河北省邢台市宁晋县质检联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 若函数满足，则（ ）
A. B. 4C. 1D. 2
2. 已知函数，则（ ）
A B.
C. D.
3. 如图，直线是曲线在点处的切线，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 0
4. 已知火箭发射秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为（ ）
A B.
C. D.
5. “”是“函数有极值”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知定义在上的函数满足，，其导函数满足，则（ ）
A. B. 16C. 12D. 24
7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 有2个极大值点，1个极小值点
D. 的单调递减区间为，
10. 若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（ ）
A. B.
C D.
11 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数，则________．
13. 如果函数满足在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．函数在上的“拉格朗日中值”为________．
14. 已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若曲线与轴相交于点，求该曲线在点处的切线方程；
（2）若曲线上点的切线与坐标轴围成的三角形面积为，求点的坐标．
16. 已知函数．
（1）若在上不单调，求的取值范围；
（2）若，求在上的值域．
17. 将一个边长为2分米的正八边形硬纸片的八个角截去八个全等的四边形，再把它沿虚线折起，如图所示，做成一个无盖的正八棱柱纸盒（忽略纸片厚度）．（参考数据：）

（1）试把该正八棱柱纸盒的容积（单位：立方分米）表示为盒底正八边形边长（单位：分米）的函数．
（2）试问当盒底正八边形边长为何值时，这个正八棱柱纸盒的容积最大？容积的最大值是多少立方分米？
18. 已知函数，，．
（1）求的单调区间．
（2）若的最大值为1，证明：对任意的，．
（3）当时，若恒成立，求实数的取值范围．
19. 若连续函数的极值点是函数的零点，为函数的导函数，且存在实数满足，则称是的强化原生函数，记的最大值为，则为的强化原生系数．已知函数．
（1）设函数，证明有唯一极值点，并求出满足的整数的值．
（2）设函数，函数．已知是的强化原生函数．
（i）证明：．
（ii）求的强化原生系数的最小值．
2024—2025学年高二（下）质检联盟第一次月考
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 若函数满足，则（ ）
A. B. 4C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义合理变形即可.
【详解】.
故选：C.
2. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合函数的求导法则即可得到答案.
【详解】因为，则.
故选：B.
3. 如图，直线是曲线在点处的切线，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形，利用两点表示直线的斜率，结合导数的几何意义计算即可求解.
【详解】由图可知，切线过点，所以切线的斜率为，
又由导数的几何意义知.
故选：A
4. 已知火箭发射秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导得，计算即可.
【详解】，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为.
故选：B.
5. “”是“函数有极值”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】对函数求导，根据的解析式得到函数有极值的充要条件，再判断的情况即可.
【详解】，
所以，
若函数有极值点，则方程的判别式大于，
即，整理得：，
解得，所以是函数有极值的充要条件，
所以“”是“函数有极值”的充分不必要条件.
故选：B
6. 已知定义在上的函数满足，，其导函数满足，则（ ）
A. B. 16C. 12D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】根据，构造函数，再根据，求出,进而赋值得到结果.
【详解】根据，构造函数，
由，则,
则，
令，则，
令，则.
故选：D.
7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数在上递增，得到在上恒成立，由此得到不等式，再反解得到，，构造函数，，利用导函数求出的单调性，求出函数的最小值即可求解.
【详解】由，得，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即，，整理得：，，
令，，则，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极小值，且为最小值，
所以.
故选：B
8. 函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，求导确定在R上单调递减，不等式等价于，即，运算得解.
【详解】令，则，
，，即在R上单调递减，
又，则不等式等价于，
，即，
，解得.
所以不等式的解集为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 有2个极大值点，1个极小值点
D. 的单调递减区间为，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据导数单调性和极值与导函数图象一一分析即可.
【详解】对A，由图知当时，，此时单调递减，则f-1>f1，故A错误；
对B，当时，，此时单调递增，则，故B正确；
对C，由图知，当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，则为的极大值点；
，当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，则为的极小值点；
，当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，则为的极大值点；
则有2个极大值点，1个极小值点，故C正确；
对D，当时，，当时，，
则的单调递减区间为，，故D正确.
故选：BCD.
10. 若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先对函数求导，得到关于的方程，根据“二倍阶值点”的定义，探究方程的解是否存在，逐个选项进行判断即可求解.
【详解】对于A，，，
由得，解得，
所以函数存“二倍阶值点”，A正确；
对于B，，，
由得，
因为，，解得，
所以函数存在“二倍阶值点”，B正确；
对于C，，，
由得，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，有极小值也是最小值，
所以无解，
所以函数不存“二倍阶值点”，C错误；
对于D，，，
由得，
令，，
所以上单调递增，
又，，
根据零点存在性定理可知在上存在零点，
所以方程有解，
所以函数存在“二倍阶值点”，D正确；
故选：ABD
11. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用作差法，适当放缩比较、和、的大小，得到、、的大小关系即可求解.
【详解】，，，
，
所以，
，
所以，所以，
所以B、C、D正确，A错误.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数，则________．
【答案】6
【解析】
【分析】求导得，代入即可得到答案.
【详解】，则，
解得.
故答案为：6.
13. 如果函数满足在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．函数在上的“拉格朗日中值”为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“拉格朗日中值”的定义及函数的导数得到方程，解方程即可求解.
【详解】设函数的“拉格朗日中值”为，
根据已知条件有：，
因为，，所以，，
根据题意有：，整理得：，
因为，所以.
故答案为：
14. 已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由可得，令，利用导数分析函数的单调性可知，设，由图象可知，函数有两个不等的零点、，且，，利用二次函数的零点分布可求得实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
由可得，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，
且当时，，当时，，
作出函数的图象如下图所示：
设，由图象可知，函数有两个不等的零点、，
且，，
若，解得，此时，，
由可得或，不合乎题意；
若，可得，则，由，解得，不合乎题意；
所以，，，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若曲线与轴相交于点，求该曲线在点处的切线方程；
（2）若曲线上点的切线与坐标轴围成的三角形面积为，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求出曲线与轴的交点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；
（2）设出点的坐标，利用导数的几何意义求出切线的方程，进而求出切线与坐标轴围成的三角形面积，运算得解.
【小问1详解】
由，令，得，
所以曲线与轴的交点为，
又，则曲线在点处切线的斜率为，
所以曲线在点处切线的方程为，即.
【小问2详解】
设，，
，则切线的斜率，
所以切线的方程为 ，即，，
令，得，令，得，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为，
解得，
所以点的坐标为或.
16. 已知函数．
（1）若在上不单调，求的取值范围；
（2）若，求在上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知方程在R上有解，结合计算即可求解；
（2）利用导数研究函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
由题意知，，
因为在R上不单调，所以方程在R上有变号零点，
即方程在R上有两解，
得，解得，
即实数的取值范围为.
【小问2详解】
当时，，则，
令或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以在上的值域为.
17. 将一个边长为2分米的正八边形硬纸片的八个角截去八个全等的四边形，再把它沿虚线折起，如图所示，做成一个无盖的正八棱柱纸盒（忽略纸片厚度）．（参考数据：）

