苏科版（2024）九年级上册用一元二次方程解决问题学案设计

这是一份苏科版（2024）九年级上册用一元二次方程解决问题学案设计，共49页。学案主要包含了素材背景，问题解决等内容，欢迎下载使用。
课题
一元二次方程的应用
教学内容
【题型1】数字问题
【题型2】传播问题
【题型3】单循环问题
【题型4】双循环问题
【题型5】增长率问题
【题型6】销售问题
【题型7】面积问题
【题型8】动态几何问题
列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义)；
答(写出答案，切忌答非所问).
考点1：数字问题： 通常设其中一个数位上的数字为未知数。
若问题涉及一个两位数，可设个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数可表示为10y+x；若为三位数，设个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，则三位数表示为100z+10y+x。
一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数．
一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数．
一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数．
5．“五一国际劳动节”是世界上80多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于1949年12月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是2024年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为136，求这个最小的数（请用方程知识解答）．
考点2：传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
6.某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
7．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．
（1）求出m的值；
（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率．
8．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）每轮传播中平均一人传染几个人？
（2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由．
9．某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有1人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有25人感染发病．
（1）每位发病者平均每天传染多少人？
（2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？
10．某地方出现流感，开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中，平均一个人传染了多少个人？
（2）如果在第三轮传染开始前没有控制，仍保持相同的传播速度，则经三轮传染后共有 人患了流感．
考点3：单循环问题：公式n(n-1)
11．2024年“奔跑吧•少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛66场．试求初中组共有多少支球队参加比赛．
12．某校组织“学生男子篮球比赛”活动，比赛采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要比赛一场），共安排了28场比赛，问：共有多少支球队参加比赛？
13．某校九年级班级之间进行篮球循环赛，班与班之间都要进行1场比赛，循环赛打完共进行了15场比赛，该校九年级共有多少个班？
14．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？
15．某校初二年级以班为单位进行篮球比赛，第一轮比赛是先把全年级平分成A、B两个大组，同一个大组的每两个班都进行一场比赛，这样第一轮A、B两个大组共进行了20场比赛，问该校初二年级共有几个班？
考点4：双循环问题：公式n(n-1)
要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生？
一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
19．某校要组织足球联赛，每两队之间都进行两场比赛．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行多少场比赛；
（2）如果全校一共进行90场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
20．阅读下表：解答下列问题：
线段AB上的点数n（包括A、B两点）
图例
线段总条数N
3

3＝2+1
4

6＝3+2+1
5

10＝4+3+2+1
6

15＝5+4+3+2+1
（1）根据表中规律猜测线段总条数N与线段上点数n（包括线段的两个端点）的关系，用含n的代数式表示N，则N＝ ．
（2）2018年“俄罗斯世界杯足球赛”，第一轮小组赛共有32支球队分成8组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
（3）2018年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
考点5：增长率问题：公式：M=a(1±x)n，n为增长或降低次数,M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率
21．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元．
（1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率；
（2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？
22．某商场在元旦期间对某款空调进行降价促销活动，已知该款空调每台进价2100元，标价3200元．
（1）该商场举行了摸奖活动，中奖者商场将该冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2592元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调查表明：当每台售价为3100元，平均每天可售出3台，当每台售价每降100元时，平均每天就能多售出3台，若该商场要想使该款空调的销售利润平均每天达到9000元，为了每天的销量最大，则每台空调的定价应为多少元？
23．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆120人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆270人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
24．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人．
（1）求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买量不超过50套，每套售价为2000元；若购买量超过50套，则购买量每增加5套，每套售价可降低50元，但每套最低售价不得少于1200元．已知社区向该公司支付货款15万元，求购买的这种健身器材的套数．
25. 2024年巴黎奥运会吉祥物Phryge（音译：弗里热）深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进该吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，5月份的销售量为256件，7月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物5月份到7月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，8月份的销售量将与7月份持平，现商店为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物降价多少元时，8月份的销售利润可达最大？最大为多少元？
考点6：商品销售问题
公式：利润(销售)问题中常用的等量关系：
1.利润=售价-进价(成本)
2.总利润=每件的利润×总件数
3.，，
26．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．
（1）当售价为50元/个时，月销售量为 个．
（2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
27．某汽车4S店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表：
汽车型号
每辆进价（万元）
每辆售价（万元）
每季度销量（辆）
A
60
x
﹣x+100
B
50
x﹣25
﹣2x+200
根据以上信息解答下列问题：
（1）今年第三季度该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相等（利润不为0），求x的值．
（2）该4S店第四季度销售这两种轿车的总利润为y万元，求y的最大值．
28．小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y=14x+25（1≤x≤20，且x为整数）
