河北省宁晋县第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份河北省宁晋县第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了 在中，为的中点，点满足，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第I卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 如图，在中，D是BC上的点，则等于（ ）
A B. C. D.
2. 已知向量，则（ ）．
A B. C. D.
3. 在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 锐角三角形D. 钝角三角形
4. 若三点，，在同一条直线上，则的值为（ ）
A 4B. 5C. 6D. 8
5. 在中，为的中点，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 设、是非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件.
A. 充分必要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分又非必要
8. 在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ）
A. 3B. C. 2D.
二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，下列命题中正确的有（ ）
A B.
C. D.
10. 如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（ ）

A B.
C. D.
11. 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若，则实数m的值为__________．
13. ，是平面内两个单位向量，它们的夹角为，__________.
14. 已知是的重心，，，，则的大小为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量与的夹角为，且，求：
（1）；
（2）．
16. 在△中，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的大小．
17. 已知向量，．
（1）求的值；
（2）求；
（3）求向量在向量上的投影向量的坐标．
18. 在中，内角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求的大小；
（2）在锐角中，，求的取值范围.
19. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上．
（1）求处与小岛之间的距离；
（2）求，两座小岛之间的距离．
高一年级下学期第一次月考试卷
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第I卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 如图，在中，D是BC上的点，则等于（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的加法和减法原则求解即可.
【详解】.
故选：C.
2. 已知向量，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合向量加法的坐标表示即可.
【详解】由题意知，
，
所以，
故选：C
3. 在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C 锐角三角形D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理代入整理得，进而得答案.
【详解】解:由余弦定理,
故代入边角互化得: ,整理得:
所以,故三角形等腰三角形.
故选：A
【点睛】本题考查利用边角互化判断三角形形状，考查化归转化思想，是基础题.解题的关键在于边角互化.
4. 若三点，，在同一条直线上，则的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由三点共线可得，结合求解即可.
【详解】因为、、三点共线，所以，
又因为，，
所以，解得.
故选：C.
5. 在中，为的中点，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量共线的性质得，再利用向量的三角形法则，即可得出结果.
【详解】为的中点，点满足，
，，
.
故选：A.
6. 海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用正弦定理求解即可.
【详解】由题意得，，则，
所以，所以，
即B，C间的距离为.
故选：D.
7. 设、是非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件.
A. 充分必要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分又非必要
【答案】C
【解析】
【分析】先考虑必要性，再考虑充分性可得解.
【详解】当“为锐角”时，，所以“”是“为锐角”的必要条件；
当时，，所以“”是“为锐角”的不充分条件.
所以“”是“为锐角”的必要不充分条件.
故选：C.
8. 在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.
【详解】由余弦定理得，即，即，又，
，即，当且仅当时等号成立.
，
.
.
故选：B
二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，下列命题中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量模公式计算可判断A；由向量平行的坐标表示可判断B；由向量垂直的坐标表示可判断C；根据向量模公式计算可判断D.
【详解】因为，所以不平行，B错误；
因为，所以，C正确；
因为，所以，
又，所以，A正确，D错误.
故选：AC
10. 如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正六边形的性质，结合向量加法，模长，数量积定义可解.
【详解】对于A，根据正六边形性质知道方向相反，故A错误.
对于B, ,故B正确.
对于C，,故C正确.
对于D，,,
根据正六边形性质知道，且.
故.故D错误.
故选：BC．
11. 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
选项A，根据已知得到，再根据正弦定理即可得到三角形只有一解，故符合题意.选项，根据正弦定理得到，因为，所以只有一解.选项C，根据正弦定理得到，无解，不符合题意.选项D，根据正弦定理得到，，符合题意.
【详解】选项A，，，，又，
由正弦定理得：，只有一种情况，
此时三角形只有一解，故A符合题意.
选项B，，，，
由正弦定理：得：，
又，，只有一解，故B符合题意
选项，，，，
由正弦定理得：，
无解，不符合题意.
选项D，，，；
由正弦定理：得，
此时 三角形只有一解，故D符合题意.
故选：.
【点睛】本题主要考查正弦定理中三角形解的个数问题，属于中档题.
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若，则实数m的值为__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】由题意结合向量平行的充分必要条件即可求得实数m的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解得：.
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查平面向量平行的充分必要条件，属于基础题.
13. ，是平面内两个单位向量，它们的夹角为，__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求，再求解.
【详解】由题意可得：
，
所以.
故答案为：
14. 已知是的重心，，，，则的大小为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据全等三角形可得，在和中利用余弦定理分别求出和，进而求出AC，在中利用余弦定理即可求得.
【详解】如图，
延长交于点，则为中线，
所以，延长到点，
使，有，连接，
易知，从而，
在和中，
由余弦定理，得，
，
所以，解得，
故，
在中，由余弦定理，得，
由，解得.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量与的夹角为，且，求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】(1)利用向量数量积的定义直接求解即可.
(2)利用向量数量积的运算律，求解即可.
【小问1详解】
由已知得
【小问2详解】
．
16. 在△中，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的大小．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）通过正弦定理易得，代入即可．（Ⅱ）三边长知道通过余弦定理即可求得的大小．
【详解】（Ⅰ）因，所以由正弦定理可得．因为，
所以．
（Ⅱ）由余弦定理 ．
因为三角形内角，所以．
【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理，记住公式很容易求解，属于简单题目．
17. 已知向量，．
（1）求的值；
（2）求；
（3）求向量在向量上的投影向量的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的坐标表示计算可得；
（2）首先求出的坐标，即可求出其模；
（3）首先求出，再根据投影向量的定义计算可得.
【小问1详解】
因为，，
所以.
【小问2详解】
因为，，
所以，
所以.
【小问3详解】
因为，所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
18. 在中，内角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求的大小；
（2）在锐角中，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用正弦定理、三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）
，
，
，则，，由，可得：；
（2）在锐角中，，由（1）可得，，
由正弦定理可得，
，
由，可得，所以，
，可得：.
19. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上．
（1）求处与小岛之间的距离；
（2）求，两座小岛之间的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合图形求出相关角，利用正弦定理即可求得；
（2）根据题设条件计算得到，在中利用余弦定理求得，接着在中利用余弦定理，即可求得结果.
【小问1详解】
由题可知在中：，，
所以，
由正弦定理可得：，
所以（海里）．
【小问2详解】
由题可知在中：，，所以．
所以（海里），
由余弦定理可得：
，
所以（海里），
由题意可知，在中，，
由余弦定理可得：
，
所以（海里）.