2025中考数学-题型归纳讲练(通用版)热点题型·专题02函数(一次二次反比例)、方程与不等式的实际应用(原卷版+解析)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3800" 热点题型归纳 PAGEREF _Tc3800 \h 1
\l "_Tc3800" 题型01 一元一次方程的实际应用 PAGEREF _Tc3800 \h 1
\l "_Tc28179" 题型02 二元一次方程组的实际应用 PAGEREF _Tc28179 \h 6
\l "_Tc20477" 题型03 一元二次方程的实际应用 PAGEREF _Tc20477 \h 10
\l "_Tc27042" 题型04 分式方程的实际应用 PAGEREF _Tc27042 \h 15
\l "_Tc25595" 题型05 不等式（组）的实际应用 PAGEREF _Tc25595 \h 18
\l "_Tc20167" 题型06 一次函数的实际应用 PAGEREF _Tc20167 \h 24
\l "_Tc12749" 题型07 反比例函数的实际应用 PAGEREF _Tc12749 \h 29
\l "_Tc19374" 题型08 二次函数的实际应用 PAGEREF _Tc19374 \h 35
\l "_Tc28064" 中考练场 PAGEREF _Tc28064 \h 49
题型01 一元一次方程的实际应用
一元一次方程的实际应用是初中数学代数部分的重要内容，它是将数学知识与实际生活紧密相连的关键环节，在初中数学整体分值占比中，约为 5%-10%。
考查重点：考查如何从实际问题中抽象出数学模型，准确找出等量关系并列出一元一次方程求解。
高频题型：常见高频题型包括行程问题、工程问题、销售问题、调配问题以及方案选择问题等。
高频考点：主要考点集中在根据不同实际情境构建方程，求解方程以及对解的合理性进行检验与解释。
能力要求：要求学生具备较强的阅读理解能力、分析问题能力、数学建模能力以及计算求解能力。
易错点：易错点在于审题不清导致等量关系找错，解方程过程中运算错误，以及对解的实际意义判断失误。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．
【答案】小峰打扫了．
【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．
【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为，
由题意，得：，
解得：，
答：小峰打扫了．
【变式演练】
1．（2025·陕西西安·二模）学校为兴趣小组分发绘画工具，若每组发3套工具，就会多出3套；若每组发4套工具，就会少6套．学校一共准备了多少套绘画工具？
【答案】一共准备了30套绘画工具
【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确的找出等量关系列方程求解．设一共有x个兴趣小组，然后根据题意列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：设一共有x个兴趣小组，
根据题意得：，
解得：，
∴（套），
答：一共准备了30套绘画工具．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车．
【答案】有人，辆车．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有辆车，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设共有辆车，
根据题意得，，
解得，
∴人，
答：有人，辆车．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）某市举办的“义博会”是国内第三大展会，从年以来已成功举办了届．年“义博会”的成交金额与年的成交金额的总和是亿元，且年的成交金额是年的倍少亿元，问年“义博会”的成交金额是否突破了百亿元大关？
【答案】年“义博会”的成交金额突破了百亿元大关
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
根据题意列方程即可求解．
【详解】解：设年“义博会”的成交金额为亿元，年的成交金额（）亿元，
由题意可得，
解得，
∴（亿元），
∵，
∴年“义博会”的成交金额突破了百亿元大关．
4．（2024·福建莆田·模拟预测）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母．
(1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
(2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？
【答案】(1)应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母
(2)安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母，1名工人用小时生产1090个螺柱，用小时生产183个螺母，最多生产螺柱和螺母13090套
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．
（1）设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母．然后根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案．
（2）设安排y小时生产螺柱，根据每人每时生产的螺柱和螺母列出关于y的一元一次方程，并求得生产螺柱所用的时间和产量，结合实际可知最多可生产13090个螺柱，则10名工人生产螺柱，13名工人生产螺母，另外一名工人按1090个螺柱生产，剩余时间生产螺母即可．
【详解】（1）解：设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母．
解得
答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母．
（2）设安排y小时生产螺柱．
解得．
．
根据实际意义取13090．
根据实际意义螺柱取，
则首先安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母，
另外1名工人用个小时生产1090个螺柱，剩余个小时生产个螺母．但最多生产螺柱和螺母13090套．
题型02 二元一次方程组的实际应用
二元一次方程组的实际应用是初中数学代数板块中解决复杂实际问题的有力工具，它承接一元一次方程，进一步拓展学生运用方程思想处理多变量问题的能力。在初中数学试卷中，这部分内容的分值占比通常在 5% - 10% 。
考查重点：核心考查学生依据实际情境，精准分析出两个独立的等量关系，进而构建二元一次方程组并求解。
高频题型：行程问题中的相遇与追及、工程合作与分工问题、商品买卖中的价格与利润问题，以及资源分配与方案设计等问题较为常见。
高频考点：主要围绕根据不同场景正确列出方程组、熟练运用代入消元法或加减消元法准确求解，同时对解是否符合实际情况进行验证与说明。
能力要求：需要学生拥有出色的阅读理解能力，能从冗长文字中提炼关键信息；具备较强逻辑思维，梳理出变量间关系；掌握消元技巧，实现准确计算。
易错点：容易因对题目条件理解偏差，错误设定等量关系；在消元求解过程中，因计算粗心产生错误；还可能忽略解在实际问题中的合理性，未对结果进行有效检验。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·山西·中考真题）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
【答案】从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克，根据从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克，
根据题意得：，
解得：，
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克．
例2．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可．
【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得
，
解这个方程组，得．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
【变式演练】
1．（2025·陕西西安·一模）甲乙两个车间共有150人，若将甲车间的16名工人调到乙车间则两车间人数相等，求甲车间有多少人？
【答案】甲车间有91人
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲车间有x人，乙车间有y人，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出答案．
【详解】解：设甲车间有x人，乙车间有y人，
则根据题意有，
