热点题型 专题07 三角形中的证明与计算问题（4类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式专练（全国通用）

这是一份热点题型 专题07 三角形中的证明与计算问题（4类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式专练（全国通用），文件包含热点题型专题07三角形中的证明与计算问题4类题型-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式专练全国通用原卷版docx、热点题型专题07三角形中的证明与计算问题4类题型-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式专练全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共73页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc673" 热点题型归纳 PAGEREF _Tc673 \h 1
\l "_Tc673" 题型01 三角形全等的判定及性质应用 PAGEREF _Tc673 \h 1
\l "_Tc16382" 题型02 相似三角形的判定及性质应用 PAGEREF _Tc16382 \h 9
\l "_Tc31231" 题型03 结合全等与相似进行三角形中的线段的计算 PAGEREF _Tc31231 \h 20
\l "_Tc21926" 题型04 结合全等与相似进行三角形中的角度的计算 PAGEREF _Tc21926 \h 39
\l "_Tc17889" 中考练场 PAGEREF _Tc17889 \h 42
题型01 三角形全等的判定及性质应用
三角形全等的判定及性质应用是初中数学几何领域的核心内容，是解决三角形相关问题、推导几何结论的关键工具，在中考数学中分值占比约 5%-10%。
1.考查重点：重点考查依据不同几何情境，精准选择全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）证明三角形全等，并熟练运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，进行线段和角度的证明与计算。
2.高频题型：高频题型包含直接给定三角形的部分条件，要求证明两个三角形全等；利用全等三角形性质，证明线段相等、角相等或计算线段长度、角度大小；在复杂图形中，通过添加辅助线构造全等三角形，解决几何问题。
3.高频考点：考点集中在全等三角形判定定理的灵活运用，全等三角形性质在证明线段、角度关系及计算中的应用，全等三角形与其他几何图形（如四边形、圆）的综合考查，以及全等三角形在实际问题（如测量距离）中的运用。
4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理规划全等证明路径；拥有敏锐的图形观察能力，从复杂图形中识别全等三角形；掌握辅助线添加技巧，通过构造全等三角形突破解题难点；同时具备将实际问题转化为数学模型的能力。
5.易错点：易错点在于判定三角形全等时，错用判定条件，如误将 “SSA” 当作判定依据；在运用全等三角形性质时，对应关系混淆，导致线段、角度计算错误；添加辅助线时缺乏针对性，无法有效构造全等三角形；在综合问题中，不能充分挖掘隐含条件，影响全等证明及后续计算。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
．
例2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论．
【详解】证明：∵点E为边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
例3．（2024·福建·中考真题）如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，从而可得结论．
【详解】证明：在菱形中，
，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
例4．（2024·四川乐山·中考真题）知：如图，平分，．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用证明，即可证明．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握、、、等全等三角形的判定方法是解题的关键．
例5．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．
若________，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【详解】解：选择①；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
选择②；
无法证明，
无法得出；
选择③；
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，即；
故答案为：①或③（答案不唯一）
【变式演练】
1．（2025·陕西西安·二模）如图，是上一点，，，平分，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，进而由可得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
2．（2025·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由矩形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，再结合，可得，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：四边形是矩形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
．
3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，点在一条直线上，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的判定，先证，得出，则，再由平行线的判定即可得出结论．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，点是上一点，过点作，点在上方，连接，，与互补，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键；由同角的补角相等可得，再证明即可得证．
【详解】证明：与互补，
，
，
，
，
，
，，
，
．
5．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：

(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）根据题意，则，，等量代换，则，根据全等三角形的判定和性质，即可；
（2）延长交于，连接，根据题意，垂直平分线的性质，证明得到是的垂直平分线，则，，根据平行线的判定和性质，则，，根据，推出，根据全等三角形性质，则，得到，根据为边的中点，全等三角形的判定和性质，则，根据边的等量关系，即可．
【详解】（1）证明，如下：
∵，，
∴，
∵平分交于点
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）证明，如下：
延长交于，连接，
∵ 平分，，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

