重庆市万州中学教育集团2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份重庆市万州中学教育集团2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共13页。
1．请将答案作答在答题卡规定的区域，不得在试卷上作答．
2．客观题用2B铅笔填涂，主观题用黑色签字笔书写，不能用铅笔、圆珠笔书写．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 在式子中，分式有（ ）个
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题关键，注意不是字母，是常数．根据分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此即可得到答案．
【详解】解：式子中，分式有，共2个，
故选：B．
2. 对于函数，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．根据分母不为0，可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
，
故选：A．
3. 已知函数是一次函数，则m的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如，的函数叫做一次函数”得，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
故选A．
4. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识．易知方程组的解即为直线和的交点坐标，由此可求得答案．
【详解】解：方程组的解即为直线和的交点坐标，
∵直线和相交于点，
∴方程组的解为：，
故选：D．
5. 2025年春节，是申遗成功以后的首个春节，春晚开场歌舞《如意舞步》在重庆万州望江大台阶取景，向全国乃至全世界展现了万州的魅力和风采． 万州望江大台阶以江为琴、以楼为幕、以桥为弦、以光为歌，共设有331步梯台，是有名的网红打卡地． 某星期六早晨，身为万州高级中学初2023级1班的小刚同学计划要完成240步梯台的登梯任务，他如果将速度提高，则可以提前1分钟完成锻炼，设他原计划每分钟登梯x步，则可以列出下列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，正确理解题意列方程是解题关键，设他原计划每分钟登梯x步，根据他如果将速度提高，则可以提前1分钟完成锻炼列方程即可解决．
【详解】解：设他原计划每分钟登梯x步，则列方程为，
故选：C．
6. 如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数与正比例函数的图像，分和两种情况，讨论两个函数图像的位置即可得出答案．
【详解】解：当时，直线经过第一、三、四象限，直线经过第一、三象限，
大致为：
当时，直线经过第一、二、三象限，直线经过第二、四象限，大致为：
综上，B选项符合题意．
故选：B
7. 小王家、食堂、图书馆在同一条直线上，小王从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，下图反映小王离家的距离与时间之间的对应关系，下列说法正确的是（ ）
A. 小王读报用了
B. 小王吃早餐用了
C. 小王从图书馆回家的平均速度是
D. 小王家离食堂
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是函数图像的读图能力，根据函数图像的性质得到信息是解题的关键．根据横轴表示时间，纵轴表示路程即可得到答案．
【详解】解：小王读报用了，故选项A错误；
小王吃早餐用了，故选项B错误；
小王从图书馆回家的平均速度是，故选项C正确；
小王家离食堂，故选项D错误；
故选C．
8. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解，解答本题时，易漏掉，这是因为忽略了这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
先解方程，用含有m的式子表示出方程的解，再根据分式方程的解为正数，并且分母不为零，可得到满足条件的m的范围．
【详解】解：
去分母，可得，
解得，
∵关于x的分式方程的解为正实数，
∴，解得，
又∵，
∴，
综上，且，
故选：D．
9. 如图，正方形的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过顶点和边上的点，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点，则点F的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，再利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标即可．
【详解】解：正方形的顶点，
正方形的边长为3，即，
，
，即点的坐标为，
和在反比例函数图象上，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点坐标得：
，解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，
．
故选：C．
10. 已知单项式串：，，，，，，其中为非负整数，为正整数．规定： ，下列说法：
①若，则，；
②从单项式，，，，中任选个，存在种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积；
③从单项式串中任取个相邻单项式，至少存在种情况，使得其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积．
其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数与式的操作，单项式与单项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的运算，并熟练根据题意正确进行式子的操作是解题的关键．先得出，分别令，，，依次求解即可判断①；由题意得，，，，，根据题意列出其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积的情况即可判断②；先得出要使其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积，那么个相邻单项式中的指数和为偶数，设个相邻单项式分别为，，，，，，得出的指数和为奇数，故可判断③．
【详解】解：①中，
由题意，得，
当时，，
则；
当时，，
则；
当时，，
则；
故①错误；
②中，
由题意得，，，，，
则任选个，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积的情况有：
；
；
；
共种情况，
故②正确；
③中，
对于不同的，当三个单项式的积等于另外三个单项式的积时，
即若，其中，，，，，为非负整数，
则，
则，
则，
则为偶数，
设个相邻单项式分别为，，，，，，
根据题意得，是奇数，
故从单项式串中任取个相邻单项式，不存在使得其中三个单项式的积等于另外三个单项式的积的情况，
故③错误；
综上所述，正确的有个，
