AOB＝12，∴BC∥AD，∴＝，∵S△ACB＝32﹣24＝8，

∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝3：1，∴BC：AD＝1：3，

∴TB：TA＝1：3，设BT＝m，则AT＝3m，AK＝TK＝1.5m，BK＝0.5m，

∴AK：BK＝3：1，∴＝＝3，∴＝﹣3，即＝﹣，

解法二：设A（m，），B（m，），则E（，），D（﹣m，﹣），C（﹣，﹣），由题意，a﹣b＝24，2a﹣（m+）（+）×＝32，

化简可得，＝﹣．故答案为24，﹣．

4．如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8，则k＝　40　．

【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝3，在Rt△FMN中，∠MFN＝30°，∴FN＝MN＝3，∴AN＝MB＝8﹣3＝5，设OA＝x，则OB＝x+3，∴F（x，8），M（x+3，5），又∵点F、M都在反比例函数的图象上，

∴8x＝（x+3）×5，解得，x＝5，∴F（5，8），∴k＝5×8＝40．

故答案为：40．

5．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是2，则k的值是　　．

【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，

∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，

∴S△COE＝S△BOD＝，S△ACD＝S△OCD＝2，∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，

∴，∴4S△OCE＝S△OAB，∴4×k＝2+2+k，∴k＝，

故答案为：．

6．如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE．若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为　6　．

【解答】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，∵过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，

∴A与B关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BE⊥AE，∴OE＝OA，

∴∠OAE＝∠AEO，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠AEO，

∴AD∥OE，∴S△ACE＝S△AOC，∵AC＝3DC，△ADE的面积为8，

∴S△ACE＝S△AOC＝12，设点A（m，），∵AC＝3DC，DH∥AF，

∴3DH＝AF，∴D（3m，），∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，

∴S△HDC＝S△ADG，

∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝k+（DH+AF）×FH+S△HDC＝k+×2m+＝k++＝12，∴2k＝12，∴k＝6；故答案为6；

（另解）连接OE，由题意可知OE∥AC，∴S△OAD＝S△EAD＝8，

易知△OAD的面积＝梯形AFHD的面积，设A的纵坐标为3a，则D的纵坐标为a，

∴（3a+a）（﹣）＝16，解得k＝6．

7．如图，在直角坐标系中，第一象限内的点A，B都在反比例函数的图象上，横坐标分别是3和1，点C在x轴的正半轴上，满足AC⊥BC．且BC＝2AC，则k的值是　　．

【解答】解：根据题意，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，如图，

∵点A，B都在反比例函数的图象上，横坐标分别是3和1，

∴设点，B（1，k），

∴点D（3，0），E（1，0），

∵AC⊥BC，AD⊥x轴，BE⊥x轴，

∴∠CBE+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠CBE＝∠ACD，

∴△ACD∽△CBE，

∴，

∵BC＝2AC，

∴，

∵AD＝，BE＝k，

∴CE＝，CD＝k，

∴OD＝OE+EC+CD＝1++＝3，

解得；

故答案为：．

8．背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．

探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

（1）求k的值．

（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．

①求这个“Z函数”的表达式．

②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．

③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

【解答】解：（1）∵AC＝4，CD＝3，∴AD＝AC﹣CD＝1，∵四边形ABED是正方形，

∴AB＝1，∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°，

∴四边形ABOC是矩形，∴OB＝AC＝4，∴A（4，1），∴k＝4．

（2）①由题意，A（x，x﹣z），∴x（x﹣z）＝4，∴z＝x﹣．

②图象如图所示．

性质1：x＞0时，y随x的增大而增大．性质2：图象是中心对称图形．

③设直线的解析式为z＝kx+b，把（3，2）代入得到，2＝3k+b，∴b＝2﹣3k，

∴直线的解析式为z＝kx+2﹣3k，由，消去z得到，（k﹣1）x2+（2﹣3k）x+4＝0，当k≠1时，当Δ＝0时，（2﹣3k）2﹣4（k﹣1）×4＝0，

解得k＝或2，当k＝时，方程为x2﹣x+4＝0，解得x1＝x2＝6．

当k＝2时，方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2．当k＝1时．方程的解为x＝4，符合题意，另外直线x＝3，也符合题意，此时交点的横坐标为3，

综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6．