题型02 相似三角形的判定及性质应用
相似三角形的判定及性质是初中数学几何领域中极为重要的内容，它主要研究三角形之间的相似关系，通过判定定理确定相似性，并利用性质解决线段比例、角度关系等几何问题，在中考数学中分值占比约 5%-10%。
1.考查重点：重点考查对相似三角形判定定理（如两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）的准确运用，以及相似三角形性质（对应角相等、对应边成比例、对应线段成比例、面积比等于相似比的平方）在各类几何情境中的应用。
2.高频题型：高频题型包含给定几何图形，判断三角形是否相似并说明理由；利用相似三角形性质计算线段长度、角度大小、图形面积；通过构造相似三角形解决实际问题，如测量物体高度、距离等。
3.高频考点：考点集中在相似三角形判定条件的灵活选择，相似三角形性质在几何证明和计算中的运用，相似三角形与函数、圆等其他知识的综合考查，以及相似模型（如 “A” 型、“X” 型、母子相似型）的识别与应用。
4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理选择相似三角形的判定方法；拥有良好的图形分析能力，从复杂图形中提炼出相似三角形；掌握一定的数学建模思想，能将实际问题转化为相似三角形模型求解。
5.易错点：易错点在于判定相似时错用条件，例如误将两边对应成比例且其中一边的对角相等当作判定依据；在运用相似三角形性质时，对应关系混淆，导致线段比例、面积计算出错；对相似模型的特征把握不准，无法准确识别与应用，在综合问题中不能有效整合相似三角形与其他知识解题。
【提分秘籍】
【典例分析】
例1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
【详解】解：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
．
例2．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用圆周角定理可得出，，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）利用勾股定理可求出，，利用等面积法求出，可求出，然后利用（1）中求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又，
∴；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴E到、的距离相等，
设E到的距离为，C到的距离为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．
例3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键．
（1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出．
（2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
（2）连接，如下图：
∵为直径，
∴，
设，
∴，
由（1）知：
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
即，
解得：
例4．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
(1)求证：；
(2)若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由余角的性质可得，，根据，可得；
（2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得；
②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，，
，
；
（2）解：①，理由如下：
设，
，
，
，
，
，
；
②，，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
．
【变式演练】
1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，，是边上的高，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，由相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键．
由旋转性质可得：，，，进而可得，，由此根据相似三角形的判定定理即可证明
【详解】证明：将绕点B逆时针旋转得到，
由旋转性质，得，，，
，
，
，
即，
∽
3．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知线段，相交于点，，，．求．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质．首先根据平行线的性质可证，根据对顶角相等可得，所以可证，再根据相似三角形对应边成比例可求结果．
【详解】解：如下图所示，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
4．（2024·广西·模拟预测）如图，在等边三角形中，相交于点F．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质，先证明得到，进而可证明，再证明，即可根据相似三角形的性质证明结论．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
5．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识：
（1）由，证明， 得，所以，则；
（2）由相似三角形的性质得，推导出，由， ，得，则 ， ，而，所以，则，所以，则
【详解】（1）
（2）
，
，
6．（2025·重庆大渡口·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)的长为
【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意可证平行四边形是菱形，则，由垂直的定义可得，由同角的余角相等可得，由此即可求解；
（2）根据菱形的性质得到，由勾股定理得到，由（1）中的相似得到，即，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平行四边形是菱形，
∴，，
在中，，
由（1）可知，
∴，
∴，
解得，，
∴的长为．
题型03 结合全等与相似进行三角形中的线段的计算
结合全等与相似进行三角形中的线段的计算是初中数学几何知识综合运用的关键内容，深度融合全等三角形与相似三角形的核心性质，对学生综合分析与解决问题能力要求较高，在中考数学中分值占比约 5%-8%。
1.考查重点：重点考查灵活运用全等三角形对应边相等、相似三角形对应边成比例的性质，在复杂几何情境下，通过寻找、构造全等或相似三角形，实现对三角形中线段长度的精准计算。
2.高频题型：高频题型有在一个图形中，先证明三角形全等得到部分线段相等关系，再借助相似三角形对应边比例，计算其他线段长度；或者先利用相似三角形求出部分线段比例，再通过证明全等三角形，确定关键线段长度，进而计算所求线段。
3.高频考点：考点集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与相似三角形判定定理（两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）的准确运用，以及全等与相似三角形性质在串联线段关系、计算线段长度过程中的综合体现。
4.能力要求：要求学生具备敏锐的图形观察能力，能从复杂图形中迅速识别全等与相似三角形的基本模型；拥有强大的逻辑推理能力，依据已知条件合理规划全等与相似的证明顺序，搭建线段计算的桥梁；掌握扎实的运算能力，处理复杂线段比例与长度计算。
5.易错点：易错点在于混淆全等与相似三角形的判定条件和性质，导致证明过程出错；在构造全等或相似三角形时，辅助线添加不合理，无法有效建立线段联系；在利用相似三角形对应边成比例计算时，对应关系混乱，造成计算错误；对题目中隐含的全等或相似条件挖掘不充分，影响解题思路。
【典例分析】
例1．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）

A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，最后得到即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键．
例2．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据题意证明，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键．
例3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长，交于，由圆周角定理可得，，进而可证明，得到，即得，利用勾股定理得，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长，交于，
是的直径，
，，
平分，
，
又∵，
∴，
，
，
，，
，
，
又∵，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：．
例4．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 ．