解得：，
则甲车间有91人．
2．（2024·安徽·模拟预测）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．男装、女装的单价各是多少？
【答案】男装单价为100元，女装单价为120元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设男装单价为x元，女装单价为y元，根据1套男装和1套女装共需220元，购买6套男装与购买5套女装的费用相同列出二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】解：设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：
解得：
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
3．（2024·湖北·模拟预测）学校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球．若购买4个篮球和3个足球需花费530元，若购买1个篮球和6个足球需花费500元．求篮球和足球的单价各是多少元？
【答案】篮球和足球的单价各是80元，70元．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设篮球和足球的单价各是x元，y元，根据购买4个篮球和3个足球共需530元，购买1个篮球和6个足球共需500元列出方程组求解即可．
【详解】解：设篮球和足球的单价各是x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：篮球和足球的单价各是80元，70元．
4．（2024·湖南株洲·模拟预测）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？
【答案】120元和90元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元，由题意知篮球的单价高于足球的单价，再由篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，列出方程组求解即可．
【详解】解：设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元，
由题意知篮球的单价高于足球的单价，
则，
解得：
答：每个篮球和足球价格分别是120元和90元．
题型03 一元二次方程的实际应用
一元二次方程的实际应用是初中数学代数领域中，用于解决涉及数量变化规律及几何图形面积等复杂问题的重要内容，在初中数学考试里，分值占比大致为 8%-12%。
考查重点：重点考查从实际问题中挖掘出能构建一元二次方程的数量关系，并通过求解方程来解决问题。
高频题型：常见的有增长率问题、几何图形面积问题、商品定价与利润问题以及传播问题等。
高频考点：考点聚焦于根据实际情境准确列出一元二次方程，运用合适方法求解方程，以及依据实际意义对所得方程的解进行筛选和解释。
能力要求：学生需具备良好的文字理解能力，能将实际问题转化为数学语言，有较强的逻辑思维梳理数量关系，掌握一元二次方程的求解方法并准确运算。
易错点：易错之处在于对实际情境分析不透，导致方程列错；解方程过程中因方法不当或计算失误出错；同时，易忽略实际问题对解的限制，未舍去不符合实际的根。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为
(2)购买的这种健身器材的套数为200套
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
【变式演练】
1．（2025·陕西西安·一模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，我市参加健身运动的人数逐年增多，为支持市民的健身运动，市政府决定从公司后买某种套装健身器材，该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元，若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元，但最低售价不得少于1000元，已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】购买的这种健身器材的套数为200套．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
2．（2025·广东深圳·一模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题：
(1)降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示）
(2)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】(1)
(2)当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用．
（1）该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，则降价元后的月销售量为件．
（2）设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可．
【详解】（1）解： 降价元后的月销售量为件
故答案为：
（2）解：设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
3．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
(1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？
(2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由
(3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图
【答案】(1)
(2)不可能，理由见解析
(3)或，示意图见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和根的判别式，找到面积的等量关系是解题的关键．
（1）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的底面积为，可得方程求解即可；
（2）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的侧面积等于，可得方程，再根据根的判别式作出判断；
（3）可设剪去的正方形边长为，分成两种情况，根据侧面积为列方程讨论求解．
【详解】（1）设剪去的正方形边长为，由题意，得
，
即，
解得：（不合题意，舍去），．
∴剪去的正方形的边长为．
（2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于，理由如下：
设剪去的正方形边长为，由题意，得
，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数解．
即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于．
（3）设剪去的正方形边长为，
若按图1所示的方法剪折，
有：，
整理得：，
，
∴此方程无解；
若按图2所示的方法剪折，
有：，
整理得：，
解得：，，
当按图2所示的方法剪去的正方形边长为或时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到．
题型04 分式方程的实际应用
分式方程的实际应用是初中数学代数知识板块里，用于解决诸如行程、工程、销售等涉及比例关系问题的关键内容，在初中数学考试中，分值占比通常在 6%-10%。
考查重点：着重考查从实际情境中提炼出分式方程所依赖的等量关系，并通过求解分式方程来得出问题的答案。
高频题型：常见的高频题型包括行程问题（如速度变化相关）、工程问题（工作效率变化类）、销售问题（涉及价格比例）以及溶液配比问题等。
高频考点：考点主要集中在依据实际背景正确列出分式方程，运用合适的方法求解方程，同时要对所得解进行检验，包括检验是否为增根以及是否符合实际意义。
能力要求：学生需要拥有较强的阅读理解能力，能够精准把握实际问题中的数量关系，将其转化为分式方程模型，熟练掌握分式方程的解法并准确计算，还要具备检验解的合理性的意识与能力。
易错点：易错点在于对实际问题的理解不深入，致使等量关系找错从而列出错误的分式方程；在求解分式方程时，容易忘记验根，忽略增根的存在，或者在检验解的实际意义时判断失误。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·宁夏·中考真题）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设乙每小时做个盒子，根据“甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍”，则甲每小时做个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟”，列出方程即可．
