河北省邯郸市武安市第七中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省邯郸市武安市第七中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了请使用考试专用的2B笔进行填涂等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，满分：120分）
注意事项：
1．请使用考试专用的2B笔进行填涂．
2修改时，请先用根皮擦干净，再重新填涂，不得使用修正带或涂改液．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 直角三角形两条直角边长分别为3，4，斜边的长为（ ）
A. 5B. C. 7D. 5或
3. 若等式成立．则口内的运算符号是（ ）
A. B. C. D.
4. 阅读下面的解题过程：∵①，②．∴③．以上推导过程中开始错误的一步是( )
A. ①B. ②C. ③D. 没有错误
5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若，则代数式的值为（ ）
A. 9B. C. D.
7. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（ ）
A. 17B. 24C. 26D. 28
8. 若，则代数式的值为（ ）
A. B. C. 2026D. 2025
9. 【新情境】2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，主题是“关注普通的眼健康”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角为时，底部边缘与之间的距离为，此时顶部边缘离桌面的高度为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），底部边缘与之间的距离为，则顶部边缘到桌面的高度为（ ）
A B. C. D.
10. 按如图所示的运算程序，若输入数字“9”则输出的结果是（ ）
A. B. 1C. D. 7
11. 已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A. m2+2mn+n2=0B. m2﹣2mn+n2=0C. m2+2mn﹣n2=0D. m2﹣2mn﹣n2=0
12. 我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（ ）
A. 2025与是关于1的平衡数
B. 与是关于1的平衡数
C. 若，则与不是关于1的平衡数
D. 若，则与是关于1的平衡数
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 若，则___________．
14. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________；
15. 【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________．
16. 如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上动点，则 PC+PD 的最小值为____
三、解答题（本大题共8个小题．共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 如图所示，已知．
（1）说出数轴上点A所表示的数为______；
（2）比较点A所表示的数与的大小：______；
（3）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹）
19. 实数a，b在数轴上位置如图所示，化简．
20. 已知，，，求下列代数式值．
（1）；
（2）．
21. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米．
（1）若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒
（2）若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由．
22. 观察下列等式及其验证过程：
，验证：
，验证：
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想______．
（2）针对上述等式反映的规律，写出用（为大于的整数）表示的等式并给予验证．
23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
（1）【知识运用】如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为_________．

