广东省深圳市65校联考2024-2025学年下学期八年级期中质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份广东省深圳市65校联考2024-2025学年下学期八年级期中质量检测 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了考试结束，监考人员将答题卡收回等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置．
2．选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域．
3．考试结束，监考人员将答题卡收回．
第I卷（本卷共计24分）
一、选择题：（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分）
1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键.
3. 在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A. ﹣4B. 4C. 12D. ﹣12
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得，可得a，b的值，再代入求解即可得到答案．
【详解】解： 点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），
，
解得：

故选D
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数．
4. 下列命题中真命题是（ ）
A. 用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形中有一个内角小于”
B. 三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等
C. 等腰三角形的高线、角平分线、中线重合
D. 三角形的外角等于它的两个内角之和
【答案】B
【解析】
【分析】根据反证法的概念，三角形三个内角平分线交点的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形的三个内角都小于”，故A选项是假命题，不符合题意；
B、三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等，故B选项是真命题，符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C选项是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故D选项是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题，反证法的概念，三角形三个内角平分线交点的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的概念，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
5. 如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，将不等式转化为函数图象的位置是解题关键．观察函数图象，写出直线在上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由题意得：不等式表示函数的图象在函数图象上方的部分，
由图可知：该不等式的解集为：，
故选：D．
6. 如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（ ）

A. 16cmB. 18cmC. 20cmD. 21cm
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：已知，△ABE向右平移2cm得到△DCF，根据平移的性质得到EF=AD=2cm，AE=DF，又因△ABE的周长为16cm，所以AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．故答案选C．
考点：平移的性质.
7. 如图，在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质．点P到点，的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案．
【详解】解：∵点P到点，的距离相等，
∴点P在的角平分线上，
故选：B．
8. 如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转20次后，点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查点的坐标变化规律及全等三角形的判定与性质，能根据所给旋转方式发现点横纵坐标的变化规律是解题的关键．根据所给旋转方式可知，每旋转四次，点的横坐标增加16，纵坐标循环出现一次，据此可解决问题．
【详解】解：分别连接和，过点和分别作轴的垂线，垂足分别为和，
由旋转可知，
，，
，
．
在和中，
，
，
，，
又点的坐标为，点坐标为，
，，
点的坐标为．
同理可得，
第2次旋转后，点的坐标为，
第3次旋转后，点的坐标为，
第4次旋转后，点的坐标为，
点5次旋转后，点的坐标为，
，
根据旋转方式可知，每旋转四次，点的横坐标增加16，纵坐标按2，1，2，3循环出现，
点的坐标为，
，
连续旋转20次后，点的坐标为．
故选：C．
第Ⅱ卷（本卷共计76分）
二、填空题：（每小题3分，共计15分）
9. 已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是______．
【答案】17
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
根据非负数的性质得到则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该等腰三角形的周长为：17．
故答案为17．
10. 北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是路程、速度、时间之间关系及用不等式表示范围，先求出要在内通过时的速度，再根据按照当前时速行驶能通过下一路口求出此时速度，即可解决．
【详解】解：，
当距离下一路口时，以速度通过需要的时间为：，
要在内通过，
小车的速度至少为，
因为导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，
则小车当前行驶速度的取值范围是．
11. 在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据角平分线得到，根据垂直平分线得到，从而得到，结合得到，即可得到答案；
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约______．（结果精确至．参考数据：）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理．通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点，点，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
即椅背上人的头部支撑点向上抬高了约．
故答案为：．
13. 如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质．首先连接，利用证明，根据全等三角形的性质可知，，根据勾股定理可得．
【详解】解：如下图所示，连接，
在中，，为的中点，
，，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
在中，．
故答案为：．
三、解答题：（本答题共7小题，14题6分，15题8分，16题6分，17题8分，18题8分，19题13分，20题12分，共计61分）
14. 分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
．
15. （1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上．
（2）解不等式组：
【答案】（1），数轴表示见解析；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集：
（1）先按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，．
（1）将以点C为旋转中心旋转得到．请画出；
（2）平移，若点A的对应点的坐标为，请画出平移后的；
（3）若将绕某一点旋转可以得到，写出旋转中心的坐标：______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图旋转和平移变换，掌握旋转的性质和平移的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图；
（2）根据平移的性质作图；
（3）根据旋转性质求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：如图，连接，可得与交于点，
将绕点旋转可以得到，
故答案为：．
17. 如图，中，，，于点E，于点D，与相交于F．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，掌握相关知识点是解题关键．
（1）证明，即可得到结论；
（2）连接，证明是等腰直角三角形，求出，再根据等腰三角形三线合一性质和垂直平分线的性质，得到，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∵，，
∴，是的垂直平分线，
∴，
∴．
18. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．
（1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？
【答案】（1）选用种食品包，种食品包
（2）选用种食品包，种食品包
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键．
（1）设选用种食品包，种食品包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；
（2）设选用种食品包，则选用种食品包，根据“每份午餐中蛋白质含量不低于”列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设选用种食品包，种食品包，
根据题意，得
解方程组，得
故选用种食品包，种食品包．
【小问2详解】
解：设选用种食品包，则选用种食品包，
根据题意，得．
∴．
设总热量为，则．
∵，
∴随的增大而减小．
∴当时，最小．
∴．
故选用种食品包，种食品包．
19. 【提出问题】
（1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为_______；
【初步思考】
（2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为________；______；从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为_______；
【深度思考】
（3）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题：
①如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为_______．
②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，求出所得图象对应的函数表达式．
【拓展应用】
（4）如图3，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是________．
【答案】（1）；（2），，；（3）①或；②；（4）
【解析】
【分析】（1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可；
（2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）①分、、，三种情况求解即可；
②过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，结合全等三角形的性质可求解，的坐标，再利用待定系数法可求得解析式；
（4）求出，则，的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解．
【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为．
故答案为：；
（2），，
将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、，
设直线的一次函数解析式为，
．
．
过点、的直线对应的函数表达式为．
故答案为：，，；
（3）①如图，当，时，过点作于点，过点作于点，
点，点，
，，，
，
，，
，，
，且，，
，
，，
，
点坐标为；
如图，当，时，过点作，过点作，
，，
，，
，且，，
，
，，
，
点坐标为，
综上所述：点坐标为：、；
故答案为：、；
②如图，过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，
将直线绕点逆时针旋转，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
设所得到的图象对应的函数表达式为，
，解得．
所得到图象对应的函数表达式为．
如图作于．
设点的坐标为，
由（1）知：，，
则点，
则：，
的值，相当于求点到点和点的最小值，
相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小，
作关于直线的对称点，
而，
，
故：的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题为一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平移变换，对称点坐标，利用待定系数法求函数解析式，一次函数与几何图形的关系，熟练求一次函数解析式是解题的关键．
20. 感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____；
拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为．
根据（2）和（3）中结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键．
（1）用两种方法表示图1中的大正方形的面积即可得解．
（2）用两种方法表示图2中正方体的体积即可得解．
（3）将和用含有，的式子表示出来即可得解．
【详解】解：（1）图1中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
（2）图2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
（3），，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
营养成分表
营养成分表
项目
每
项目
每
热量
热量
蛋白质
蛋白质
脂肪
脂肪
碳水化合物
碳水化合物
钠
钠