【详解】解：设乙每小时做个盒子，则甲每小时做个盒子，
由题意得：，
故选：C．
【变式演练】
1．（2025·浙江宁波·一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为 天，
【答案】11
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．设规定时间为天，根据快马的速度是慢马的倍列出方程，再解方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，根据题意得：
，
整理得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：11．
2．（2025·山东临沂·一模）兰陵县蔬菜畅销全国各地，一运送蔬菜车开往距出发地 600 千米的目的地，由于接到新的订 单，每小时比原计划的速度提高，比原计划提前 40 分钟到达．设原计划速度为 x 千米/小时，则方程可列为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系，列出分式方程是解题的关键．设原计划速度为千米小时，根据“运送蔬菜车开往距离出发地600千米的目的地”，则原计划的时间为：，根据“每小时比原计划的速度提高”，则实际的时间为：，根据“实际比原计划提前40分钟到达目的地”，列出关于的分式方程，即可得到答案．
【详解】解：设原计划速度为千米小时，
根据题意得：
原计划的时间为：，
实际的时间为：，
实际比原计划提前40分钟到达目的地，
，
故答案为：．
3．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可．
【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得：
．
故答案为：．
题型05 不等式（组）的实际应用
不等式（组）的实际应用是初中数学代数部分用于解决现实生活中具有不等关系问题的关键内容，在初中数学考试中，分值占比大致在 6%-10%。
考查重点：考查如何从实际情境里准确挖掘不等关系，构建不等式（组）模型并求解。
高频题型：常见的高频题型有方案设计问题（如资源分配方案）、最值问题（求利润最大、成本最小等）、比较决策问题（不同方案优劣对比）等。
高频考点：主要考点为依据实际背景正确列出不等式（组），运用不等式性质求解不等式（组），并根据实际意义对解集进行分析和应用。
能力要求：要求学生具备较强的逻辑思维能力、分析问题能力，能够将实际问题转化为数学模型，熟练运用不等式知识求解并能合理阐释结果。
易错点：易错之处在于审题不细致，未能准确找出不等关系，列不等式（组）时不等号方向出错，求解过程违背不等式性质，以及对解集的实际意义解读不准确。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围．
【详解】解： ．
根据题意得：，
解得：，
车速的取值范围是．
故答案为：．
【变式演练】
1．（2024·山东滨州·模拟预测）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价．
【答案】牛奶和饼干的标价分别为1.1元和9元
【分析】本题主要考查了一元一次方程，掌握不等式和方程的解法，根据题意列出方程和不等式是解决本题的关键．
根据题意先列出方程和不等式，求解即可．
【详解】解：设饼干的标价是元，牛奶的标价是元．
由题意，得，
解得．
由于饼干的标价是整数，
所以（元）．
当时，（元）．
答：牛奶和饼干的标价分别为1.1元和9元．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满．
(1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？
(2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？
(3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？
【答案】(1)1200人；26辆
(2)方案1： B种：6辆，A种：19辆；方案2：B种：7辆，A种客：18辆
(3)B种：6辆，A种：19辆
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算．
（1）设原计划租用种客车辆，则这次研学去了人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的种客车不超过7辆”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金每辆种客车的租金租用种客车的辆数每辆种客车的租金租用种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了人，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：原计划租用4种客车26辆，这次研学去了1200人；
（2）解：设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆，
根据题意得：，
解得：，
又∵y为正整数，
∴y可以为6，7，
∴该学校共有2种租车方案，
方案1：租用6辆B种客车，19辆A种客车；
方案2：租用7辆B种客车，18辆A种客车；
（3）解：选择方案1的总租金为（元）；
选择方案2的总租金为（元）．
∵，
∴租用6辆B种客车，19辆A种客车最合算．
3．（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表：
(1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值；
(2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由．
【答案】(1)表格中的值为，的值为
(2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析
【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键.
（1）依题意得：，即可求解；
（2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：．
答：表格中的值为，的值为．
（2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，
依题意得：，
解得：，
取整数，
．
共有3种租车方案．
每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用，
租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱．
选择一汽公司所需总费用为：（元）；
选择二汽公司所需总费用为：（元）．
，
选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少．
题型06 一次函数的实际应用
一次函数的实际应用是初中数学函数板块中，用于描述现实世界中变量间呈线性变化关系的重要内容，在初中数学考试里，分值占比约为 10%-15%。
考查重点：考查如何从实际问题里提炼出变量关系，建立恰当的一次函数模型并借助其性质解决问题。
高频题型：常见高频题型有行程问题（速度与时间的函数关系等）、费用问题（如出租车计费、水电费计算等）、方案优化问题（通过比较不同函数方案确定最优解）。
高频考点：主要考点包括依据实际背景确定函数表达式，分析函数的增减性并利用其求最值，以及结合实际情境对函数图象进行解读。
能力要求：要求学生拥有较强的抽象概括能力、数学建模能力，能熟练运用一次函数知识分析和处理实际情境中的变量关系。
易错点：易错点在于对实际情境中变量的理解偏差，导致函数关系式建立错误，在利用函数性质时忽略实际意义对取值范围的限制。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·四川·中考真题）端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元/盒）：
(1)设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
(2)若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？
【答案】(1)；
(2)至少需要购进种粽子50盒．
【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据“总利润种粽子利润种粽子利润”，即可得出答案；
（2）根据题意列出不等关系式即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，
，
答：关于的函数解析式为；
（2）解：，
解得：，