（2）【知识迁移】在第（1）问的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置，并求出的距离．

24. 已知三条边的长度分别是记的周长为．
（1）当时，的最长边的长度是___________（请直接写出答案）．
（2）请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）．
（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
2024-2025学年第二学期教学质量检测一
八年级数学人教版
（考试时间：120分钟，满分：120分）
注意事项：
1．请使用考试专用的2B笔进行填涂．
2修改时，请先用根皮擦干净，再重新填涂，不得使用修正带或涂改液．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义解题即可．理解最简二次根式的定义是解题的关键．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2. 直角三角形两条直角边的长分别为3，4，斜边的长为（ ）
A. 5B. C. 7D. 5或
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】斜边长．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
3. 若等式成立．则口内的运算符号是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故选项A不符合题意；
，故选项A不符合题意；
，故选项C符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选C．
4. 阅读下面的解题过程：∵①，②．∴③．以上推导过程中开始错误的一步是( )
A. ①B. ②C. ③D. 没有错误
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：∵①，②，
∴③，以上推导错误的一步是：①，
应该为：∵，而，
∴③，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简是解题关键．
5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．根据等面积法证明即可．
【详解】解：A、这个图无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
B、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、，
整理得：，
即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、，
整理得：，
即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：A．
6. 若，则代数式的值为（ ）
A. 9B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查的是二次根式的意义，负整数指数幂，利用二次根式有意义的条件得到，即可解答，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，
解得，
，
故选：A．
7. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（ ）
A. 17B. 24C. 26D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，根据题意可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设
根据题意可知，，，，
在中，
，即
解得：
故选：C．
8. 若，则代数式的值为（ ）
A. B. C. 2026D. 2025
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的计算，根据题意可得，两边平方后，可得的值，再整体代入即可，灵活运用整体代入的方法是解决问题的关键．
【详解】解：根据，可得，
两边平方后，即，
，
故选：C．
9. 【新情境】2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，主题是“关注普通的眼健康”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角为时，底部边缘与之间的距离为，此时顶部边缘离桌面的高度为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），底部边缘与之间的距离为，则顶部边缘到桌面的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：根据题意可得：，
在中，，
，
，
故选C．
10. 按如图所示的运算程序，若输入数字“9”则输出的结果是（ ）
A. B. 1C. D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算和流程图，先计算出前面结果和作比较，再根据流程图计算即可，理解框图中的运算法则是解题的关键．
【详解】解：输入数字“9”后，
，
，
故输入数字“9”则输出的结果是7，
故选：D．
11. 已知直角三角形纸片两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A. m2+2mn+n2=0B. m2﹣2mn+n2=0C. m2+2mn﹣n2=0D. m2﹣2mn﹣n2=0
【答案】C
【解析】
【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n-m）2，整理即可求解
【详解】解：m2+m2=（n﹣m）2，
2m2=n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2=0．
故选C.
12. 我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（ ）
A. 2025与是关于1的平衡数
B. 与是关于1的平衡数
C. 若，则与不是关于1的平衡数
D. 若，则与是关于1的平衡数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，新定义，按照新定义，逐一判断即可，能理解题意熟练计算解此题的关键．
【详解】解：A、，故2025与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意；
B、，故与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意；
C、，
，
，
与不是关于1的平衡数，故该说法不符合题意；
D、，
，
，
故与不一定是关于1的平衡数，故该说法符合题意，
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质，即可解答．解决本题的关键是熟记二次根式的性质．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
14. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________；
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值．
【详解】解：如图，连接，
在中，，
．
在中，，
，
解得：．
故答案为：18．
15. 【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．
详解】解：，且为整数，
最小为3，
是大于1的整数，
越小，越小，则越大，
当时，，
，即最大为75，
故的最小值与最大值的和是，
故答案为：．
16. 如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为____
【答案】5
【解析】
【详解】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵BD=3，DC=1，∴BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°
∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得：DC′==5．
故答案为5．
【点睛】本题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题．共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟知运算法则，熟练计算是解题的关键．
（1）先化简各项，再加减即可解答；
（2）先计算乘法和平方，再化简，最后加减即可．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
．
18. 如图所示，已知．
（1）说出数轴上点A所表示的数为______；
（2）比较点A所表示的数与的大小：______；
（3）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹）
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题为考查勾股定理、实数与数轴，实数大小比较，体现了“数形结合”的思想，解题的关键构造恰当的直角三角形．
（1）根据勾股定理即可求得的长度，从而得出的长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解；
（2）先比较两数的绝对值的平方值大小，然后再比较两数的大小，考虑到绝对值越大的负数，实际值越小，即可得出结果；
（3）过表示数3的点作数轴的垂线，取，以为圆心，为半径画弧与数轴相交于点，则点G就是表示的点．
【小问1详解】
解：在中，根据勾股定理得：
，
∴，
∴点A所表示的数为；
【小问2详解】
解：∵，，
又∵，
∴
【小问3详解】
解：如图，点G表示数为．
19. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质．
依据数轴即可得到，再根据二次根式的性质和绝对值的性质即可求解．
【详解】解：由数轴可得，
，
．
20. 已知，，，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先化简，再利用多项式乘法法则进行计算即可；
（2）根据进行计算即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解：．
21. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米．
（1）若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒
（2）若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由．
【答案】（1）
（2）超速，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用：
（1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可；
（2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可．
【小问1详解】
解：依题意可得，，
，为直角三角形，
米，米，
米，
，
；
答：共用时4秒；
【小问2详解】
超速，理由如下：
，
，
超速．
22. 观察下列等式及其验证过程：
，验证：
，验证：
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想______．
（2）针对上述等式反映的规律，写出用（为大于的整数）表示的等式并给予验证．
【答案】（1）
（2）（为大于的整数）
【解析】
【分析】（1）根据材料提示的运算方法即可求解；
（2）根据材料提示，二次函数的性质化简即可求解；
本题主要考查二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质，二次根式的混合运算等知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据材料提示，，
故答案为：．
【小问2详解】
解：根据题意得，，
∵为大于的整数，
∴，
当时，；
当时，；
当（为大于的整数），；
故上述等式反映的规律为（为大于的整数）．
23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
（1）【知识运用】如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为_________．

（2）【知识迁移】在第（1）问的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置，并求出的距离．

【答案】（1）50千米；（2）图形见详解，的距离为16千米．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定与性质、垂直平分线的性质：
（1）构建直角三角形，然后运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简，即可作答．
【详解】解：（1）过点作，如图：

∵，
∴四边形是矩形，
则
在中，（千米）
则两个村庄的距离为50千米；
（2）如图，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求，

设千米，则千米，
在中，，
在中，，
，
，
解得
即AP的距离为16千米
24. 已知三条边的长度分别是记的周长为．
（1）当时，的最长边的长度是___________（请直接写出答案）．
（2）请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）．
（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
【答案】（1）3 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依据三条边的长度分别是，，，即可得到当时，的最长边的长度；
（2）依据根式有意义可得，进而化简得到的周长；
（3）依据（2）可得，且，由于x为整数，且要使取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积．
【小问1详解】
解：当是，，，
∴的最长边的长度是3；
故答案为：3．
【小问2详解】
解：由题知：，
解得：，
∴，，
∴
．
【小问3详解】
解：∵，且，
又∵x为整数，且有最大值，
∴，
∴当时，三边长度分别为1，4，，但，不满足三角形三边关系
∴x≠4
当时，三边长度分别为2，2，3，满足三角形三边关系．此时的最大值为7，
不妨设，，，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．