湖北省黄石市下陆区黄石市实验中学2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份湖北省黄石市下陆区黄石市实验中学2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了 下列计算正确的是， 在 中，已知，则下列正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A. x＞﹣1B. x＜﹣1C. x≥﹣1D. x≠﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
【详解】解：根据题意得：x+1≥0，
解得x≥-1，
故选：C．
【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质，解题关键要是要知道二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式=，所以B选项错误；
C、原式=2，所以C选项错误；
D、原式==2，所以D选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3. 下列各组数据中不能构成直角三角形三边长的是（ ）
A. 2,3,4B. 3,4,5C. 6,8,10D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】∵，
∴2，3，4不能构成直角三角形三边长，
∵，
∴3，4，5能构成直角三角形三边长，
∵，
∴6，8，10能构成直角三角形三边长，
∵，
∴，，能构成直角三角形三边长，
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理，是解题的关键．
4. 在 中，已知，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质求解即可.
【详解】解：如图
根据平行四边形的性质可知
∵
∴∠A=38°
∴∠B=142°
故选B.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
5. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，则，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故选：C．
6. 如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（ ）．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈尺）
A. 3尺B. 4尺C. 4.55尺D. 5尺
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】解：1丈尺
设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
答：折断处离地面的高度是4.55尺，
故选：C．
7. 四边形的对角线和相交于点O．有下列条件：①，；②；③；④矩形；⑤菱形；⑥正方形．则下列推理正确的是（ ）
A. ②③⑥B. ①②⑤C. ①③④D. ②⑤⑥
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了矩形、菱形、正方形的判定定理，灵活掌握这些判定定理是解本题的关键．
根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
【详解】解：A、由②③对角线相等，对角线互相垂直，不能判断四边形是正方形，不符合题意；
B、由①得，四边形是平行四边形，再由②，对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
C、由①③，对角线相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
D、由②⑤得，对角线相等的菱形是正方形，符合题意．
故选：D．
8. 直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为（ ）
A. cmB. 13cmC. cmD. cm
【答案】D
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．
【详解】∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，
∴斜边为＝13．
设h为斜边上的高．
∵S△ABC＝×5×12＝×13h，
∴h＝．
故选D．
【点睛】此题考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
9. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质．延长交于点，证明，得到，，则为的中点，从而得到为的中位线，即，从而得到．
【详解】解：延长交于点，如下图：

∵
∴
又∵平分，
∴
又∵
∴
∴，
即为的中点，
又∵是的中点，
∴为的中位线，
∴
∵，
∴
故选：B．
10. 如图，将两张完全一样的长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形面积最大，则这个最大值是（ ）
A. 7.5B. 15C. 18D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形性质、勾股定理，解题的关键是掌握题中重叠部分为菱形．
要使重叠部分的四边形面积最大，则重叠部分的边长就要最大，由题意可得重叠部分的四边形是菱形，画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出边长，根据割补法即可得出面积．
【详解】解：如图，重叠部分为菱形，要使面积最大，则边长应最大，
，
，
，
，
∴在中，
即，
解得：，
，
，
，
，
∴重叠部分的四边形面积最大为：15．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11. 已知，化简______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握知识点是解题的关键．
由二次根式的性质化简，再去绝对值即可．
【详解】解：，∵，
∴，
故答案为：．
12. 若，则_____________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可确定x的值，进而求得y的值，则所求代数式即可求解．
【详解】根据题意得：
，
解得：x=1.5．
则y=2．
则2x+y=2×1.5+2=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13. 如图，在四边形中，，，，如果，，那么______．
【答案】2
【解析】
【分析】过点D作，交于点E，根据平行四边形的判定与性质可得，再由平行线的性质可得，从而可证是等边三角形，即可求解．
【详解】解：过点D作，交于点E，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：2．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、平行线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理证得是等边三角形是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，则点的坐标是 __．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
利用勾股定理求出即可得解．
【详解】解：正方形边长为，即，
，
，
故答案为：．
15. 第届国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，正确的根据图形关系求得和的值是解题的关键．
根据题意可知，，然后将所求式子展开，将和的值代入计算即可．
【详解】解：由题意可得，，
解得，
∵大正方形的面积是，
∴，
∴
，
∴的值是（负值舍去），
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
16. 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把二次根式化成最简二次根式，再进行加减计算即可；
（2）二次根式的乘法法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式．
17. 已知，，求下列各式的值．
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用已知得出，的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
（2）结合平方差公式计算得出答案．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
，
∴
