河北省宁晋县第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份河北省宁晋县第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了在中，为的中点，点满足，则，已知向量，，下列命题中正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第I卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.如图，在中，D是BC上的点，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，则（ ）.
A. B. C. D.
3.在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
4.若三点，，在同一条直线上，则的值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
5.在中，为的中点，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
6.海面上有相距的两个小岛，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则B，C间的距离为（ ）
A. B.C D.
7.设､是非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件.
A.充分必要 B.充分非必要
C.必要非充分 D.既非充分又非必要
8.在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，，下列命题中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.平面内，向量，若，则__________.
13.，是平面内两个单位向量，它们的夹角为，__________.
14.已知是的重心，，则的大小为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知向量与的夹角为，且，求：
（1）；
（2）.
16.（15分）
在中，，且.
（1）求的值；
（2）求的大小.
17.（15分）
已知向量.
（1）求的值；
（2）求；
（3）求向量在向量上的投影向量的坐标.
18.（17分）
中，､､所对的边分别为，.
（1）求的大小；
（2）在锐角中，，求的取值范围.
19.（17分）
如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.
（1）求处与小岛之间的距离；
（2）求，两座小岛之间的距离.
高一数学参考答案
1.C
【难度】0.85
【知识点】向量减法的法则，向量加法的法则
【分析】由向量的加法和减法原则求解即可.
【详解】.
故选：C.
2.C
【难度】0.94
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示
【分析】结合向量加法的坐标表示即可.
【详解】由题意知，
，
所以，
故选：C
3.A
【难度】0.85
【知识点】正，余弦定理判定三角形形状
【分析】由余弦定理代入整理得，进而得答案.
【详解】解：由余弦定理，
故代入边角互化得：，整理得：
所以，故三角形为等腰三角形.
故选：A
【点睛】本题考查利用边角互化判断三角形形状，考查化归转化思想，是基础题.解题的关键在于边角互化.
4.C
【难度】0.94
【知识点】由坐标解决三点共线问题
【分析】由三点共线可得，结合求解即可.
【详解】因为三点共线，所以，
又因为，
所以，解得.
故选：C.
5.A
【难度】0.85
【知识点】平面向量的混合运算
【分析】利用向量共线的性质得，再利用向量的三角形法则，即可得出结果.
【详解】为的中点，点满足，
故选A.
【点睛】本题考查了向量三角形法则，向量共线性质，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）.
6.D
【难度】0.94
【知识点】距离测量问题
【分析】直接利用正弦定理求解即可.
【详解】由题意得，，则，
所以，所以，
即间的距离为.
故选：D.
7.C
【难度】0.94
【知识点】判断命题的必要不充分条件，用定义求向量的数量积
【分析】先考虑必要性，再考虑充分性可得解.
【详解】当“为锐角”时，，所以“”是“为锐角”的必要条件；
当时，，所以“”是“为锐角”的不充分条件.
所以“”是“为锐角”的必要不充分条件.
故选：C.
8.B
【难度】0.65
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围，数量积的运算律，基本不等式求积的最大值
【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.
【详解】由余弦定理得，即，即，又，
，即，当且仅当时等号成立.
，
.
.
故选：B
9.AC
【难度】0.94
【知识点】由坐标判断向量是否共线，向量垂直的坐标表示，坐标计算向量的模
【分析】根据向量模公式计算可判断A；由向量平行的坐标表示可判断B；由向量垂直的坐标表示可判断C；根据向量模公式计算可判断D.
【详解】因为，所以不平行，B错误；
因为，所以，C正确；
因为，所以，
又，所以，A正确，D错误.
故选：AC
10.BC
【难度】0.85
【知识点】向量加法法则的几何应用，向量减法的法则，用定义求向量的数量积，数量积的运算律
【分析】根据正六边形的性质，结合向量加法，模长，数量积定义可解.
【详解】对于A，根据正六边形性质知道方向相反，故A错误.
对于B，，故B正确.
对于C，，故C正确.
对于D，
，
，
根据正六边形性质知道，且.
故.故D错误.
故选：BC.
11.ABD
【难度】0.65
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【解析】选项A，根据已知得到，再根据正弦定理即可得到三角形只有一解，故A符合题意.选项B，根据正弦定理得到，因为，所以只有一解.选项C，根据正弦定理得到无解，不符合题意.选项D，根据正弦定理得到，，符合题意.
【详解】选项A，又，
由正弦定理得：只有一种情况，
此时三角形只有一解，故A符合题意.
选项，
由正弦定理：得：，
又只有一解，故B符合题意.
选项，
由正弦定理得：，
无解，不符合题意.
选项D，；
由正弦定理：得，
此时三角形只有一解，故D符合题意.
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查正弦定理中三角形解的个数问题，属于中档题.
12.
【难度】0.85
【知识点】由向量共线（平行）求参数
【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】因为且，
所以，解得.
故答案为：
13.
【难度】0.94
【知识点】向量的模，零向量与单位向量，平面向量数量积的运算
【分析】先求，再求解.
【详解】，所以.
【点睛】本题主要考查空间向量模长的求解，模长求解一般是求解模的平方，转化为向量数量积问题.
14.
15.（1）
（2）12
【难度】0.94
【知识点】用定义求向量的数量积，数量积的运算律
【分析】（1）利用向量数量积的定义直接求解即可.
（2）利用向量数量积的运算律，求解即可.
【详解】（1）由已知得
（2）
16.（1）；（2）
【难度】0.94
【知识点】正弦定理解三角形，余弦定理解三角形
【分析】（1）通过正弦定理易得，代入即可.（2）三边长知道通过余弦定理即可求得A的大小.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理
可得.因为，
所以.
（2）由余弦定理.
因为三角形内角，所以.
【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理，记住公式很容易求解，属于简单题目.
17.【难度】0.85
【知识点】求投影向量，坐标计算向量的模，数量积的坐标表示
【分析】（1）根据数量积的坐标表示计算可得；
（2）首先求出的坐标，即可求出其模；
（3）首先求出，再根据投影向量的定义计算可得.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以，
所以.
（3）因为，所以，
所以向量在向量上的投影向量为
.
18.【答素】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正弦公式求出的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；
（2）利用正弦定理，三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，结合正弦型
函数的基本性质可求得的取值范围
【详解】（1）
，
，
，则，由，可得：
（2）在锐角中，，由（1）可语，
由正弦定理可得，
，
由，可得，所以，
，可得：.
20.（1）
（2）
【难度】0.85
【知识点】正弦定理解三角形，余弦定理解三角形，距离测量问题
【分析】（1）结合图形求出相关角，利用正弦定理即可求得；
（2）根据题设条件计算得到，在中利用余弦定理求得，接着在中利用余弦定理，即可求得结果.
【详解】（1）由题可知在中：
，
，
所以，
由正弦定理可得：，
所以（海里）.
（2）由题可知在中：，所以.
所以（海里），
由余弦定理可得：
，
所以（海里），
由题意可知，在中，，
由余弦定理可得：
，
所以（海里）.