【答案】
【分析】连接，证明是等边三角形，则，，设，则，取的中点H，连接，求出，设，则，证明，得到，解得，即，再利用勾股定理求出，进一步即可得到答案．
【详解】解：连接，

∵将绕着点C按顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设，则，
取的中点H，连接，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
即，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
例5．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．

【答案】
【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可．
【详解】解：连接，过E作于F，设，，

∵，为中点，
∴，又，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，则，又，
∴，
∴，，
∴，
则；
∵是的一条角平分线，
∴，又，
∴，
∴
∴，则，
∴，即，
解得（负值已舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．
例6．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键．
解法一：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果；
解法二：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到．
【详解】解：解法一：延长和，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
解法二：作交于点H
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
故选：B．
【变式演练】
1．（2025·山西朔州·一模）如图，，与相交于点，已知，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质、三角形相似判定和性质，利用平行线证明三角形相似，得到线段成比例即可求解．
【详解】解：∵，
，
，
，
即：，
，
∴；
故答案为：．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，点是的外心，且，延长交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形外心，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解三角形外心的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据三角形外心得到，可证，得到，可证，则，所以有，运用等量代换可得，由此即可求解．
【详解】解：∵点是的外心，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
把代入，
∴，
∴，且
∴，
∵，
∴，
答案为：．
3．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，，，交于E，，，则的长度为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，，，证明，得，，因为，，则，得，然后运算勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
故答案为：6
4．（2025·陕西西安·二模）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．延长交于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：延长交于H，
，
，
，
是的中位线，
，
故选：D．
5．（2025·广东深圳·模拟预测）在等腰中，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交BC的延长线于点F，由正切函数得，设，，利用勾股定理分别求出，，，则，再求出，则，，，进而得， ，根据得，设，，则，，由正切函数，，即可求解．
【详解】解：过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交的延长线于点F，如图所示：
，
在中，，
∴设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
设，，
，
，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
∴，
解得：，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，正切函数，勾股定理，掌握似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，能构建相似三角形，并能熟练利用正切函数和勾股定理进行求解是解题的关键．
6．（2025·重庆·模拟预测）如图，正方形的边长为，连接，则线段的长为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，延长交于点E，根据正方形的性质结合已知条件证得，再根据勾股定理的逆定理证得和是直角三角形，再证，从而得出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，延长交于点E，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形且，
∴，
∵，
∴是直角三角形且，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：D．
7．（2025·重庆·模拟预测）如图，正方形的对角线上有一点E，满足，连接，过D作 于F，连接，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
在上截取，连接，延长，交于点，由正方形的性质可得，，，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，则，利用可证得，于是可得，由可得，于是可得，结合，可得，设，则，由勾股定理可得，可证得，于是可得，即，进而可得，则，由勾股定理可得，则，由勾股定理可得，则，由此即可求出的值．
【详解】解：如图，在上截取，连接，延长，交于点，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
题型04 结合全等与相似进行三角形中的角度的计算
结合全等与相似进行三角形中的角度的计算是初中数学几何板块中对知识综合运用能力要求颇高的内容，它紧密关联全等三角形对应角相等和相似三角形对应角相等的特性，旨在培养学生深度分析几何图形中角度关系的能力，在中考数学里分值占比约 5%-8%。
1.考查重点：重点考查学生灵活运用全等三角形对应角相等、相似三角形对应角相等这两大核心性质，在复杂多变的几何图形情境中，精准定位并通过构造全等或相似三角形，实现对三角形中未知角度的准确计算。
2.高频题型：高频题型有在给定图形中，先证明三角形全等获取部分角度相等关系，接着借助相似三角形对应角性质来计算其他角度；或者先利用相似三角形得出一些角度信息，再通过证明三角形全等，确定关键角度数值，从而完成所求角度的计算。
3.高频考点：考点主要集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与相似三角形判定定理（两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）的恰当选用，以及全等与相似三角形对应角性质在构建角度关系、求解角度数值过程中的综合运用。
4.能力要求：要求学生具备敏锐的图形感知能力，能快速从复杂图形中识别出全等与相似三角形的基本模型；拥有较强的逻辑推导能力，依据已知条件有条不紊地规划全等与相似的证明流程，以此搭建起角度计算的逻辑链条；同时，还需掌握扎实的角度运算能力，准确处理各类角度的计算问题。
5.易错点：易错点在于混淆全等与相似三角形的判定条件和对应角性质，致使证明过程出现错误；在构造全等或相似三角形时，辅助线添加不当，无法成功建立起有效的角度关联；在利用相似三角形对应角性质计算时，对应关系混乱，造成角度计算失误；对题目中潜藏的全等或相似条件察觉不敏锐，从而阻碍解题思路的顺畅推进。
【典例分析】
例1．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键．
先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故选C．
例2．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可．
【详解】解：由，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【变式演练】
1．（2025·河南·模拟预测）如图，已知，，，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，因为，所以，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
2．（2025·重庆·模拟预测）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得．
【详解】解：在和中，
，
，
，
故答案为：．
3．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．如果，那么 ， ， ．
【答案】 /55度
【分析】此题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