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式：
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元，日销售量比前20天最高日销售量提高了6a盏，日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了90元，求a的值．【注：销售利润＝（售价﹣成本价）×销售量】
29．根据以下素材，解决生活问题
【素材背景】
某超市以40元/箱的价格购进A品牌纯牛奶．售价60元/箱时，每星期可卖出300箱．市场调查表明：每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．
【问题解决】
（1）若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售A品牌纯牛奶的数量为y箱，求y与x的函数关系；
（2）该超市想获得最大周利润，请你帮助他们确定A品牌纯牛奶销售价格（整箱销售）；
（3）若该超市想每周获得利润不少于6000元，请确定A品牌纯牛奶售价的范围．
30．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝﹣x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
31．乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒．
销售单价x（元/盒）
15
13
日销售量y（盒）
500
700
（1）直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式；
（2）“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为1480元．
32．某水果商店销售一种进价为30元/千克的优质水果，若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为45元/千克时，每月销售水果 千克；
（2）当每月利润为5250元时，这种水果的售价为多少？
（3）当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润是多少元？
33．某商店以每个3元的成本价购进了一批玩具陀螺，如果以每个7元的价格出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，若每个陀螺的售价上涨1元，则每天的销售量就减少2个．
（1）每个陀螺涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为280元？
（2）每个陀螺涨价多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？
考点7：面积问题
34．如图①，一张长方形纸板的长为24cm，宽为12cm，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32cm2，求该长方体盒子的高．
35．京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米．
（1）求原计划每天摊铺沥青多少米．
（2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的3325．求镶上的木质框架的宽为多少米．
36．我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？
37．为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB，BC，CD，DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628m，矩形的边长AB＝y m，BC＝x m．（注：取π＝3.14）
（1）试用含x的代数式表示y；
（2）现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；
①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；
②该工程要求矩形的边BC的长不超过AB长的23，政府计划投入1064.82万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？
38．如图，小明用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB．请你帮助小明解决下列问题：
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）x的取值范围是 ；
（3）该矩形菜园的面积为100m2时，AB的长．
考点8：动态几何问题
39．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的14，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
40．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
41．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
42．如图，在矩形ABCD中、AB＝15cm，AD＝5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB．
（1）当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？
（2）四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．
43．已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）经过25秒时，求△PBQ的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．
44．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．
（1）P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？
（2）P、Q两点从出发开始几秒时，PQ的长为10cm？
45.如图，平面直角坐标系xOy中，点A，D的坐标分别为（﹣4，0），（0，3），以AD为边作菱形ABCD，点B在x轴上，点C在第一象限．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）点M为x轴上的动点，将点D绕点M顺时针旋转90°得到点N，连接CN，DN．
①当点M与点B重合时，在直线BC上找一点P，使得∠PDC＝∠NDC，求点P的坐标；
②试探究CN+DN的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
1．一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数．
【分析】先设原来的两位数的十位数字为x，再根据题意列出等式，最后进行计算即可．
【解答】解：设原来的两位数的十位数字为x，
x（10x+x+4）+10＝10（x+4）+x，
整理得：11x2﹣7x﹣30＝0
解得：x1＝2，x2=−1511 （不符合题意，舍去）
x+4＝6，故原来的两位数为26．
答：原来的两位数为26．
2．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
【分析】先设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是[10（x﹣3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可．
【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是10（x﹣3）+x，
依题意得：x2＝10（x﹣3）+x，
∴x2﹣11x+30＝0，
∴x1＝5，x2＝6，
∴x﹣3＝2或3．
答：这个两位数是25或36．
3．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数．
【分析】设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2，根据题意由等量关系列出一元二次方程，解之即可．
【解答】解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2，
根据题意列出方程得：
[10（x+2）+x]+138＝（10x+x+2）2，
整理得11x2+3x﹣14＝0，
解得x1＝1，x2=−1411（不合题意舍去）．
答：这原来的两位数是31．
4．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数．
【分析】设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，列出方程，解方程即可．
【解答】解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，
依题意，得（x+7+x）2＝10（x+7）+x，
整理得：4x2+17x﹣21＝0，
解得：x1＝1，x2=−214（舍去），
所以，x＝1，x+7＝8．
答：这个两位数是81．
5．“五一国际劳动节”是世界上80多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于1949年12月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是2024年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为136，求这个最小的数（请用方程知识解答）．
