河北省宁晋县第二中学2024~2025学年高一下册6月月考数学试题

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1．D
2．A
【分析】直接利用余弦定理计算可得；
【详解】解：由余弦定理可得，则．
3．C
【分析】可设，，，k>0，根据余弦定理可求，于是可求．
【详解】三边的比为，不妨设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，，k>0，
则最大角为，最小角为，
由余弦定理得：，
．
故选：C．
4．B
5．B
【分析】作出辅助线，证明出AC⊥平面，找到点到平面的距离即CE的长，求出答案.
【详解】连接AC交BD于点E，则因为四边形ABCD为正方体，所以AC⊥BD，且E为AC中点，因为⊥底面ABCD，平面ABCD，所以⊥，因为，所以AC⊥平面，所以CE的长即为点到平面的距离，因为正方体棱长为2，所以由勾股定理可得：，显然.
故选：B
6．A
【分析】设，由条件求，DC1，，再结合异面直线夹角定义及利用余弦定理求结论.
【详解】设，因为和与底面所成的角分别为和，
所以，，
所以，，
所以，，，
因为，所以为异面直线和所成角
由余弦定理得：.
故选：A．
7．C
【分析】首先求参数，再利用向量数量积的坐标表示求模.
【详解】，因为，
所以，解得：，
所以，
所以.
故选：C
8.C
【分析】根据，利用三棱锥体积公式可求得结果.
【详解】，平面，
.
故选：C.
9．AC
【分析】先对化简求出复数，然后逐个分析判断即可
【详解】解：，
所以复数的实部为1，虚部为1，所以A正确，B错误，
，所以C正确，
，所以D错误，
故选：AC
10.BC
【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关.
【详解】由题意可画出其直观图如下，
其中，故A错误，B正确；
过点分别作，垂足分别为点，
故，
，故，
则四边形为等腰梯形，故C正确；
故四边形的周长为，即D错误.
故选：BC.
11．ABC
【分析】根据空间中的直线、平面的位置关系结合反例一一判定选项即可.
【详解】对于A项，若，则可能相交，如下图所示，故A错误；
对于B项，若，，则或，如下图所示，故B错误；
对于C项，如图所示，，显然不一定垂直，故C错误；
对于D项，由线面垂直的性质可知若，则，即D正确.
故选：ABC
12．（12+83）π
13.或3
【分析】利用共线向量的坐标表示，列式求出.
【详解】向量，，由，得，
所以或.
故答案为：或3
14.45°
【分析】由题意可证得CD⊥平面PAD，从而∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，求解即可.
【详解】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD，
又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD，
又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，
于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，
因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD，
又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°，
于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°．
故答案为：45°．
15．(1) 5分
(2) 8分
【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）由余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】（1）解：由及正弦定理可得
，
、，则，，故.
（2）解：由余弦定理可得，
所以，，故.
16.(1)400； 7分
(2)抽取2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车. 8分
【分析】（1）根据给定数据，结合分层抽样的比例求出本月生产的轿车数即可求解作答.
（2）由（1）的结论，再按分层抽样的比例计算作答.
【详解】（1）设该厂本月生产轿车n辆，依题意，得，解得n=2000，
则z=2000-100-300-150-450-600=400，
所以z的值是400.
（2）设所抽样本中有m辆舒适型轿车，
因用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，则，解得m＝2，
所以在C类轿车中抽取2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
（1）证明见解析； 6分
（2）. 9分
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得PA⊥BC，再由PA⊥AB利用线面垂直的判定定理即可证明,
（2）利用三棱锥的体积公式得出，再由等体法即可求解.
【详解】（1）侧面PAB⊥底面PBC，PB⊥BC，所以BC⊥侧面PAB
又PA侧面PAB，所以PA⊥BC
又PD=DB=DA，所以PA⊥AB
又ABBC=B，所以PA⊥平面ABC
（2）由（1）可知：PA⊥平面ABC，
在直角三角形PAB中，.
D是PB的中点，所以三棱锥D-ABC为三棱锥P-ABC体积的.
故
由已知：，又AD=2，底边AD上的高为.
故面积为：
设点B到平面ACD的距离为d，
则
所以，解得，
点B到平面ACD的距离为
（1）证明见解析； 8分
（2）证明见解析. 9分
【分析】（1）取的中点，连接，，可证，，从而面面，即可证明平面；
（2）先证明，由，、分别是、的中点，可证，，从而得证．
【详解】证明：（1）取的中点，连接，，
、分别是、的中点，
，
又面，面，所以面
又面，面，所以面
因为，面
面面，
因为面
平面；
（2）底面是矩形，平面，
，，，平面，平面
平面，
平面
，
又，
平面
，、分别是、的中点，
，，面
平面．
19．(1)存在，点D为棱AB的中点，理由见解析； 8分
(2). 9分
【分析】(1)取棱AB的中点为D，证明即可用线面平行的判定推理作答.
(2)根据给定条件作出二面角的平面角，借助直角三角形计算作答.
【详解】（1）在棱AB上存在一点D，使得平面，
在三棱柱中，取棱AB的中点为D，连接DE，如图，
因E是棱AC的中点，则有，而平面，平面，
所以平面.
（2）由(1)知，，即点确定的平面为平面，
在三棱柱中，平面，而E，F分别是棱AC，的中点，则，
从而有平面，而平面，则，
取中点G，连接，因F是棱的中点，则，又，即有，
因此有，又，平面，则有平面，而平面，
于是得，是二面角的平面角，
因，，则，，，
在中，，
所以二面角的余弦值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
B
A
C
C
AC
BC
题号
11
答案
ABC