天津市第五十五中学2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份天津市第五十五中学2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 代数式 有意义时，应满足的条件为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可．熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
【详解】解：由题可知，
，
解得．
故选：C．
2. 以下列各组数为边长，能够成直角三角形的是（ ）
A. ， ， B. 1，，
C. ，，D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A．，不能够成直角三角形，故此选项不符合题意，
B．，能够成直角三角形，故此选项符合题意，
C．，不能够成直角三角形，故此选项不符合题意，
D．，不能够成直角三角形，故此选项不符合题意，
故选：B．
3. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
故选：D．
4. 如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则 图中阴影部分的面积为( )
A. 6B. 9C. 12D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理的应用．根据勾股定理可得，从而可得，，同理，，再根据，代入求值即可．
【详解】解：标记字母如图：
为直角三角形，
，
又，
，
，
同理，，，
在中，，，
所以阴影部分的面积为
．
故选：D．
5. 下列四个命题中，假命题是 （ ）
A. 顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形
B. 直角三角形一边上的中线等于这条边的一半
C. 菱形的对角线互相垂直并且平分一组对角
D. 两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了判断命题真假，矩形的判定，菱形的性质，直角三角形的性质，中点四边形，根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理可判断A；根据直角三角形的性质即可判断B；根据菱形的性质即可判断C；根据矩形的判定定理即可判断D．
【详解】解：A、如图所示，在四边形中，分别是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故原命题是真命题，不符合题意；
B、直角三角形斜边上的中线等于这斜边的一半，故原命题是假命题，符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直并且平分一组对角，故原命题是真命题，不符合题意；
D、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原命题是真命题，不符合题意；
故选：B．
6. 如图，在中，于点D，，是的中线，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明可得的长，再由勾股定理求出的长，进而由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案．
【详解】解：于点D，
，
，，
∴，
，
，
，
是的中线，
故选：B．
7. 在四边形中，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形，再利用其性质即可解决问题
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
∵，
，
，
故选：C．
8. 如图， 菱形的边长为2，， 对角线交于点O， 点E、F分别为的中点， 连接， 则的长为（ ）
A 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，根据题意易证是的中位线，由三角形中位线定理得，再由菱形的性质结合直角三角形的性质得，，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】解：∵E，F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴．
又∵四边形是边长为2的菱形，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为（ ）
A. 10B. 9C. 12D. 6.5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边行的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边行的性质，是解题的关键．连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
详解】解：连接，
由作图知：，，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
故选：A．
10. 如图，在四边形中，，，，，分别为，的中点，则为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质得到，根据勾股定理计算，得到答案，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：如图，取的中点连接、，
，分别为，的中点，
是的中位线，
，，
，
同理可得，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
11. 如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点固定在点处，转动直角三角形，若两条直角边分别与轴正半轴交于点，轴正半轴交于点，则的值为（ ）

A. 8B. 10C. 16D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质的应用，作轴于，轴于，求出，证明，推出，即可．解题的关键是证明，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【详解】解：如图，作轴于，轴于，
，
，
四边形为矩形，
，
，
矩形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，
．
故选：D．
12. 如图，边长一定的正方形，为上一个动点，交于点，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值，其中正确的结论个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及旋转的性质，利用上述性质逐一判断即可，综合性强、具有相当的难度，正确添加辅助线、灵活应用所学知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
如图，连接、，交于点，
，，
，
，，
，
，故②正确；
如图，将绕点顺时针旋转至，使和重合，连接，
则，，，
、、三点在同一直线上，
，
，
，
，
，即，故③正确；
如图3，作，垂足为，作，垂足为，
由①得，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，即，
，
，故④错误．
故选：C．
二、填空题（每小题3分）
13. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的乘法，利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：1．
14. 在平面直角坐标系中，若点坐标为，则点到点的距离为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据两点之间的距离公式即可解决问题．熟知两点之间的距离公式是解题的关键．
【详解】解：由题知，因为点的坐标为，点坐标为，
所以点到点的距离为：．
故答案为：．
15. 等边三角形的边长为4，则其面积为______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据三线合一的性质根据勾股定理可以求出AD，根据AD、BC可以计算等边△ABC的面积，即可解题．
【详解】∵等边三角形中中线与高线重合，
∴D为BC的中点，故BD=BC=2，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=2，
则AD=，
∴等边△ABC的面积为BC•AD=．
故答案为 4．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形三线合一的性质，考查了等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理求AD的值是解题的关键．
16. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案．
【详解】解：如图所示：由题意可得：，
，
故两个阴影部分面积和为：，
故答案为：．
17. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．