【分析】设这个最小的数为x，则最大的数为（x+9）．依题意得x（x+9）＝136，计算求出满足要求的解即可．
【解答】解：设这个最小的数为x，则最大的数为（x+9）．
依题意得x（x+9）＝136．
解得x1＝8，x2＝﹣17（不合题意，舍去）．
答：这个最小的数为8．
6．某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有（x+1）人患了流感，第二轮有x（x+1）人被传染，然后根据共有121人患了流感即可列出方程解题．
【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得1+x+x（1+x）＝121，
∴x＝10或x＝﹣12（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人．
7．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．
（1）求出m的值；
（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率．
【分析】（1）根据两周后将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）由三人号召人数间的关系可得出小丽号召了（n+2）人、小红号召了（15﹣2n）人，根据小红的成功率比小颖的两倍少10%，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出n的值，再利用号召的成功率=号召的人数10×100%，即可求出他们三人号召的成功率．
【解答】解：（1）依题意得：1+m+（1+m）m＝121，
整理得：（1+m）2＝121，
解得：m1＝10，m2＝﹣12（不合题意，舍去）．
答：m的值为10．
（2）∵第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人，
∴小丽号召了（n+2）人，小红号召了17﹣n﹣（n+2）＝（15﹣2n）人．
依题意得：15−2n10×100%＝2×n10×100%﹣10%，
解得：n＝4，
∴n10×100%=410×100%＝40%，15−2n10×100%=15−2×410×100%＝70%，n+210×100%=4+210×100%＝60%．
答：小颖号召的成功率为40%，小红号召的成功率为70%，小丽号召的成功率为60%．
8．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）每轮传播中平均一人传染几个人？
（2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由．
【分析】（1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数×（1+8），即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）．
答：每轮传播中平均一人传染8个人；
（2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下：
根据题意得：81×（1+8）
＝81×9
＝729（人），
∵729＞700，
∴经过三轮传染后会超过700人患流感．
9．某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有1人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有25人感染发病．
（1）每位发病者平均每天传染多少人？
（2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？
【分析】（1）设每位发病者平均每天传染x人，则第一天传染中有x人被传染，第二天传染中有x（1+x）人被传染，根据“某一社区开始有1人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有25人感染发病”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用第三天发病人数＝第二天发病人数×（1+每位发病者平均每天传染的人数），可求出第三天发病人数，再将其与200比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每位发病者平均每天传染x人，则第一天传染中有x人被传染，第二天传染中有x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝25，
整理得：（1+x）2＝25，
解得：x1＝4，x2＝﹣6（不符合题意，舍去）．
答：每位发病者平均每天传染4人；
（2）25×（1+4）＝125（人），
∵125＜200，
∴按照这样的传染速度，再过一天发病人数不会超过200人．
10．某地方出现流感，开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中，平均一个人传染了多少个人？
（2）如果在第三轮传染开始前没有控制，仍保持相同的传播速度，则经三轮传染后共有 216 人患了流感．
【分析】（1）设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据“开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用经三轮传染后患了流感的人数＝经两轮传染后患了流感的人数+每轮传染中平均一个人传染的人数×经两轮传染后患了流感的人数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝36，
解得：x1＝5，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）．
答：每轮传染中，平均一个人传染了5个人；
（2）根据题意得：36+5×36
＝36+180
＝216（人），
∴经三轮传染后共有216人患了流感．
故答案为：216．
11．2024年“奔跑吧•少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛66场．试求初中组共有多少支球队参加比赛．
【分析】设初中组共有x支球队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设初中组共有x支球队参加比赛，根据题意，得
12x（x﹣1）＝66，
整理，得x2﹣x﹣132＝0，
解方程，得x1＝12，x2＝﹣11（不符合题意，舍去）．
答：初中组共有12支球队参加比赛．
12．某校组织“学生男子篮球比赛”活动，比赛采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要比赛一场），共安排了28场比赛，问：共有多少支球队参加比赛？
【分析】设共有x支队伍参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意得：12x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）．
答：共有8支队伍参加比赛．
13．某校九年级班级之间进行篮球循环赛，班与班之间都要进行1场比赛，循环赛打完共进行了15场比赛，该校九年级共有多少个班？
【分析】设该校九年级共有x个班，利用比赛的总场数＝该校九年级的班数×（该校九年级的班数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设该校九年级共有x个班，
根据题意得：12x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）．
答：该校九年级共有6个班．
14．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？
【分析】设：应该邀请x个球队参加，由题意得：12x（x﹣1）＝21，即可求解．
【解答】解：设：应该邀请x个球队参加，
由题意得：12x（x﹣1）＝21，
解得：x＝7或x＝﹣6（舍去），
答：应邀请7个球队参赛．
15．某校初二年级以班为单位进行篮球比赛，第一轮比赛是先把全年级平分成A、B两个大组，同一个大组的每两个班都进行一场比赛，这样第一轮A、B两个大组共进行了20场比赛，问该校初二年级共有几个班？
【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），n个班比赛总场数＝n（n﹣1）÷2×2，即可列方程求解．
【解答】解：设全年级n班，
由题意得：n(n−1)2⋅2=20，
解得n＝5或n＝﹣4（舍），2n＝10，
答：全年级一共10个班．
16．要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
【分析】设应邀请x个球队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝30，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）．
答：应邀请6个球队参加比赛．
17．九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生？
【分析】设九年级（1）班共有x名学生，则每名学生需写（x﹣1）条祝福留言，利用全班写祝福留言的总条数＝全班人数×（全班人数﹣1），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设九年级（1）班共有x名学生，则每名学生需写（x﹣1）条祝福留言，
根据题意得：x（x﹣1）＝1640，
整理得：x2﹣x﹣1640＝0，
解得：x1＝41，x2＝﹣40（不符合题意，舍去）．
答：九年级（1）班共有41名学生．