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．正确运用乘法公式进行因式分解是解题关键．
18. 已知：如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形性质和判定，根据平行四边形性质证明，利用全等三角形性质，即可证明．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
19. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，点A、B、C的对应点分别为D、E、F．
（1）画出，并直接写出点E的坐标；
（2）判断线段与的关系为__________；
（3）求的面积．
【答案】（1）作图见解析，
（2）平行且相等 （3）9.5
【解析】
【分析】本题考查的是作图——平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
（1）根据图形平移的性质画出图形，再根据在坐标系中的位置写出点的坐标；
（2）根据平移的性质即可解答；
（3）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，；
【小问2详解】
由平移的性质可得，线段与的关系为平行且相等，
故答案为：平行且相等；
【小问3详解】
的面积为．
20. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）
（2）需要，
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；
（1）过作，因为，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，通过三角形的面积转化，即可求解；
（2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三，比较与的大小即可判断，由勾股定理得，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能作出适当的辅助线，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得
，，，
如图，过作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：，
答：山地C距离公路的垂直距离为；
【小问2详解】
解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，
则，
，
，
由（1）可知，，
，
有危险需要暂时封锁，
在中，
，
，
即需要封锁的公路长为．
21. 小明在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与解的：∵
∴，∴，
∴，∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1） ， ．
（2）化简：．
（3）若，请按照小明的方法求出的值．
【答案】（1），
（2）4 （3）5
【解析】
【分析】本题考查了二次根式化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键．
（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）根据小明的分析过程，得，可求出代数式的值
【小问1详解】
解：，
；
故答案为：，；
小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：，
∴，
∴，即，
∴，
∴原式．
22. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒（）．过点作于点F，连接DE，EF．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）t=10； （3）当t=或12时，△DEF为直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由题意得∠BCA=30°，CD=4tcm，AE=2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF=DC=2tcm， 即可得到AE=DF；
（2）由AE=AD，得四边形AEFD为菱形，得2t=60-4t，进而求得t的值；
（3）分∠EDF=90°、∠DEF=90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．
【小问1详解】
证明：由题意可知CD=4tcm，AE=2tcm，
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴DF=DC=2t cm．
∵AE=2t cm，DF=2t cm，
∴AE=DF．
小问2详解】
解：∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴．
∵AE=DF，，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
即2t=60-4t，
解得t=10，
∴当t=10时，四边形AEFD为菱形，
故答案为：10．
【小问3详解】
当∠EDF=90°时，如图①，
∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴，
∴四边形DFBE为矩形．
∴
∴AD=2AE，即60-4t=2t×2，
解得，t=，
当∠DEF=90°时，如图②，
∵，
∴DE⊥AC，
∴．
∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t），
解得，t=12，
综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23. （1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．
（2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．
【答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）等腰直角三角，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．
【详解】解：（1）连接BE，CD相交于H，如图1，
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BHD=90°，
∴CD⊥BE，
∵点M，G分别是BD，BC的中点，
∴MG∥CD且MG=CD，
同理：NG∥BE且NG=BE，
∴MG=NG，MG⊥NG；
（2）连接CD，BE，相交于H，如图2，
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BHD=90°，
∴CD⊥BE，
∵点M，G分别是BD，BC的中点，
∴MG∥CD且MG=CD，
同理：NG∥BE且NG=BE，
∴MG=NG，MG⊥NG；
（3）连接EB，DC并延长相交于点H，如图3，
同（1）的方法得，MG=NG，
同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，
∴∠DHE=90°，
同（1）的方法得，MG⊥NG．
∴△GMN是等腰直角三角形．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，，两点坐标分别为，．
（1）若，直接写出，两点坐标；
（2）在（1）的条件下，如图1，为延长线上一点，的平分线交轴于点，若，求的长．
（3）如图2，、分别为、上的点，若，试探究、、之间的数量关系并证明．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次根式非负性，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质；
（1）根据二次根式有意义，求出即可；
（2）取与交点，中点，中点，由（1）可得，由可得，，由中位线可得，即可证明得到，再在中利用勾股定理列方程求解即可；
（3）构造夹半角模型全等，由矩形可得，，设，则，，，，过向下作，且，过作于，过作于，可证明，，在中利用勾股定理找到，，的等量关系，即可找到．
【小问1详解】
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
∵四边形是矩形，，；
∴，,
∵，
∴，
∴，
如图，取与交点，中点，中点，则，
∴是中位线，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵的平分线交轴于点，
∴，
∵,
∴
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
解得
【小问3详解】
，证明如下：
∵四边形是矩形，，两点坐标分别为，，
∴，，
设，则，
∵
∴，，
∴，
过向下作，且，过作于，过作于，
∴，，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴
在中，
∴，
整理得，
∵，，，
∴，
∴．