故选：B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 华为系列搭载了麒麟芯片，这个被华为称之为全球首个5纳米工艺的芯片，拥有8个全球第一，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．按此方法即可正确求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知，则= _________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可设，然后代入求解即可．
【详解】解：，
设
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
13. 若反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得．
故答案为：．
14. 11世纪，德国数学家高斯说过一句名言：“数学是科学之”． 而17世纪法国数学家笛卡尔在前人的基础上发明了平面直角坐标系，通过坐标系将几何图形转化为代数方程，为数学研究提供了新的工具和方法． 那今天我们就把放在平面直角坐标系中来研究一下． 如图所示，将等腰直角三角板的两个顶点刚好放在两坐标轴上，若直线的表达式为：，则直线的表达式为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数的性质、全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质．过点作轴于点，如图，先利用直线的解析式确定，，再证明得到，，所以，然后有待定系数法求直线的解析式．
详解】解：过点作轴于点，如图，
当时，，
解得，
，
当时，，
，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为．
故答案为：．
15. 若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含有参数的一元一次不等式组及含参数的分式方程，解不等式组得，解分式方程得，根据不等式组及分式方程解的情况，即可求解；能熟练解含有参数的一元一次不等式组及含参数的分式方程，能根据解的情况确定参数是解题的关键．
【详解】解：解不等式组得：，
不等式组有且只有两个奇数解，
，
解得：，
，
解分式方程得：，
分式方程的解为整数，
或，
解得：或或；
，
，
或；
；
故答案为：．
16. 若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“同差数”，最小的“同差数”为_______．交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以余数为，则满足条件的的最大值为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的解，列代数式，整式的加减，不等式的性质，熟练根据题意进行列式，并根据题意得出等式是解题的关键．根据题中定义即可得出最小的“同差数”；设，则，根据题意，得出，且，，，，，，列式求出，利用与的差为一个两位数且为完全平方数，结合，的取值范围得出，则可得，，则可表示为，利用除以余数为，结合分离整数法得出是的整数倍，结合，的取值范围得出或或，分别求解判断是否合理即可，
【详解】解：的千位数字最小为，百位最小为，
由千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，
则的十位数字最小为，个位最小为，
则最小的“同差数”为，
故答案：；
设，则，
根据题意，得，且，，，，，，
则，
则，，
则，
∵与的差为一个两位数且为完全平方数，
∴，且是完全平方数，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵除以余数为，
∴是整数，
∴是的整数倍，
由题意可得，，
∴，
∴或或，
结合，的取值范围，
当时，即，
解得：，
此时；
当时，即，
解得：（，舍）或，
此时；
当时，即，
解得：（，舍）；
综上所述，或，最大值为，
故答案为：．
三、解答题：（本大题8个小题，第17题5+5+6=16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. （1）计算：
（2）化简：
（3）解方程：
【答案】（1）2（2）（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，解分式方程，分式的运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂的计算法则求解即可；
（2）根据分式混合运算的计算法则求解即可；
（3）根据去分母化为整式方程，然后解整式方程求解并检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
去分母，得：，
解整式方程，得：，
经检验，是原方程的解，
原分式方程的解是．
18. 先化简，然后再从，，，这个数字中选择一个使原式有意义数作为的值代入求值．
【答案】，当时，原式＝．
【解析】
【分析】本题考查了运用分式的混合运算法则化简求值，确保分母和除式里的除数都不为0是解题关键．根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x，代入计算即可．
【详解】解：原式
，
由题意得：，
∴当时，原式．
19. 如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）．
（2）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴ ① ．
在和中，
∴．
∴．
∵
∴ ③
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 ④ ．
【答案】（1）见解析 （2）；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作垂线、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，根据平分．得出，根据，公共边，可利用证明，得出，则直线即为的垂线；
（2）利用证明，得到，结合三角形的面积公式，进而将面积之比转化为相应边的比，得出答案即可．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求作的垂线，
；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
故答案为：；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，求的面积；
（3）根据图象直接写出当时，x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为
（2）6 （3）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法，根据图形直观得出不等式的解集是数形结合数学的实际应用．
（1）把代入，可求出反比例函数关系式，求出点B坐标，进而确定一次函数关系式；
（2）先求得点C的坐标，利用即可求解；
（3）根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案．
【小问1详解】
解：把代入，
得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，
得：，
∴．
把，代入，可得，
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：如图：
令，则，
∴，
∵
；
【小问3详解】