18．一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）＝90，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设有x队参加比赛．
依题意，得x（x﹣1）＝90，
（x﹣10）（x+9）＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：共有10支队参加比赛．
19．某校要组织足球联赛，每两队之间都进行两场比赛．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行多少场比赛；
（2）如果全校一共进行90场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
【分析】（1）根据参加比赛球队的数量及赛制，即可求出结论；
（2）设有x支球队参加比赛，根据全校一共进行90场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）4×3＝12（场）．
∴如果有4支球队参加比赛，那么共进行12场比赛．
（2）设有x支球队参加比赛，
依题意，得：x（x﹣1）＝90，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：如果全校一共进行90场比赛，那么有10支球队参加比赛．
20．阅读下表：解答下列问题：
线段AB上的点数n（包括A、B两点）
图例
线段总条数N
3

3＝2+1
4

6＝3+2+1
5

10＝4+3+2+1
6

15＝5+4+3+2+1
（1）根据表中规律猜测线段总条数N与线段上点数n（包括线段的两个端点）的关系，用含n的代数式表示N，则N＝ n(n−1)2 ．
（2）2018年“俄罗斯世界杯足球赛”，第一轮小组赛共有32支球队分成8组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
（3）2018年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
【分析】（1）线段的总条数N与线段上的点数n的关系式N=n(n−1)2；
（2）先将n＝4代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数8即可；
（3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得N=n(n−1)2．
故答案为：n(n−1)2；
（2）每小组4个队单循环赛一共比赛：4×32=6（场），
共8个组，6×8＝48（场）．
答：第一轮共要进行36场比赛；
（3）设共有几支球队参加比赛，根据题意得
x（x﹣1）＝240，
解得x＝16或x＝﹣15（舍去）．
答：共有16支球队参加比赛．
21．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元．
（1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率；
（2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？
【分析】（1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，利用2024年该药剂的价格＝2022年该药剂的价格×（1﹣2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设此次价格的下降率是y，利用2025年该药剂的价格＝2024年该药剂的价格×（1﹣此次价格的下降率），结合2025年该药剂的价格不低于73.5元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，
根据题意得：200（1﹣x）2＝98，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去）．
答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为30%；
（2）设此次价格的下降率是y，
根据题意得：98（1﹣y）≥73.5，
解得：y≤0.25，
∴y的最大值是0.25，即25%．
答：此次价格的下降率最多是25%．
22．某商场在元旦期间对某款空调进行降价促销活动，已知该款空调每台进价2100元，标价3200元．
（1）该商场举行了摸奖活动，中奖者商场将该冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2592元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调查表明：当每台售价为3100元，平均每天可售出3台，当每台售价每降100元时，平均每天就能多售出3台，若该商场要想使该款空调的销售利润平均每天达到9000元，为了每天的销量最大，则每台空调的定价应为多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可；
（2）设每台空调的降价应为y元，根据题意列方程求解即可．
【解答】解：（1）已知该款空调标价3200元，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2592元售出，设每次降价的百分率为x，
由题意得：3200（1﹣x）2＝2592，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
答：每次降价的百分率为10%；
（2）设每台空调的降价应为y元，由题意得：
(3100−2100−y)(3+3×y100)=9000，
化简得：y2﹣900y+200000＝0，
解得：y1＝400，y2＝500，
∵为了每天的销量最大，
∴y＝500，
∴每台空调的定价为：3100﹣500＝2600（元），
答：每台空调的定价应为2600元．
23．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆120人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆270人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【分析】（1）结合题意，设进馆人次的月平均增长率为x，根据一元二次方程的性质列式并求解，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，首先计算得第四个月的进馆人次，通过比较即可得到答案．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，
则由题意得：120（1+x）2＝270，
解得：x＝0.5＝50%或x＝﹣2.5（舍去），
∴进馆人次的月平均增长率为50%；
（2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次；理由如下：
∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：120(1+50%)3=120×278=405，
∵405＜500，
∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
解法二：用第三次算第四次270*（1+50%）＝405，
∵405＜500，
∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
24．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人．
（1）求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买量不超过50套，每套售价为2000元；若购买量超过50套，则购买量每增加5套，每套售价可降低50元，但每套最低售价不得少于1200元．已知社区向该公司支付货款15万元，求购买的这种健身器材的套数．
【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款15万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）参加健身运动的人数从2022年的25万人增加到2024年的36万人．设该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：25（1+x）2＝36，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为20%；
（2）∵2000×50＝100000＜150000元，
∴购买的这种健身器材的套数大于50套，
设购买的这种健身器材的套数为m套，
由题意得：m(2000−m−505×50)=150000，
整理得：m2﹣250m+15000＝0，
解得：m1＝100，m2＝150，
当m＝150时，售价=2000−150−505×50=1000＜1200元（不合题意，舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为100套．
25．2024年巴黎奥运会吉祥物Phryge（音译：弗里热）深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进该吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，5月份的销售量为256件，7月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物5月份到7月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，8月份的销售量将与7月份持平，现商店为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物降价多少元时，8月份的销售利润可达最大？最大为多少元？