故若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，至少需要购进种粽子50盒．
【变式演练】
1．（2025·河南郑州·一模）为响应新农村建设，改善农村居住环境，某村村委会准备购买A，B两种桶装环保漆，对村里古建筑民居进行粉刷，已知A种环保漆每桶价格比B种环保漆多20元，购买3桶A种环保漆和5桶B种环保漆共需1340元．
(1)求A，B两种环保漆每桶价格分别是多少元．
(2)已知A种环保漆每桶可粉刷的面积，B种环保漆每桶可粉刷的面积．村委会计划用46000元的专项资金购买200桶A，B两种环保漆，并支付粉刷工人的工资，且粉刷工人的工资不少于专项资金的，求这200桶环保漆可粉刷的最大面积．
【答案】(1)A，B两种环保漆每桶价格分别是180元和160元
(2)这200桶环保漆可粉刷的最大面积为
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设A种环保漆每桶a元，则B种环保漆每桶元，根据购买3桶A种环保漆和5桶B种环保漆共需1340元列方程求解即可；
（2）设购买A种环保漆x桶，可粉刷的总面积为，先根据粉刷工人的工资不少于专项资金的列不等式求出x的取值范围，然后列出关于x的函数解析式，再利用一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设A种环保漆每桶a元，则B种环保漆每桶元，
根据题意，得，
解得：，
，
答：A，B两种环保漆每桶价格分别是180元和160元；
（2）解：设购买A种环保漆x桶，可粉刷的总面积为，
根据题意，得，
解得：．
，
，
随x的增大而增大，
当时，S取最大值，最大值为18500．
答：这200桶环保漆可粉刷的最大面积为．
2．（2025·陕西西安·一模）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
(1)当时，求y与x之间的函数关系式；
(2)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
【答案】(1)；
(2)这辆汽车减速前没有超速，理由见解析．
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键．
（1）根据题意知以平均时速为100千米/时行驶小时的路程为20千米，据此可得的值，进一步利用待定系数法解答即可；
（2）由题意求出先匀速行驶小时的速度即可判断．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得：，
设当时，y与x之间的函数关系式为，
则：
解得：，
∴；
（2）当时，，
∴ 先匀速行驶小时的速度为：（千米/时），
∵，
∴ 这辆汽车减速前没有超速．
3．（2025·河北·一模）在距离水平地面高度为的平台A(看作一点)上放有两架无人飞机，甲、乙两人同时操控无人飞机，使其匀速飞行，飞行轨迹可视为直线，设无人飞机与地面的竖直高度为，飞行时间为，得到了如图所示的图象，若甲、乙两人操控的无人飞机降落时的速度相同．
(1)求段的h关于t的函数解析式；
(2)求乙操控的无人飞机飞行的最大高度；
(3)当甲操控的无人飞机飞行达到最大高度时，求乙操控的无人飞机距离地面的竖直高度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了图象问题，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，根据所给图象获取信息，正确计算．
（1）根据图象把，代入解析式即可解答；
（2）把代入（1）中求得的解析式，得到甲操控的无人机飞行的最大高度，再求出甲无人机下落的速度，即可得到乙操控的无人机飞行的最大高度；
（3）利用路程等于速度乘以时间，即可解答．
【详解】（1）解：设段的h关于t的函数解析式为，
把，代入解析式可得，
解得，
段的h关于t的函数解析式为；
（2）解：把代入解析式可得，
甲无人机下落的速度为，
甲、乙两人操控的无人飞机降落时的速度相同，
乙操控的无人飞机飞行的最大高度；
（3）解：，
当甲操控的无人飞机飞行达到最大高度时，乙操控的无人飞机距离地面的竖直高度为．
题型07 反比例函数的实际应用
反比例函数的实际应用是初中数学函数知识体系中，用以刻画现实世界中两个变量乘积为定值这类特殊数量关系的重要部分，在初中数学考试中，分值占比通常在 5%-10%。
考查重点：考查从具体实际情境中洞察变量间的反比例关系，构建反比例函数模型并运用其性质解决问题。
高频题型：常见的高频题型包含工程进度问题（工作时间与工作效率的关系）、物理力学问题（如压力与受力面积的关系）、行程问题（路程一定时，速度与时间的关系）等。
高频考点：主要考点为根据实际背景准确确定反比例函数表达式，利用反比例函数的单调性分析变量变化趋势，以及结合实际对函数图象的特殊点和变化情况进行解读。
能力要求：要求学生具备敏锐的观察分析能力，能从复杂情境中抽象出反比例函数模型，还需熟练掌握反比例函数性质并灵活运用。
易错点：易错点在于对实际问题中变量关系判断失误，导致函数模型建立错误，同时容易忽略实际问题中自变量的取值范围对函数的限制。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为时，求此时的电流I．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴这个反比例函数的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴此时的电流I为．
【变式演练】
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度与时间的函数的关系如图所示，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题：
(1)求能够对玻璃进行加工的时长；
(2)求玻璃从降至室温需要的时间．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图象，获取信息是解决本题的关键．
（1）由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点可得，；设玻璃温度上升时的函数表达式为，求得y与x的函数关系式是，于是得到结论；
（2）将代入得，根据，于是得到结论．
【详解】（1）解：由题可得，在正比例函数图象和反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，代入点可得，，
玻璃温度下降时，与的函数关系式是，
设玻璃温度上升时的函数表达式为，代入点可得，，
玻璃温度上升时，与的函数关系式是，
将代入，得，
将代入，得，
，
能够对玻璃进行加工的时长为．
（2）解：将代入得，，
，
玻璃从降至室温需要的时间为．
2．（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，见解析
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键．
（1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式；
（2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解．
【详解】（1）解：设的函数表达式为，则：
，
，
的函数表达式为，
当时，，
可设部分双曲线的函数表达式为，
由图象可知，当时，，
，
部分双曲线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，
可得：，
解之可得：，
晚上到第二天早上的时间间隔为，，
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升），
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行．
3．（2025·山西朔州·一模）如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，．
(1)求与之间的函数关系．
(2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不合理，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意可得与之间的函数为反比例函数，利用待定系数法即可解答；
（2）把代入函数可得小路的长，得到的结果和起点和终点间的距离比较即可解答．
【详解】（1）解；根据石板搭建的小路面积一定，可得为定值，
与之间的函数为反比例函数，
设，
把，代入可得，
，
解得，
与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得，经检验分式成立，
，
故不符合题意，设计不合理．
题型08 二次函数的实际应用
二次函数的实际应用是初中数学函数板块中，用于解决涉及最值、抛物线形状等现实问题的核心内容，在初中数学考试中，分值占比约为 10%-15%。
考查重点：考查如何将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数的性质求最值以及分析变量间的关系。