先根据矩形的性质得到，进而根据角的运算得到，再根据折叠的性质得到，根据三角形全等的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可求解．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
由折叠得，
；
又∵，
∴，，
∴．
故答案为：，，．
一、单选题
1．（2025·重庆·模拟预测）若两个三角形相似比为，则这两个三角形的周长比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形性质，根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解，即可解题．
【详解】解：两个三角形相似比为，
这两个三角形的周长比为，
故选：A．
2．（2025·河南安阳·一模）如图，为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为，踏板长为，支撑点A到踏脚D的距离为，现在踏脚着地，则捣头点E离地面的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，
先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案．
【详解】解：如图，∵，
∴，
∴，
∴，
解得米．
∴捣头点E离地面的高度0.8米．
故选：B．
3．（2025·重庆·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（ ）
A．8B．12C．18D．24
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得到，所以，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
4．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点在上，连接，的顶点、分别是、的中点，、分别交于点、，若点是的中点，，则的长为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，解题的关键是掌握以上知识点．
根据题意得出是的中位线，即可得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故选：D．
5．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，D为边的中点，点 E，F分别在边上，，则四边形的面积为（ ）
A．18B．C．9D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，连接，由，得，因为为边的中点，所以，则，再证明，则，推导出，即可得解，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线构造全等三角形是解决此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
，
为边的中点，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形的面积为9，
故选：C．
6．（2025·重庆·模拟预测）如图，正方形，连接，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识为解题的关键．
如图，过点作于点，根据旋转的性质以及等腰三角形的判定与性质可得；设，由勾股定理可得、，再证明易得、，再根据正方形的性质可得，进而求得，最后代入计算即可．
【详解】解∶如图，过点作于点，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设
，，
∵，
∴，
∴，即
，，
正方形中，，
，
．
故选A．
二、填空题
7．（2025·重庆·模拟预测）如图，中，，，平分，，过作于点，则长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
延长交于点，过点作交于点，得到为等腰三角形，由可证明，得到，求出，根据得到，即可得到答案．
【详解】如图，延长交于点，过点作交于点，
平分，
为等腰三角形，
点为中点，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
8．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，作直线分别交于点，若，则的度数是 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查垂直平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的定义是解题的关键．由题意得到是的垂直平分线，根据求出，即可得到，求出，即可得到，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：是的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
9．（2025·重庆·模拟预测）如图，中，，，若点P的坐标为，点N的坐标为，则点M的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过点作于点，过点作于点，证明，得到，，即可推出结果．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵点P的坐标为，点N的坐标为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（2025·河北唐山·一模）点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，，部分数据如图所示，将沿虚线剪成三块，其中两块为梯形，一块为三角形，阴影部分的面积记为．将沿虚线剪成三块，三块均为三角形，阴影部分的面积记为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积，理解相似三角形的面积比既是对应边比的平方是解题的关键．
根据题意先求出，即可得出，根据三角形的面积可得出，再由得出，即可求出．
【详解】解：如图，如图标注，
由题意知，四边形，为梯形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
三、解答题
11．（2025·陕西西安·二模）如图，是上一点，，，平分，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，进而由可得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
12．（2025·江苏宿迁·一模）已知：如图，于点，于点，且是的中点．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，由，则可知，易证，所以，所以，且为的中点，所以，代入结论可证，解题的关键是证明．
【详解】证明：，，
，，
，
，
，
，
且为的中点，
，
．
13．（2025·陕西咸阳·一模）如图；在中，延长到点，过点作，连接，，求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质．由，根据平行线的性质得出，又，利用即可证明，从而得到．
【详解】证明：∵，
在与中，
，
，
．
14．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，点是的中点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题查看了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先得到，由平行得到，然后证明即可；
（2）首先由全等得到，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：
点是的中点
∵
在和中，
；
（2）

．
15．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
(1)求证：；
(2)若，，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出；
（2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可得，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．全等三角形的判定：
①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。
②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。
③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。
④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。
全等三角形的性质：
对应边相等、对应角相等、对应线段（高、中线、角平分线等）相等
相似图形的概念：
把形状相同的图形称为相似图形。
相似三角形的概念：
如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定：
①平行线法判定：
平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。
②对应边判定：
三组对应边的比相等的两个三角形相似。
③两边及其夹角判定法：
两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。
④两角判定：
有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似。
相似三角形的性质：
①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。对应边的比叫做相似比。
②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。