【分析】（1）设吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设吉祥物降价为m元，则每件的销售利润为（58﹣35﹣m）元，月销售量为（400+20m）件，设8月份的销售利润为w元，得到w＝﹣20m2+60m+9200，根据二次函数的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）5月份的销售量为256件，7月份的销售量为400件．设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
∴256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去），
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该吉祥物降价为m元，8月份的销售利润为w元，
根据题意得：w＝（58﹣35﹣m）（400+20m）＝﹣20m2+60m+9200，
∵﹣20＜0，
∴抛物线开口向下，
当m=−602×(−20)=1.5时，
w取得最大值为﹣20×1.52+60×1.5+9200＝9245，
答：当该吉祥物降价1.5元时，8月份的销售利润可达最大，最大为9245元．
26.交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．
（1）当售价为50元/个时，月销售量为 500 个．
（2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【分析】（1）利用月销售量＝600﹣10×（售价﹣40），即可求出结论；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣30）元，月销售量为（1000﹣10x）个，利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
【解答】解：（1）根据题意得：当售价为50元/个时，月销售量为600﹣10×（50﹣40）＝600﹣10×10＝500（个）．
故答案为：500；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣30）元，月销售量为600﹣10×（x﹣40）＝（1000﹣10x）个，
根据题意得：（x﹣30）（1000﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣130x+4000＝0，
解得：x1＝50，x2＝80，
又∵尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝50．
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
27.某汽车4S店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表：
汽车型号
每辆进价（万元）
每辆售价（万元）
每季度销量（辆）
A
60
x
﹣x+100
B
50
x﹣25
﹣2x+200
根据以上信息解答下列问题：
（1）今年第三季度该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相等（利润不为0），求x的值．
（2）该4S店第四季度销售这两种轿车的总利润为y万元，求y的最大值．
【分析】（1）根据“今年第三季度该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相等”列出一元二次方程，解方程即可得解；
（2）根据题意得出y关于x的函数关系式，再结合二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：（x﹣60）（﹣x+100）＝（x﹣25﹣50）（﹣2x+200），
整理得：x2﹣190x+9000＝0，
解得x1＝90，x2＝100，
∵x＝100时利润为0，
∴x的值为90；
（2）由题意得：y＝（x﹣60）（﹣x+100）+（x﹣25﹣50）（﹣2x+200）
＝﹣（x﹣60）（x﹣100）﹣2（x﹣75）（x﹣100）
＝﹣3x2+510x﹣21000
＝﹣3（x﹣85）2+675，
∵﹣3＜0，
∴当x＝85时，y有最大值，最大值为675．
28.小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y=14x+25（1≤x≤20，且x为整数）
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式：
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元，日销售量比前20天最高日销售量提高了6a盏，日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了90元，求a的值．【注：销售利润＝（售价﹣成本价）×销售量】
【分析】1）设日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，把（1，78），（2，76）代入求出即可；
（2）设日销售利润为w元，根据销售利润＝售价﹣成本列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）根据题意得：当天售价为14×20+25−a=30−a元，销售量为78+6a，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，
把（1，78），（2，76）代入得：
k+b=782k+b=76，
解得：k=−2b=80，
即日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80；
（2）设日销售利润为w元，依题意得：
w=(−2x+80)(14x+25−20)=−12(x−10)2+450；
∵−12＜0，1≤x≤20，且x为整数，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值是450；
∴在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
（3）当天售价为14×20+25−a=(30−a)元，销售量为（78+6a）盏，
根据题意得：（30﹣a﹣20）（78+6a）﹣450＝90，
即a2+3a﹣40＝0，
解得：a＝5或a＝﹣8（不合题意，舍去），
∴a的值为5．
29．根据以下素材，解决生活问题
【素材背景】
某超市以40元/箱的价格购进A品牌纯牛奶．售价60元/箱时，每星期可卖出300箱．市场调查表明：每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．
【问题解决】
（1）若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售A品牌纯牛奶的数量为y箱，求y与x的函数关系；
（2）该超市想获得最大周利润，请你帮助他们确定A品牌纯牛奶销售价格（整箱销售）；
（3）若该超市想每周获得利润不少于6000元，请确定A品牌纯牛奶售价的范围．
【分析】（1）根据“每涨价1元，每个星期要少卖出10件；每降价1元，每个星期可多卖出20件”列出y与x的函数关系；
（2）设每星期所获利润为W，根据一星期利润等于每件的利润×销售量得到W与x的关系式；把解析式配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案；
（3）分别根据60≤x≤90、40≤x≤60两种情况，求出每周利润不少于6000元时x的范围即可得．
【解答】解：（1）根据题意得：涨价时，y＝300﹣10（x﹣60）（60≤x≤90），
降价时，y＝300+20（60﹣x）（40≤x≤60），
综上所述，y与x的函数关系式为y=−10x+900(60≤x≤90)−20x+1500(40≤x≤60)；
（2）设每星期所获利润为W，
当涨价时，W＝（x﹣40）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣65）2+6250（60≤x≤90），
当x＝65时，y的最大值是6250；
当降价时，W＝（x﹣40）（﹣20x+1500）＝﹣20（x﹣57.5）2+6125（40≤x≤60），
∵x为正整数，
∴x＝57或x＝58时利润最大，最大值为6120元，
综所述，该超市想获得最大周利润，A品牌纯牛奶销售价格为65元；
（3）当60≤x≤90时，﹣10（x﹣65）2+6250＝6000，
解得：x＝60或x＝70，
∴60≤x≤70；
当40≤x≤60时，﹣20（x﹣57.5）2+6125＝6000，
解得：x＝55或x＝60，
∴55≤x≤60；
综上所述，为了使每周利润不少于6000元，售价x的范围是55≤x≤70．
30．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝﹣x+26．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）依题意得：W1＝（x﹣6）（﹣x+26）﹣80＝﹣x2+32x﹣236，
∴这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式为W1＝﹣x2+32x﹣236；
（2）由题意得：20＝﹣x2+32x﹣236，
解得：x＝16，
答：该产品第一年的售价是16元；
（3）由题意得：14≤x≤16，
W2＝（x﹣5）（﹣x+26）﹣20＝﹣x2+31x﹣150，
∵14≤x≤16，
∴抛物线的对称轴为直线x＝15.5，
又∵14≤x≤16，
当x＝14时，W2有最小值，最小值为：﹣142+31×14﹣150＝88 （万元），
答：该公司第二年的利润W2至少为88万元．
31．乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒．