（1）的面积为________；
（2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积；
（2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长．
【详解】解：（1）过点E作，

正方形的边长为3，
，
是等腰三角形，，，
，
在中，，
,
故答案为：3；
（2）延长交于点K，
正方形的边长为3，
，，
，，
，
，
，
F为的中点，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知，，，
，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
18. 已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图：
（1）如图1，与交于点 M；
①找格点 E， 作线段；
②直接写出的度数 _________．
（2）如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明．_________．
【答案】 ①. ②. 取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为
【解析】
【分析】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案；
（2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求．
【详解】（1）解：①如图1中， 直线即为所求；
②∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求．
理由：同理可得：，，
而，
∴，
故答案为：取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为．
【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键．
三、解答题
19. 计算：
（1）
（2）已知： ，求代数式 的值：
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值：
（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；
（2）求出的值，整体代入法求出代数式的值即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴．
20. 天天和津津放风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝垂直高度．以下是他们测量高度的过程：
①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米；
③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米．
已知A、B、C、D点在同一平面内．
（1）求风筝离地面的垂直高度；
（2）在测高的过程中天天提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决他提出的问题．
【答案】（1）米
（2）能成功，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；
（2）假设能上升9米，作图，根据勾股定理可得米，再根据题意，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1所示，过点作于点，
则米，米，，米，
∴（米），
∴（米）；
【小问2详解】
解：能成功，理由如下：
假设能上升9米，如图所示，延长至点，连接，
则米，
∴（米），
∴（米），
∵米，余线仅剩7.5米，
∴，
∴能上升9米，即能成功．
21. 如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，且，求两点之间的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键．
（1）连接交于点，如图所示，由平行四边形的性质及题中已知条件得到，从而结合对角线相互平分的四边形是平行四边形即可得证；
（2）在中，由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，最后由勾股定理即可得到两点之间的距离．
【小问1详解】
证明：连接交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，两点之间的距离为．
22. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）32
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及菱形的面积计算，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
（1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，即可得出结论；
（2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式即可计算出结果．
【小问1详解】
证明：∵，
，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
在和中，
，
，
，
∵D是的中点，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴在中，，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
，
又∵四边形是菱形，，
．
23. 数学课本上有一题：如图1，四边形是正方形，点E是的中点，，且交正方形外角平分线于点F．求证．
（1）课本中给出证法提示：取的中点G，连接．请你在图1中补全图形并证明结论；
（2）若点E为边上一动点（点E、B不重合），是等腰直角三角形，．
①如图2，连接，请你求出的大小；
②填空：如图3，连接，当，时，则的面积为________．
【答案】（1）图形见解析；证明见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）取的中点G，连接，根据正方形的性质和等边对等角的性质，证明，即可得出结论；
（2）①在上截取，连接，根据正方形的性质和等腰三角形的性质，证明，得到，即可求出的大小；
②过点作，分别交延长线于点，延长线于点，则四边形是矩形，再证明是等腰直角三角形，得到，，设，则，，，利用勾股定理，求出，进而得出，即可求出的面积．
【小问1详解】
证明：如图，取的中点G，连接，
四边形是正方形，
，，
点E是的中点，点G是的中点，
，，
，
，
，
是正方形外角平分线，
，
，
，
,
，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：①如图，在上截取，连接，
四边形是正方形，
，，
，即，
，
，
等腰直角三角形，
，，
,
，
，
在和中，
，
，
，
；
②如图，过点作，分别交延长线于点，延长线于点，
四边形是正方形，
，，，
四边形是矩形，
，，，
由①可知，，
是等腰直角三角形，
，，
设，则，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的哦安定额性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，．
（1）求点E的坐标；
（2）如图2，在直线以及轴上是否分别存在点，，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，周长的最小值为8
（3）存在，或
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
（1）由矩形的性质和折叠的性质可得，，可得，由直角三角形的性质可求解；
（2）过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于，即的周长最小值为，由直角三角形的性质可求，的长，可求点，点坐标，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【小问1详解】
解：点，
，
四边形是矩形，
，，
，
由折叠可知：，
，
设，则，
根据勾股定理可得，
即，
解得（负值舍去），
点坐标；
【小问2详解】
解：如图2，过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于，
，
，
的周长为，则点四点共线时最小值为，
由（1）可得，
点，点关于轴对称，点，点关于对称，
，，
点，点，
，
的周长最小值为8；
【小问3详解】
解：存在点使得△为等腰三角形，
若，如图3，
，，
，
，
若时，如图4，
，
，
；
若，如图5，
，
，
此时点与点重合，
不存在这样的点．
综上所述：的度数为或．