高频题型：常见高频题型有销售利润问题（求最大利润）、几何图形面积问题（求图形面积最大值或最小值）、物体运动轨迹问题（如抛物线形的投篮、抛球等运动）。
高频考点：主要考点为确定二次函数表达式，运用顶点坐标求最值，分析函数图象在实际情境中的意义，如与 x 轴交点表示的实际情况等。
能力要求：要求学生具备较强的建模能力，能将实际问题数学化，同时要熟练掌握二次函数图象与性质的运用，具备分析数据和推理的能力。
易错点：易错点在于建模过程中对实际情境理解不透彻导致函数表达式错误，求最值时忽略自变量的实际取值范围，以及对函数图象与实际问题结合的解读偏差。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)，
(2)
(3)当时，实验田的面积S最大，最大面积是
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键．
（1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式；
（2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值；
（3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
，
当时，，
，
，
，
当时，矩形实验田的面积能达到；
（3），
当时，有最大值．
例2．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）．
(1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度；
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围．
【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键．
（1）根据题意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可；
（2）将（1）中代入，可得出与的关系式，然后利用一次函数的性质，即可求出的取值范围．
【详解】（1）由题意得：
整理得，
当时，则，
解得：．
，
不符合题意，舍去，
该商场建造的隔热层厚度为6．
（2）由（1）得，
，
．
，
随的增大而增大，
当时，，解得；
当时，，解得；
的取值范围为．
例3．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
(1)若火箭第二级的引发点的高度为．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；
（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解．
【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线和直线均经过点
∴，
解得，．
②由①知，，
∴
∴最大值
当时，
则
解得，
又∵时，
∴当时，
则
解得
∴这两个位置之间的距离．
（2）解：当水平距离超过时，
火箭第二级的引发点为，
将，代入，得
，
解得，
∴．
【变式演练】
1．（2025·湖北恩施·一模）某文具店以每个30元的价格购进一批书包，如果以每个40元出售，那么一个月内能售出300个，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，设书包的销售单价提高元，销售量为个．
(1)求销售量与提高的单价之间的函数关系．
(2)文具店希望一个月内销售该种书包能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问书包的销售单价应提高多少元？
(3)当销售单价定为多少元时，该文具店一个月内销售这种书包获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)销售单价应提高2元
(3)当销售单价定为50元时，利润最大，最大利润是4000元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）根据销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，列出函数关系式即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可；
（3）设总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可。
【详解】（1）解：由题意，得：；
（2）由题意，得：，
解得：，
∵尽可能减少库存，
∴；
答：销售单价应提高2元；
（3）设总利润为，则：，
∴当时，有最大值，为；
此时销售单价为：元；
答：当销售单价定为50元时，利润最大，最大利润是4000元．
2．（2025·山东青岛·模拟预测）某校计划组织开展“劳动技能”比赛活动，活动计划评出100名获奖参赛个人，并设立一、二、三等奖，分别奖励一件A、B、C三种价格不同的奖品．已知购买1件A奖品和2件B奖品共63元；购买2件A奖品和3件B奖品共108元．设获一、二、三等奖的人数分别为a，b，c，且，．
(1)求A奖品和B奖品的单价；
(2)因购买数量较多，商家同时给予以下两种优惠：
①每购买1件A奖品赠送2件C奖品；
②购买A奖品15件以内（含15件）按原价，超过15件时，每多购买一件，所有A奖品的单价降低0.2元（单价最多降低4元）．已知C奖品的单价是10元，赠送的C奖品不足以奖励所有获得三等奖的学生，需要再购买一部分C奖品．问：怎样设置一等奖人数使购买方案最省钱？并求出购买奖品费用的最小值．
【答案】(1)A奖品的单价为27元，B奖品的单价为18元
(2)设置一等奖16人可使购买方案最省钱，购买奖品费用的最小值为1140.8元
【分析】本题考查二次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法和二次函数最值的求法是解题的关键．
（1）设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，根据“奖品的单价奖品的数量奖品的单价奖品的数量金额”列方程组并求解即可；
（2）根据题意，得三等奖的人数为人.设购买奖品费用为元，根据“购买奖品费用奖品的单价购买奖品的数量比件多出的件数购买奖品的数量奖品的单价购买奖品的数量奖品的单价购买奖品的数量购买奖品的数量”写出关于的函数关系式，然后求出的取值范围，然后根据函数性质得到最值解题即可．
【详解】（1）解：设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元．
根据题意，得，
解得，
∴A奖品的单价为27元，B奖品的单价为18元．
（2）解：根据题意，得三等奖的人数为人．
设购买奖品费用为w元，则，
，
解得，
∵，
∴，
∵，且a为整数，
∴当时，w最小，，
∴设置一等奖16人可使购买方案最省钱，购买奖品费用的最小值为1140.8元．
3．（2025·河南郑州·一模）小明同学练习推铅球，从推出到铅球触地过程中，铅球的竖直高度和水平距离近似满足函数关系．某次训练，铅球的水平距离和竖直高度的几组对应数据
如下：
根据上述数据，回答下列问题：
(1)表格中的 ．
(2)求满足条件的抛物线的表达式．
(3)若铅球落地后的水平距离与对应分值（分）之间满足，请计算小明这次铅球训练的成绩（结果精确到0.1分．参考数据）
【答案】(1)
(2)
(3)小明这次铅球训练的成绩为分
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求得二次函数的解析式是解题的关键．
（1）由数据中值相同，可得对应的点关于对称轴对称，即可求得对称轴，再求即可；
（2）利用待定系数法即可解答；
（3）求得落地的落地后的水平距离，代入函数即可解答．
【详解】（1）解：根据表格可得和时，值相同，
抛物线的对称轴为直线，
，解得，
故答案为：；
（2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线，
故设，
把代入可得，
解得，
抛物线的表达式为；
（3）解：当时，可得，
解得（舍去），
把代入，
可得分，
故小明这次铅球训练的成绩为分．
4．（2025·河北沧州·模拟预测）某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4020元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【答案】(1)
(2)元，元
(3)元
【分析】（1）根据题意即可列出y与x的函数关系式；
（2）根据“每月利润每件利润月销售量”即可列出关于的函数关系式，先将二次函数化成顶点式，根据二次函数的图象与系数的关系可知抛物线开口向下，然后求二次函数的最值即可得出答案；
（3）根据题意和（2）中的函数关系式，可得，解方程即可求出相应的销售单价．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
整理，得：；
（2）解：由题意得：