销售单价x（元/盒）
15
13
日销售量y（盒）
500
700
（1）直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式；
（2）“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为1480元．
【分析】（1）设乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为y＝kx+b，待定系数法即可求解；
（2）根据销售量×单价﹣损耗费用＝销售总利润，列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b，将x＝15，y＝500；x＝13，y＝700代入得：
500=15k+b700=13k+b，
解得：k=−100b=2000，
∴乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为y＝﹣100x+2000（12≤x≤20）；
（2）由题意得：（﹣100x+2000）（x﹣12）﹣20＝1480，
解得：x1＝17，x2＝15，
∵顾客获得最大实惠，
∴x＝15，
∴当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元．
32．某水果商店销售一种进价为30元/千克的优质水果，若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为45元/千克时，每月销售水果 350 千克；
（2）当每月利润为5250元时，这种水果的售价为多少？
（3）当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意列出算式即可求解；
（2）设这种水果的售价为x元/千克，根据题意列出关于x的一元二次方程即可求解．
（3）设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，根据题意列出二次函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解．
【解答】解：（1）若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．
若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克，
故当售价为45元/千克时，每月销售水果：400﹣（45﹣40）×10＝350（千克）；
（2）设这种水果的售价为x元/千克，
则由题意，得：（x﹣30）[400﹣10（x﹣40）]＝5250，
解得x1＝45，x2＝65，
故这种水果的售价为45元/千克或65元/千克，
（3）设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，
则由题意，得：y＝（m﹣30）[400﹣10（m﹣40）]＝﹣10（m﹣55）2+6250，
又由﹣10＜0可知抛物线的开口向下，
当m＝55时，y最大值＝6250，
故水果的售价为55元/千克时，获得的月利润最大，最大利润为6250元．
33.某商店以每个3元的成本价购进了一批玩具陀螺，如果以每个7元的价格出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，若每个陀螺的售价上涨1元，则每天的销售量就减少2个．
（1）每个陀螺涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为280元？
（2）每个陀螺涨价多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每个陀螺涨价a元，则每天可售出（40﹣2a）个，再根据每个的价格、每天的销售量、每天的利润的关系列方程求解求得a，然后再结合题意即可解答；
（2）设当每个陀螺涨价x元时，每天获利y元，根据每个的价格、每天的销售量、每天利润的关系得出y与x的关系式，再根据二次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设每个陀螺涨价a元，则每天可售出（40﹣2a）个，
依题意得：（7﹣3+a）（40﹣2a）＝280，
解得a1＝6，a2＝10，
又∵要让顾客得到实惠，
∴a＝6．
答：当每个陀螺涨价6元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为280元．
（2）设当每个陀螺涨价x元时，每天获利y元，
依题意得：y＝（7﹣3+x）（40﹣2x）＝﹣2（x﹣8）2+288，
当x＝8时，y有最大值，最大值为288，
答：当每个陀螺涨价8元时，商店每天获得的利润最大，最大利润为288元．
34．如图①，一张长方形纸板的长为24cm，宽为12cm，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32cm2，求该长方体盒子的高．
【分析】设该长方体盒子的高为x cm，则该长方形盒子的底面为长24−2x2=（12﹣x）cm，宽（12﹣2x）cm的长方形，根据该长方体盒子的底面积为32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设该长方体盒子的高为x cm，则该长方形盒子的底面为长24−2x2=（12﹣x）cm，宽（12﹣2x）cm的长方形，
依题意得：（12﹣x）（12﹣2x）＝32，
整理得：x2﹣18x+56＝0，
解得：x1＝4，x2＝14．
又∵12﹣2x＞0，
∴x＜6，
∴x＝4．
答：该长方体盒子的高为4cm．
35．京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米．
（1）求原计划每天摊铺沥青多少米．
（2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的3325．求镶上的木质框架的宽为多少米．
【分析】（1）设原计划每天摊铺沥青x米，则实际每天摊铺沥青（x+120）米，根据该路段的长度不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米，则镶上木质框架后整幅旅游广告图的长为（3y+6）米，宽为（2y+2）米，根据镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的3325，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设原计划每天摊铺沥青x米，则实际每天摊铺沥青（x+120）米，
根据题意得：30x＝12（x+120），
解得：x＝80．
答：原计划每天摊铺沥青80米；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米，则镶上木质框架后整幅旅游广告图的长为3y+3×2＝（3y+6）米，宽为（2y+2）米，
根据题意得：（3y+6）（2y+2）＝2×3×2×3325，
整理得：y2+3y−1625=0，
解得：y1＝0.2，y2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）．
答：镶上的木质框架的宽为0.2米．
36．我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？
【分析】（1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为（50﹣2x）米，宽为（20﹣2x）米的长方形，根据喷漆面积为736平方米（即每一层的停车位的面积为736平方米），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为（200+y）元，可租出（64−y10）个车位，根据月租金收入为14400元，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y的值，再结合要优惠大众，即可得出每个车位的月租金应上涨40元．
【解答】解：（1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为（50﹣2x）米，宽为（20﹣2x）米的长方形，
依题意得：（50﹣2x）（20﹣2x）＝736，
整理得：x2﹣35x+66＝0，
解得：x1＝2，x2＝33（不符合题意，舍去）．
答：通道的宽是2米．
（2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为（200+y）元，可租出（64−y10）个车位，
依题意得：（200+y）（64−y10）＝14400，
整理得：y2﹣440y+16000＝0，
解得：y1＝40，y2＝400，
又∵要优惠大众，
∴y＝40．
答：每个车位的月租金应上涨40元．
37.为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB，BC，CD，DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628m，矩形的边长AB＝y m，BC＝x m．（注：取π＝3.14）
（1）试用含x的代数式表示y；
（2）现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；
①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；
②该工程要求矩形的边BC的长不超过AB长的23，政府计划投入1064.82万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？
【分析】（1）整个广场的周长为两个圆的周长，据此根据圆周长计算公式求解即可；
（2）①分别表示出矩形和两个圆的面积，二者求和即可得到答案；