当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
∴当时，或．
21. 为丰富同学们的课余生活，全面响应中小学生每天体育锻炼不低于2小时的要求，促进学生身心健康，培养学生德智体美劳全面发展，万州高级中学于3月21日—3月23日隆重举办了为期三天的第47届田径运动会，周边商店在运动会开始前抓住商机，购进了一批开幕式道具祥云彩带和佩奇小喇叭进行销售，已知每副祥云彩带的进价比每个佩奇小喇叭的进价少10元，且用480元购进祥云彩带的副数是用同样金额购进佩奇小喇叭个数的6倍．
（1）求每副祥云彩带和每个佩奇小喇叭的进价分别是多少？
（2）由于销售火爆，第一批销售完了以后，该商店用相同的价格再购进300副祥云彩带和200个佩奇小喇叭，已知祥云彩带售价为6元一副，佩奇小喇叭售价为20元一个，销售一段时间后，祥云彩带全部卖完，佩奇小喇叭售出了总数的． 为了清仓，该店老板对剩下的佩奇小喇叭进行打折销售，并很快全部售出，求商店最多打几折可以使得这批货的总利润率不低于？
【答案】（1）每副祥云彩带的进价是2元，则每个佩奇小喇叭的进价是12元
（2）商店最多打9折可以使得这批货的总利润率不低于
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设每副祥云彩带的进价是元，则每个佩奇小喇叭的进价是元，根据用480元购进祥云彩带的副数是用同样金额购进佩奇小喇叭个数的6倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设剩下的商店打折，根据该商店用相同的价格再购进300副祥云彩带和200个佩奇小喇叭，祥云彩带全部卖完，佩奇小喇叭售出了总数的，该店老板对剩下的佩奇小喇叭进行打折销售，使得这批货的总利润率不低于，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设每副祥云彩带的进价是元，则每个佩奇小喇叭的进价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：每副祥云彩带的进价是2元，则每个佩奇小喇叭的进价是12元；
【小问2详解】
解：设剩下的商店打折可以使得这批货的总利润率不低于，
依题意得：
，
解得：．
答：商店最多打9折可以使得这批货的总利润率不低于．
22. 如图，在四边形中，，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从C点出发，沿折线的方向运动，运动到点A停止运动． 设运动时间为x秒，的面积为y．
（1）直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围（不包含点C和点A）；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）若一次函数的图象与该函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
【答案】（1）
（2）图象见解析，当时，随的增大而增大
（3）或
【解析】
【分析】（1）当时，在上，，当时，在上，，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）描点画出函数图象，由图象写出一条性质即可；
（3）求出图象过关键点时的值，再画出图象，结合图象
【小问1详解】
解：当时，
，，，
；
当时，如图，
，，
；
综上所述，；
【小问2详解】
解：函数的图象如图所示；
性质：当时，随的增大而增大；
【小问3详解】
解：如图：
把代入，可得，解得；
把代入，可得；
解得，
把代入，可得，
解得；
由图可知一次函数的图象与该函数图象有且只有一个交点，或．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及三角形面积，一次函数的性质，一次函数的图象，解题的关键是数形结合思想的应用．
23. 如图1，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
（1）求直线的函数解析式；
（2）如图1，若点是直线上一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若的面积为，求点的坐标；
（3）如图2，若点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，在点的运动过程中是否存在的情况，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）存在，点坐标为或
【解析】
【分析】（1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式；
（2）设，则，表示出，分两种情况：当点在轴左侧时，当点在轴右侧时，用三角形面积公式即可得出结论；
（3）设，则，分点在轴左侧和右侧，利用勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：在中，令，则，令，则，
解得：，
，，
点与点关于轴对称，
，
设直线的函数解析式为，将、代入得：
，
解得：，
直线的函数解析式为；
【小问2详解】
设，则，
当点在轴左侧时，，
，
解得：，
；
当点在轴右侧时，，
，
，
；
综上所述，点的坐标为或；
【小问3详解】
存在，
设，则，
，
，，，
，，，，
，，，
点与点关于轴对称，
，
，
，
，
当点在轴左侧时，
轴，
，即，
，
，
，
，
解得：，
；
当点在轴右侧时，
轴，
，即，
，
，
，
，
，
解得：，
；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
24. 如图，在等边中，为线段上一动点（不与、重合），连接．
（1）如图1，若，，求线段的长；
（2）如图2，为线段上一动点，满足，连接交于点，过点作平行且等于，连接，取中点，连接，求证：；
（3）如图3，若，当取最小值时，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，请直接写出的最大值．（较容易）
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，由等边三角形的性质得到，，则，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理，即可求解；
（2）如图，在的延长线上取点使得，延长至点，使得，连接，取中点，连接，则是的中位线，得到，先证明，根据全等三角形的性质结合外角得到，可得为等边三角形，得到，结合题意证明，结合、分别是、的中点，得到，即可证明；
（3）当时，取得最小值，根据等边三角形的性质可得，，推出，，进而得到，在中，设边上的高为，则，当最大时，取最大值，当线段绕点顺时针旋转至线段时，最大，其最大值为，即可求解．
【小问1详解】
解：过点作于点，
是等边三角形，
，，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图，在的延长线上取点使得，延长至点，使得，连接，取中点，连接，
则是的中位线，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
、分别是、的中点，
，
又，
，
，
；
【小问3详解】
当时，取得最小值，
是等边三角形，
，，
，，
，
在中，设边上的高为，
则，
最大时，取最大值，
当线段绕点顺时针旋转至线段时，最大，其最大值为，
的最大值为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键在于构造全等三角形．