天津市第四十三中学2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份天津市第四十三中学2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式解答即可．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
．
．
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质，加法法则，除法法则，逐一进行判断即可．熟练掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键．
【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选C．
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ）

A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴判断a、b、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由数轴可知：，
∴，
∴
，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简、化简绝对值、数轴，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
4. 矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：如图所示：
四边形是矩形，
，
，
，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5. 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵对角线上的两点、满足，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6. 下列图象不能反映是的函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数的定义，理解函数定义，结合图象是解题关键．根据函数的定义“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数”即可得．
【详解】解：观察四个图象，B选项中对于的每一个确定的值，y的值都不唯一，这不符合y是x的函数的定义；
A、C、D三个选项中对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，符合y是x的函数的定义．
故选：B．
7. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为，则AC长为（ ）
A. B. C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】首先连接OB，根据两点间距离公式即可求得OB，再根据矩形的性质可得OB=AC，即可求得AC的长．
详解】解：如图：连接OB
点B的坐标为，
，
又四边形OABC是矩形，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了两点间距离公式，矩形的性质，作出辅助线是解决本题的关键．
8. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．
【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
9. 如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作，得到，证明四边形为菱形，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：作，

由题意，得：，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为；
故选D．
10. 将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A. cm2B. cm2C. cm2D. （）ncm2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．
【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）=cm2．
故选：B．
【点睛】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
11. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作交AD于E，若，则AE的长为（ ）
A 3B. 4C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形ABCD，得到AD=BC=8，∠ADC=90°，OA=OC，从而得证△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，利用勾股定理计算即可．
【详解】如图，连接EC，
∵ 矩形ABCD，，，
∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠ADC=90°，OA=OC，
∵，∴∠AOE=∠COE=90°，
∵OE=OE，
∴△AOE≌△COE，AE=CE，
设AE=x，则EC=x，DE=8-x，
在Rt△DEC中，，
∴，
∴x=5，
∴AE=5，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形全等，勾股定理是解题的关键．
12. 如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理求出AC2值，再由勾股定理的逆定理判定△ACD也为直角三角形，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD．
【详解】解：如图，连接AC．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=2，
∵AC2+CD2=AD2，
∴△CDA也为直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AC×CD=．
故四边形ABCD的面积是．故选B.
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，求出AC的长．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
13. 对于任意两个正数、，定义运算为：
计算的结果为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用新定义得到 ，再把二次根式化为最简二次根式，去括号合并即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，读懂题目中的运算法则列出式子进行运算是解题的关键．
14. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，，
∵点C是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
15. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB、CD应满足的条件是______．
【答案】AB=CD
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理可以证得四边形EFGH是平行四边形，然后由菱形的判定定理进行解答．
【详解】解：要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB、CD应满足的条件是：AB=CD，
理由：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EF∥AB，HG∥AB，
∴EF∥HG；
同理，HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AB=CD，
∴GH=GF，
所以平行四边形EFGH是菱形．
故答案为AB=CD．
【点睛】考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键.
16. 如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形的两直角边分别为，若，小正方形的面积是2，则大正方形的边长是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与几何图形和完全平方公式的变形应用，设较长的直角边为b，较短的直角边为a，得到小正方行的边长，根据小正方的面积建立等式，再根据完全平方公式进行变形即可求出直角三角形斜边得长度，从而得到答案．
【详解】解：设直角边较长的为b，较短的为a，
小正方形的边长为：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴大正方形的边长等于直角三角形的斜边，即，
故答案为：．
17. 如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知得当时，最短，同样也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值．
【详解】解：连接，如图：
在中，，
，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵M是的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，矩形的判定及性质、直角三角形的性质，解题的关键是能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形为等边三角形，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段的长为_______．
（2）若线段、上分别存在点D、E，且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使得为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）_______．
【答案】 ①. ②. 见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识．
（1）利用勾股定理计算即可；
（2）作射线，交过点A的格线交于H，作射线；连接，，交于点O，作射线，交于W；作射线，交射线于点Q．
【详解】解：（1）由勾股定理得，；
故答案为：；
（2）如图，
与过点B的格线的交点记作G，的中点记作F，
①作射线，交过点A的格线交于H，作射线，
②连接，，交于点O，作射线，交于W，
③作射线，交射线于点Q，
则点Q就是求作的点，
故答案为：作射线，交过点A的格线交于H，作射线；连接，，交于点O，作射线，交于W；作射线，交射线于点Q．
三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式和计算二次根式乘法，再计算加减法即可得到答案；
（2）先利用完全平方公式去第一个括号，再利用积的乘方和同底数幂乘法的逆运算法则去第二个括号，再计算加减法即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 已知：a＝﹣2，b＝+2，分别求下列代数式的值：
（1）a2+2ab+b2
（2）a2b﹣ab2．
【答案】（1）12 （2）4
【解析】
【分析】（1）先因式分解，再把，代入计算，即可得到答案；
（2）先因式分解，再把，代入计算，即可得到答案 .
【小问1详解】
解：∵，，
∴
；
【小问2详解】
解：
.
【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的乘法运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算．
21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段且使，连接；
（2）线段的长为 ；
（3）的形状为 ；
（4）中边的高为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）直角三角形 （4）2
【解析】
【分析】本题考查了网格问题、勾股定理、三角形的面积、直角三角形的判定：
（1）根据点之间的关系可得到结果；
（2）根据勾股定理可计算出结果；
（3）先算出三边长，根据勾股定理的逆定理可得出结果；
（4）根据三角形的面积可得到结果；
掌握并灵活运用该知识点是解题的关键．
【小问1详解】
解： ∵点C在点B的右边4个格，下面3个格，
则点D在点A的右边4个格，下面3个格，
如图所示：
；
【小问2详解】
解：由图可得：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：根据图形可得：，
，
由（2）可得，
∵，
∴的形状为直角三角形，
故答案为：直角三角形；
【小问4详解】
解：过点A作于点E,
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
22. 如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：BE＝DF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可知，AB＝CD，即得出∠ABE＝∠CDF．再根据AE⊥BD，CF⊥BD，即得出，从而可利用“AAS”证明△ABE≌△CDF，即证明出BE＝DF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，即∠ABE＝∠CDF．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
∴BE＝DF．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质．结合平行四边形的性质找出使三角形全等的条件是解题关键．
23. 如图，四边形菱形，过点A作、，垂足分别为点E、F，分别交于点G、H．
（1）求证：；
（2）延长相交于点P，当时，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
(1)根据菱形的性质即可解决问题；
(2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明 是等边三角形， 是等边三角形，进而可以解决问题．
【小问1详解】
证明： 四边形 是菱形，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
是直角三角形斜边 的中点，
由(1)知： ，
是等边三角形，