②先根据题意求出x的取值范围，再根据①所求令费用为1064.82万元建立方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：πx+πy＝628，即3.14x+3.14y＝628，
∴y＝200﹣x；
（2）①由题意得：W=428xy+400π⋅(x2)2+400π⋅(y2)2
＝428x（200﹣x）+100πx2+100π（200﹣x）2
＝200x2﹣40000x+12560000；
②能完成该工程的建设任务；理由如下：
∵矩形的边BC的长不超过AB长的23，
∴x≤23(200−x)，
解得x≤80，
当w＝200x2﹣40000x+12560000＝10648200时，则（x﹣100）2＝441，
解得x1＝79，x2＝121（不合题意，舍去），
∴y＝200﹣79＝121，
∴设计的方案为：AB长为121m，BC长为79m，再分别以各边为直径向外作半圆．
38．如图，小明用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB．请你帮助小明解决下列问题：
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）x的取值范围是 6≤x≤10 ；
（3）该矩形菜园的面积为100m2时，AB的长．
【分析】（1）设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为x m，由矩形面积公式建立函数关系式即可；
（2）由AD≥AB，矩形长不能超过墙的长度，再建立不等式组解题即可；
（3）把S＝100代入（1）中解析式，再解方程并检验即可．
【解答】解：（1）设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为x m，
则BC＝30﹣2x，
∴S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x；
（2）由30−2x≥x①30−2x≤18②，
解①得：x≤10，
解②得：x≥6，
∴x的取值范围为：6≤x≤10，
故答案为：6≤x≤10；
（3）由题意得：﹣2x2+30x＝100，
解得：x1＝5，x2＝10，
∵6≤x≤10，
∴x＝5不符合题意，x＝10符合题意，
∴AB的长为10m．
39．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的14，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为12×4×8＝16，△PCQ的面积为12t（8﹣2t），由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系S△PCQ=12S△ABC列方程求出t的值，但方程无解．
【解答】解：（1）∵S△PCQ=12t（8﹣2t），S△ABC=12×4×8＝16，
∴12t（8﹣2t）＝16×14，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的14；
（2）当S△PCQ=12S△ABC时，
12t（8﹣2t）＝16×12，
整理得t2﹣4t+8＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．
40．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先运用勾股定理求出AB边的长度，然后根据路程＝速度×时间，分别表示出BQ、PB的长度；
（2）由于∠B＝90°，如果△PBQ为等腰三角形，那么只有一种情况，即BP＝BQ，由（1）的结果，可列出方程，从而求出x的值；
（3）根据四边形APQC的面积＝△ABC的面积﹣△PBQ的面积，列出方程，根据解的情况即可判断．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10，BC＝6，
∴AB＝8．
∴BQ＝x，PB＝8﹣2x；
（2）由题意，得
8﹣2x＝x，
∴x=83．
∴当x=83时，△PBQ为等腰三角形；
（3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2，
则12×6×8−12x(8−2x)=20，
解得x1＝x2＝2．
假设成立，所以当x＝2时，四边形APQC面积的面积等于20cm2．
41．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ 3t cm ，BP＝ （16﹣3t）cm ，CQ＝ 2t cm ，DQ＝ （16﹣2t）cm （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝3t cm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2t cm，DQ＝（16﹣2t）cm．
故答案为：3t cm；（16﹣3t）cm；2t cm；（16﹣2t）cm．
（2）依题意得：12[（16﹣3t）+2t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示．
依题意得：|16﹣5t|2+62＝102，
即（16﹣5t）2＝82，
解得：t1=85，t2=245．
答：当t为85或245时，点P和点Q的距离为10cm．
42．如图，在矩形ABCD中、AB＝15cm，AD＝5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB．
（1）当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？
（2）四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．
【分析】（1）可通过构建直角三角形来求解．过Q作QM⊥AB于M，如果设出发x秒后，QP＝13cm．那么可根据路程＝速度×时间，用未知数表示出PM的值，然后在直角三角形PMQ中，求出未知数的值．
（1）利用矩形的性质得出当AP＝DQ时，四边形APQD为矩形求出即可；
【解答】解：（1）设出发t秒后P、Q两点间的距离是13cm．
则AP＝3t，CQ＝2t，作QM⊥AB于M，
则PM＝|15﹣2t﹣3t|＝|15﹣5t|，
（15﹣5t）2+52＝132，
解得：t＝0.6或t＝5.4，∵AB＝15，
∴3t≤15，
∴t≤5，
∴t＝5.4不符合题意舍去，
答：P、Q出发0.6秒时，P，Q间的距离是13cm；
（2）四边形APDQ的形状有可能为矩形；
理由：
当四边形APQD为矩形，则AP＝DQ，
即3t＝15﹣2t，
解得：t＝3．
答：当P、Q出发3秒时四边形APQD为矩形．
43．已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）经过25秒时，求△PBQ的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间，求出BQ，AP的值，再求出BP的值，然后利用三角形的面积公式进行解答即可；
（2）①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
（3）本题可先用△ABC的面积﹣△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可
【解答】解：（1）经过25秒时，AP=25cm，BQ=25cm，
∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，
∴AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝3−25=135cm，
∴△PBQ的面积=12BP•BQ•sin∠B=12×135×25×32=13350；
（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP＝tcm，BQ＝tcm，
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，BQ=12BP，
即t=12（3﹣t），t＝1（秒），
当∠BPQ＝90°时，BP=12BQ，
3﹣t=12t，t＝2（秒），
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
（3）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=PMPB，
∴PM＝PB•sin∠B=32（3﹣t），
∴S△PBQ=12BQ•PM=12•t•32（3﹣t），
∴y＝S△ABC﹣S△PBQ=12×32×32−12×t×32（3﹣t）
=34t2−334t+934，
∴y与t的关系式为y=34t2−334t+934，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的23，
则S四边形APQC=23S△ABC，
∴34t2−334t+934=23×12×32×32，
∴t2﹣3t+3＝0，
∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的23．
44．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动．
（1）P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？
（2）P、Q两点从出发开始几秒时，PQ的长为10cm？
【分析】当运动时间为t s时，AP＝3t cm，CQ＝2t cm，则BP＝（16﹣3t）cm．
（1）利用梯形的面积计算公式，结合四边形PBCQ的面积为36cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过点Q作QH⊥AB于点H，在Rt△PHQ中，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当运动时间为t s时，AP＝3t cm，CQ＝2t cm，则BP＝（16﹣3t）cm.