（1）试把该正八棱柱纸盒的容积（单位：立方分米）表示为盒底正八边形边长（单位：分米）的函数．
（2）试问当盒底正八边形边长为何值时，这个正八棱柱纸盒的容积最大？容积的最大值是多少立方分米？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出八边形内角，根据几何关系将正八棱柱的底面积和高用表示，即可求解；
（2）对求导，利用导数，判断原函数的单调性，求得最大值即可求解.
【小问1详解】

根据已知条件，得到如上图所示图形，
已知条件有正八边形的内角为，所以，
，，设，，
在中，，解得，
在中，，，所以，
所以，
正八边形面积为：，
所以正八棱柱纸盒的容积：
，.
即，.
【小问2详解】
因为，，
所以，，
所以，，
所以当时，，单调递增，
所以当时，，单调递减，
由此可知当时，取得极大值即最大值.
18. 已知函数，，．
（1）求的单调区间．
（2）若的最大值为1，证明：对任意的，．
（3）当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调递增，在单调递减
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）求导，分别令和，即可得到对应的增区间和减区间；
（2）根据题意求出参数，构造函数，利用导数研究函数的最值即可证明；
（3）构造函数，利用导数研究函数的最值进而列出不等式求解即可.
【小问1详解】
的定义域为，令得，
令得，令得，
在单调递增，在单调递减.
【小问2详解】
由（1）知，，
，要证，即证，
即证，即证，
构造函数，则，
令得，令得，
在单调递增，在单调递减，
，即恒成之，当且仅当时等号成立.
，，使得，
恒成立，故对于任意的，.
【小问3详解】
当时，，若恒式立,
即恒式立，即，即恒成立，
由（2）可知恒成立，当且仅当时等号成立，
令，则恒成立，
在单调递增，
，使得成立，
，，
所以．
19. 若连续函数的极值点是函数的零点，为函数的导函数，且存在实数满足，则称是的强化原生函数，记的最大值为，则为的强化原生系数．已知函数．
（1）设函数，证明有唯一极值点，并求出满足的整数的值．
（2）设函数，函数．已知是的强化原生函数．
（i）证明：．
（ii）求的强化原生系数的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用零点存在性定理得有唯一零点，验证单调性可知也为极值点，根据范围求即得；
（2）（i）利用强化原生函数定义，由的极值点是的零点，代入韦达定理化简得，再构造函数，由单调性可证明；（ii）由不等式代入韦达定理可得，再结合函数单调性可求最值.
【小问1详解】
证明：依题意得，
则，
设函数，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为，
所以存在唯一零点，使得.
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以有唯一极值点，且，
故满足的整数的值为.
【小问2详解】
（i）证明：依题意得，
令，得，又，
则，易得有两个极值点.
设的极值点是，则（），
所以.
因为是函数的零点，
所以是关于的方程的两个解，
即，
两式相加得，，
即，，
代入（）式整理得，
因为函数在单调递减，
所以，
故.
（ii）设，则.
因为，所以，
则
.
所以，则的强化原生系数为.
因为函数在单调递增，
所以当时，有最小值，且，
即的强化原生系数的最小值为.