，
，
抛物线开口向下，
有最大值，
当时，，
答：当销售单价为元时，每月获得的利润最大，最大利润是元；
（3）解：由题意得：
，
解得：，，
为了让消费者得到最大的实惠，故，
答：当销售单价定为元时，能让消费者得到最大的实惠．
【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（销售问题），一元二次方程的应用（营销问题），一次函数的实际应用，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出函数关系式和方程是解题的关键．
5．（2025·湖北·一模）数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖长方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线L：（单位长度为1m）的一部分，且抛物线经过．已知．
(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标；
(2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子；
(3)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，则弹珠能否弹出箱子？请说明理由．
【答案】(1)；顶点坐标为
(2)见解析
(3)弹珠能弹出箱子，理由见解析
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点，，．当时，，解得：，即可求解；
（3）根据题意设抛物线M的解析式为，把点代入，得：，解得：或，进而求解．
【详解】（1）解：（1）把点，代入得：
，解得，
∴抛物线L的解析式为；
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，即点．
∵，
∴．
∴点，，．
当时，，
解得：，．
∵，
∴该同学抛出的弹珠能投入箱子；
（3）解：弹珠能弹出箱子，理由如下：
当时，，解得，
∴抛物线L与x轴的另一个交点为．
根据题意设抛物线M的解析式为，
把点代入，
得：，
解得：或，．
又∵抛物线M的对称轴在直线的左侧，
∴．
∴抛物线M的解析式为：．
∵当时，，
∴弹珠能弹出箱子．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题．
1．（2025·陕西西安·一模）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年技术升级每辆无人驾驶出租车的改装费降为原来的一半：求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
【答案】160辆
【分析】根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年技术升级每辆无人驾驶出租车的改装费降为原来的一半，得（万元）；根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程，求解即可．本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程．
【详解】解：依题意得：明年技术升级每辆无人驾驶出租车的改装费：（万元），
设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是辆，
依题意得：，
解得：，
∴明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
2．（2025·贵州·一模）某校开展劳动实践活动，七年级承包了一项劳动任务，1班单独劳动1小时后，为了加快进度，2班也加入劳动，共用3小时完成了任务．已知2班单独劳动需要4小时完成．
(1)求1班单独完成此项劳动任务需要多少小时？
(2)若两个班从一开始就合作完成此项劳动任务，求需要多少小时完成劳动任务？
【答案】(1)1班单独完成此项劳动任务需要6小时
(2)两班从一开始就合作完成此项劳动任务需要2.4小时
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
（1）设1班单独完成此项劳动任务需要小时，总任务为“1”，分别计算出两个年级的工作效率，据此列方程．
（2）设两班从一开始就合作，则需要小时，由题意列方程解答即可．
【详解】（1）解：设1班单独完成此项劳动任务需要小时，由题意，
得，
解得，
检验：是原方程的解且符合题意．
答：1班单独完成此项劳动任务需要6小时；
（2）解：设两班从一开始就合作，则需要小时，由题意，
得
解得，
答：两班从一开始就合作完成此项劳动任务需要2.4小时．
3．（2025·陕西西安·一模）在某校的航模小组练习中，型无人机从海拔处出发，以的速度匀速上升，型无人机从海拔处同时出发，以的速度匀速上升，经过两架无人机位于同一海拔高度．无人机海拔高度与时间的关系如图．两架无人机都上升了15min．

(1)=_____，=___．
(2)求型无人机海拔高度与时间的关系式．
(3)问无人机上升了多少时间，型无人机比型无人机高米．
【答案】(1)，
(2)
(3)无人机上升，型无人机比型无人机高米
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，涉及到了求一次函数的表达式，两个一次函数值之间的比较等内容，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能建立高度的表达式．
（1）直接利用型无人机从海拔米处出发，以的速度匀速上升，求出其分钟后的高度，即为的值，=型无人机分钟上升的高度5；
（2）根据待定系数法求解即可；
（3）将型无人机的高度关系式减去型无人机高度关系式，令其值为，求解即可．
【详解】（1）解：，；
（2）解：设，
将，代入得：，
解得：．
∴．
（3）解：由题意知型无人机海拔高度与时间的关系式为，
令，
解得：，满足题意，
∴无人机上升，型无人机比型无人机高米．
4．（2025·河南安阳·模拟预测）直播带货打破了传统农产品销售的地域限制，拓宽了销售渠道，让全国各地的消费者都能品尝到特色农产品，增强了消费者对农产品的信任度，使得农产品更具吸引力．某主播带货一种农产品，经调查发现，其日销售量件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如图所示：
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
(2)该主播日带货销售额能否达到2550元？如果能，请求出每件的售价；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能达到2550元；理由见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：由题意，设一次函数的关系式为，
结合图象过点，，得，
解得，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意，销售额，假设销售额能达到2550元，
则，
整理得，
∴
，
∴该方程没有实数解，即该主播日带货销售额不能达到2550元．
5．（2025·陕西咸阳·一模）某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况．当他们尝试施用某种药物时，发现会对，两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量()与，植物的生长高度()，()的关系如图所示．
(1)请分别求植物、植物生长高度与药物施用量的函数关系式；
(2)请求出两种植物生长高度相同时，药物的施用量()为多少？
【答案】(1)；；
(2)两种植物生长高度相同时，药物的施用量为；
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，利用待定系数法求出，关于x的关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出两直线的交点横坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：设，，
把代入中得：，
∴，
∴；
把代入中得：，
∴，
∴；
（2）解：联立，
解得，
∴两种植物生长高度相同时，药物的施用量为；
6．（2024·山东济南·模拟预测）2023年12月17日上午，第二届济南市全民阅读大会暨全民阅读冬季讲读活动开幕式在济南市图书馆中心馆举行．济南市直有关部门负责同志、中小学生代表、市民代表、媒体记者等共计500余人参加活动．为积极响应建设“书香济南”的号召，某校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】(1)男装单价为100元，女装单价为120元
(2)当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元
【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键．