（1）依题意得：12×（2t+16﹣3t）×6＝36，
解得：t＝4．
答：P、Q两点从出发开始4s时，四边形PBCQ的面积为36cm2．
（2）过点Q作QH⊥AB于点H．
在Rt△PHQ中，PH＝|16﹣3t﹣2t|，QH＝6，∠PHQ＝90°，
∴PQ2＝PH2+QH2，
即102＝|16﹣3t﹣2t|2+62，
解得：t1=85，t2=245．
答：P、Q两点从出发开始85s或245s时，PQ的长为10cm．
45．如图，平面直角坐标系xOy中，点A，D的坐标分别为（﹣4，0），（0，3），以AD为边作菱形ABCD，点B在x轴上，点C在第一象限．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）点M为x轴上的动点，将点D绕点M顺时针旋转90°得到点N，连接CN，DN．
①当点M与点B重合时，在直线BC上找一点P，使得∠PDC＝∠NDC，求点P的坐标；
②试探究CN+DN的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出B、C两点坐标，设解析式，代入B、C两点坐标，可得；
（2）①考虑点P在MC上、在MC延长线上两种情况；
②点M在x轴运动，DM＝NM，运动到点N在DC延长线上时，CN+DN的值最小．
【解答】解：（1）由题意得，AO＝4，DO＝3，AD=AO2+DO2=5，
由菱形ABCD得，AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∴点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（5，3），
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，代入B、C两点坐标，
k+b=05k+b=3，
解得：k=34，b=−34，
∴直线BC的函数解析式为y=34x−34；
①
点M与点B重合，即MN＝DM＝BD，
∵BO＝AB﹣AO＝1，DO＝3，
∴在Rt△DBO中，BD=BO2+DO2=10，即MN＝DM＝BD=10，
过点N作NE⊥x轴于点E，
∴∠NEM＝90°，
点D绕点M顺时针旋转90°得到点N，即∠DMN＝90°，
∴∠DMO+∠NME＝90°，
∵∠ODM+∠DMO＝90°，
∴∠ODM＝∠NME，
∵∠DOM＝∠NEM，DM＝NM，
∴△DOM≌△MEN，
∴EM＝OD＝3，EN＝BO＝1，
∴点N的坐标为（4，1），
设直线DN的函数解析式为y1＝k1x+b1，代入D、N两点坐标，
b1=34k1+b1=1，
解得：b1＝3，k1=−12，
直线DN的函数解析式为y1=−12x+3，
∵∠PDC＝∠NDC，
∴点P在如图所示两种情况，
图1：点P即为y=34x−34与y1=−12x+3的交点，
y1=−12x+3y=34x−34，
解得：x＝3，y=32，即点P的坐标为（3，32），
图2：设直线DP的函数解析式为y2＝k2x+b2，
∵∠PDC＝∠NDC，
∴k2＝﹣k1=12，
∵过点D，
∴b2＝3，
∴y2=12x+3，
此时y2=12x+3与y=34x−34的交点即为点P，
y2=12x+3y=34x−34，
解得：x＝15，y=212，即点P的坐标为（15，212），
综上所述，点P的坐标为（3，32）或（15，212），
②
如图所示，M运动到x轴负半轴M1、原点M2、正半轴M3处，CN1+DN1＞CN2+DN2＞CN3+DN3，
M运动到正半轴M3、M4处，CN4+DN4＞CN3+DN3，
由此可见，点M运动到M3处时，点N在DC延长线上时，CN+DN的值最小，
过N点作NE⊥x轴于点E，即∠NEM＝90°，
设点M的坐标为（a，0），则MO＝a，
由题意得，DM＝NM，∠DMN＝90°，
∴∠MDN＝∠DNM＝45°，
∵DN∥OE，
∴∠DMO＝∠NME＝45°，
∵DM＝NM，∠DOM＝∠NEM，
∴△DOM≌△NEM（AAS），
∴EM＝OM＝a，即OE＝2a，DN＝2a，
∵DO＝3，OM＝a，
∴在Rt△ODM中，DM=DO2+OM2=32+a2，
∴MN=32+a2，
在Rt△DMN中，DN=DM2+NM2=32+a2+32+a2，
∴32+a2+32+a2=2a，
解得：a＝±3，
∵M在x轴正半轴，
∴a＝﹣3，舍去，
∴点M运动到（3，0）处，CN+DN的值最小，
DN＝2a＝6，CN＝DN﹣DC＝6﹣5＝1，
CN+DN的值为6+1＝7，
∴CN+DN存在最小值，最小值为7．