如图，连接 ，
∵四边形是菱形，
是等边三角形，
24. 如图1，在平面直角坐标系中有长方形OABC，点，将长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，CD边交x轴于点E，．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，在直线AC以及y轴上是否分别存在点M，N，使得△EMN周长最小？如果存在，求出△EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）点P为y轴上一动点，作直线AP交直线CD于点Q，是否存在点P使得△CPQ为等腰三角形？如果存在，请求出∠OAP的度数；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）点D坐标；（2）存在，△EMN的周长最小值为8；（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）利用矩形的性质和得到AO=4，∠CAB＝60°，再由折叠的性质AD=4，∠DAO＝30°，过点D作DF⊥AO于F，可求得DF、AF，进而可求得点D坐标；
（2）如图，利用“将军饮马”模型，分别作E关于y轴、AC的对称点Q、H，连接QH，则QH就是周长的最小值，进一步求出点E、点Q、点H坐标，即可解得QH的长，即周长的最小值；
（3）要使得△CPQ为等腰三角形，需分三种情况讨论求解：①若CP=CQ；②若PQ=CQ;③若CP=PQ，进一步推导求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，
∴OC＝AB＝4，
∵∠OAC＝30°
∴AC＝2CO＝8，AO＝CO＝4，∠CAB＝60°，
∵长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，
∴AD＝AB＝4，∠CAD＝60°，
∴∠DAO＝30°，
如图1，过点D作DF⊥AO于F，
∵DF⊥AO，∠DAO＝30°，
∴DF＝AD＝2，AF＝DF＝2，
∴OF＝AO﹣AF＝2，
∴点D坐标（2，﹣2）；
（2）如图2，过点E作y轴的对称点G，过点E作AC的对称点H，连接GH交y轴于点N，与AC交于M，即△EMN的周长最小值为GH，
∵∠OAD＝30°，AD＝4，∠ADC＝90°
∴AE＝，
∴OE＝，
∵点G，点E关于y轴对称，点E，点H关于AC对称，
∴点G（﹣，0），点H（，4）
∴GH＝，
∴△EMN的周长最小值为8；
（3）存在点P使得△CPQ为等腰三角形，
∵∠ACB＝∠ACD＝30°，
∴∠OCE＝30°，
①若CP＝CQ，如图3，
∵CP＝CQ，∠OCE＝30°，
∴∠CPQ＝75°，
∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝15°，
②若PQ＝CQ时，如图4，
∵CQ＝PQ，
∴∠QPC＝∠PCQ＝30°，
∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝60°；
③若CP＝PQ，如图5，
∴∠PCQ＝∠PQC＝30°，
∴∠OPA＝60°，且∠OCA＝60°，
∴不存在这样的点P，
综上，满足条件的点P存在，并且∠OAP=15º或60º．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、折叠性质、矩形的性质、含30º直角三角形性质、对称性求最值、等腰三角形的性质、勾股定理、两点坐标距离公式等知识，属于综合题型，有一定难度，解答的关键是认真分析图形，寻找相关联的信息，借助添加辅助线或数学模型确定解题思路，进而推导、计算．