（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有人， 列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：，
解得：
答：男装单价为100元，女装单价为120元；
（2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有人，
根据题意可得，
解得：，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则，
∵，
∴当时，w有最小值，最小值为（元）
此时，（套）．
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
7．（2025·山西长治·模拟预测）山药是山中之药、食中之药，有“神仙之食”的美名，为方便人们使用，现在很多企业将山药加工成山药粉进行销售，小李想要购进一批山药粉，了解到某品牌山药粉有罐装和盒装两种规格，每件盒装山药粉的价格是每件罐装山药粉价格的，用元购买盒装山药粉的数量比用元购买罐装山药粉的数量多6件．
(1)求该品牌罐装山药粉和盒装山药粉的单价．
(2)小李打算购买该品牌罐装山药粉和盒装山药粉共件进行销售，且购买盒装山药粉的数量不超过罐装山药粉数量的3倍，求最低的购买费用．
【答案】(1)每件罐装山药粉价格是元，则每件盒装山药粉的价格是元；
(2)元．
【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用．
（1）设每件罐装山药粉价格是元，则每件盒装山药粉的价格是元，用元购买盒装山药粉的数量比用元购买罐装山药粉的数量多6件．据此列方程并解方程即可；
（2）设购买该品牌罐装山药粉为件，则购买该品牌盒装山药粉件，设购买费用为元，根据总费用列出函数解析式，购买盒装山药粉的数量不超过罐装山药粉数量的3倍，据此列不等式并解不等式求出的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设每件罐装山药粉价格是元，则每件盒装山药粉的价格是元，
则
解得，
经检验是分式方程的解且符合题意，
则，，
答：每件罐装山药粉价格是元，则每件盒装山药粉的价格是元；
（2）设购买该品牌罐装山药粉为件，则购买该品牌盒装山药粉件，设购买费用为元，
则，
由题意可得，，
解得，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，的最小值为．
即最低的购买费用为元．
8．（2025·广东深圳·一模）九年级的茗茗同学在春节放假期间参加社会实践活动，参加了街道的盆栽售卖活动，某种年橘盆栽的进价为每盆40元，售价为每盆50元，由于正值春节假期，顾客较多，每天可卖出220盆，经调查发现，如果每盆年橘的售价每上涨1元，则每天少卖10盆．
(1)每盆年橘的售价上涨多少元时，每天的销售利润为2520元？
(2)每盆年橘的售价上涨多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)每盆年橘的售价上涨4元或者8元，每天的销售利润为2520元
(2)每件商品的售价上涨6元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元
【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，
（1）设每件商品的售价上涨元（为正整数），则销售量为件，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）设每个月的销售利润为元，根据题意得到，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每件商品的售价上涨元（为正整数），则销售量为件
根据题意得，
解得：或
答：每盆年橘的售价上涨4元或者8元，每天的销售利润为2520元；
（2）解：设每个月的销售利润为元
根据题意得：，
当时，有最大值，最大值为2560元．
答：每件商品的售价上涨6元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元．
9．（2025·河南周口·一模）“垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买，两种型号的垃圾桶，已知型垃圾桶的单价比B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾）
(1)分别求A，B两种型号垃圾桶的单价．
(2)根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费．
【答案】(1)A型垃圾桶的单价为100元，B型垃圾桶的单价为120元；
(2)所需的最少经费为6480元．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、找到等量关系和不等关系是解题的关键．
（1）设型垃圾桶的单价为元，则型垃圾桶的单价为元，然后根据题意列分式方程求解即可；
（2）设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个．根据题意可得，解得；设所需经费为元，则，然后根据一次函数求最值即可．
【详解】（1）解：设型垃圾桶的单价为元，则型垃圾桶的单价为元，
根据题意，得，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元）．
答：型垃圾桶的单价为100元，型垃圾桶的单价为120元．
（2）解：设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个．
型垃圾桶的数量不超过型垃圾桶的倍，
，解得．
设所需经费为元，则．
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为（元）．
答：所需的最少经费为6480元
10．（2025·江西·模拟预测）近年来，江西省委、省政府十分重视生态环境保护，某公交公司为落实省委，省政府的政策要求，计划购买型和型两种型号的新能源公交车若干辆，若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需340万元；若购买型公交车3辆，型公交车4辆，共需820万元．
(1)求购买型和型公交车每辆各需多少万元？（用二元一次方程解答）
(2)若该公交公司购买型和型公交车的总费用不超过1640万元，共购买14辆，则该公交公司哪种购买型车的量最少？这种购车方案应花费多少钱呢？
【答案】(1)型公交车每辆需108万元，型公交车需124万元
(2)购买型车6辆，型车8辆时购买型车的量最少，应花1640万元
【分析】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需340万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需820万元”可列出二元一次方程组解决问题；
（2）设型公交车购买辆，则型公交车购买辆．，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1640万元”可列出不等式组探讨得出答案即可得到购车方案，利用一次函数的性质可求最少总费用．
【详解】（1）解：设型公交车每辆需万元，型公交车需万元．
由题意得：，解得
所以，型公交车每辆需108万元，型公交车需124万元．
（2）解：设型公交车购买辆，则型公交车购买辆．
由题意得：
解得：
所以，当时，购买型车的量最少，应花（万元）
答：购买型车6辆，型车8辆时购买型车的量最少，应花1640万元．
11．（2025·陕西·一模）近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，在图1中以所在直线为x轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系．

(1)求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式；
(2)每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量．
【答案】(1)
(2)6把
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可；
（2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以椅子的宽度即可作答．
【详解】（1）解：帐逢张开时的宽度，顶部高度，
，顶点坐标为．
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：椅子的高度，宽度，
将代入，
得，
解得，
，
（把），
最多可撰放6把椅子．
12．（2025·山东济宁·模拟预测）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？
(3)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？
【答案】(1)
(2)当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元
(3)3000元
【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用：
（1）用待定系数法求解即可；
（2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最大利润；
（3）由（2）每周出售这种糕点所获利润，利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即可解答．
【详解】（1）解：由题意，设y关于x的函数表达式为，
∴．
∴．
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：设销售利润为W元，
由题意，可得每周出售这种糕点所获利润
，
∵，
∴当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元；
（3）解：由（2）每周出售这种糕点所获利润
又∵，
∴当时，所获利润最小为3000元；当时，所获利润最大为5400元．
∴销售单价需满足，则每周至少可获得3000元的利润．
13．（2025·河南郑州·一模）4月份，冬小麦陆续进入拔节期，处于春季麦田管理的关键阶段．某农用无人机专卖店用12万元购进两种型号的农用无人机，已知一两种型号农用无人机的进价分别为万元/台和万元/台，且种型号农用无人机比种型号农用无人机多3台．
(1)求该专卖店分别购进两种型号的农用无人机的台数．
(2)该专卖店的每台农用无人机均在其进价的基础上提价进行销售．某种植基地准备在该专卖店购进两种型号的农用无人机共10台（每种型号至少一台），为冬小麦的成长“保驾护航”．该专卖店给出了以下两种优惠方案，并规定购买时只能选择其中一种：
方案一：全部打八折；
方案二：按标价购买，赠送每种型号的农用无人机各1台．
①设方案一、二的最终花费分别为元、元，购买种型号农用无人机台，求，与的函数关系式．（不要求写自变量的取值范围）
②若采用方案一购买时花费较少，则最多购买种型号农用无人机________台．
【答案】(1)台，台
(2)①；；②台
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，函数关系式，根据题意列出方程组与函数关系式是解题的关键；
（1）设该专卖店购进种型号农用无人机台，种型号农用无人机台，
（2）①由题意可知，购买种型号农用无人机台，根据题意分别列出函数关系式；
②根据，列出不等式，解不等式求得最大整数解，即可求解．
【详解】（1）解：设该专卖店购进种型号农用无人机台，种型号农用无人机台，
根据题意，得，
解得．
答：该专卖店购进种型号农用无人机12台，种型号农用无人机9台．
（2）①由题意可知，购买种型号农用无人机台，
则
．
②解：令，
解得，
故最多购买种型号农用无人机4台．
故答案为：．
14．（2025·广东深圳·一模）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可；
（3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；
（3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
15．（2025·江西景德镇·模拟预测）【发现问题】
在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线．
【提出问题】
在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系．
【分析问题】
在某次训练完成一次动作后，记录了全红婵运动时的竖直高度与水平距离的几组数据如下：
（1）根据表中数据，_____，关于的函数解析式为_____．
【解决问题】
（2）全红婵和陈芊汐完成了一次双人10米跳台训练，全红婵的数据如上表中所示，陈芋汐的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．
①用，分别表示全红婵，陈芋汐入水时入水点距跳台的水平距离，则_____；（填“”“”或“”）
②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好是米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由．
【答案】（1），；（2）①；②不会失误，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据表中数据求出对称轴，再由顶点式求出函数解析式，即可得到的值；
（2）①将代入两个函数解析式，求出，的值即可；
②将代入求出，即可进行判断．
【详解】解：（1）由表中数据可知，经过，
故对称轴
顶点坐标为
设关于的函数解析式为，
将代入，
得
解得
故关于的函数解析式为，
将代入，，
，
故答案为：，；
（2）①将代入，
解得（舍去）或，
，
将将代入，
解得（舍去）或，
，
，
故答案为：．
②不会失误，理由如下：
将代入，
即，
，
，
全红婵本次训练不会失误．
列方程解实际应用题的步骤：
①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。
③列方程：根据等量关系与未知数列出一元一次方程。
④解方程——按照解方程的步骤解一元一次方程。
④答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。
常见的基本等量关系：
①行程问题基本等量关系：
路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。
顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速）
②工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率。
③配谈问题：
实际生产比＝配套比。
④商品销售问题：
利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100%
⑤图形的周长，面积，体积问题。
常见的建立方程的方法：
①基本等量关系建立方程。
②同一个量的两种不同表达式相等。
列方程解实际应用题的步骤：
①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。
③列方程：根据等量关系与未知数列出二元一次方程。
④解方程——按照解方程的步骤解二元一次方程。
⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。
高频题型包括行程问题、工程问题、利润问题、比例问题和混合问题，这些题型通常以应用题的形式出现，要求学生灵活运用方程组知识解决实际问题。
秘籍：熟记常见题型的解题套路，如行程问题中的“路程=速度×时间”，利润问题中的“利润=售价-成本”等
秘籍：
仔细审题，明确已知条件和未知量，找到等量关系，特别注意判别式的意义
熟记常见题型的解题套路，如面积问题中的“面积=长×宽”，利润问题中的“利润=售价-成本”等。
列方程时确保系数a、b、c计算准确，求根时注意判别式的值，分析判别式时注意根的性质。
高频题型包括工程问题、行程问题、浓度问题、比例问题等，这些题型通常以应用题的形式出现，要求学生灵活运用分式方程知识解决实际问题。
秘籍：熟记常见题型的解题套路，如工程问题中的“工作量=工作效率×时间”，行程问题中的“路程=速度×时间”等。
高频题型
高频题型包括**最值问题（如利润最大、成本最小）、方案设计问题（如购买方案、运输方案）、范围确定问题（如温度范围、时间范围）等。
秘籍：熟记常见题型的解题套路，如最值问题通常需要建立函数，方案设计问题需要列出所有可能的不等式组合。
一汽
二汽
A型每辆费用（元）
B型每辆费用（元）
透彻理解题意 二、构建函数模型 三、结合实际求解 四、检验与作答
高频题型包括行程问题、利润问题、费用问题、图像分析问题等，这些题型通常以应用题的形式出现，要求学生灵活运用一次函数知识解决实际问题。
秘籍：熟记常见题型的解题套路，如行程问题中的“路程=速度×时间”，利润问题中的“利润=售价-成本”等。
种类
进价
标价
A
90
120
B
50
60
高频题型包括面积问题、速度问题、工程问题、物理问题等，这些题型通常以应用题的形式出现，要求学生灵活运用反比例函数知识解决实际问题。
秘籍：熟记常见题型的解题套路，如面积问题中的“面积=长×宽”，速度问题中的“路程=速度×时间”，利润问题等。
高频题型包括最值问题（如利润最大、成本最小）、抛物线运动问题（如抛体运动）、面积优化问题（如矩形面积最大）、利润最大化问题等。
秘籍：熟记常见题型的解题套路，如最值问题通常需要找到顶点坐标，抛物线运动问题需要分析抛物线的开口方向和顶点位置。
水平距离
0
1.2
2
3
3.8
4.2
m
竖直高度
1.7
2.38
2.7
2.95
3.03
3.03
2.95
销售单价x（元）
…
60
65
70
…
周销量y（盒）
…
240
210
180
…
水平距离
3
4
竖直高度
10
10