福建省三明市宁化县2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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（试卷总分：150分 完卷时限：120分钟）
温馨提示：
1．请在本试卷的答题卡相应答题区域作答；
2．选择题用2B铅笔填涂，其余作答用0.5mm黑色水笔（尺规作图用2B铅笔作好后，要求用黑色水笔加黑）；
3．没有特别要求，所有结果中的数值请用准确数．
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 已知一粒米的质量是，这个数字用科学记数法记为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各图中，与互为对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A. 明天宁化有雨B. （为有理数）
C. 的相反数是2D. 射击运动员，射击一次命中靶心
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知，则下列结论不成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，，则图中与互余的角有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A. B. C. D.
9. 对于代数式，以下结论正确的是（ ）
A. 化简的结果是B. 该代数式的值可以是任意的数
C. 该代数式有最小值为2D. 使该代数式的值为3的的值是4
10. 如图：矩形花园ABCD中，，，花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK.若，则花园中可绿化部分的面积为( )
A. B.
C D.
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 计算：______．
12. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，那么与的数量关系是______．
13. 有一把钥匙藏在如图所示的16块正方形瓷砖的某一块下面，则钥匙藏在黑色瓷砖下面的概率是_____

14. 任意一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于 _______．
15. 5k﹣3＝1，则k﹣2＝_____．
16. 我国古代数学的许多发现都曾．位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．
分析以上指数与各项系数的规律，展开以下代数式：_____．
三、解答题（本大题共9个题，共86分．要求写出获得答案的必要的运算或推理过程）
17. 化简：
（1）
（2）
18. 如图，已知：，求度数，请将解题过程填写完整（其中在结论后的括号内填写获得本结论所依据的定理）．

解：（已知）
____________________（ ）
__________（ ）
又（已知）
（等量代换）．
19. 已知，求的值．
20. 已知：如图，，射线分别平分，问：射线与是否平行？请说明理由．
21. 在一个不透明盒子里装有红、黑两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余完全相同，为了估计红球和黑球的个数，七（4）班的数学学习小组做了摸球实验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
（1）求数据表中 ，
（2）请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近 (精确到0．1)
（3）试估算盒子里红球的数量为 个．
22. 如图，在中，点分别在边上．

（1）尺规作图：作，点在边上．(保留作图痕迹，不写作法与证明)
（2）在（1）的基础上，又已知，请说明．
23. 如图，一个均匀的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．小亮和小芳两人玩转盘游戏，对游戏规则，小亮提议：若转出的数字是“奇数”，小亮获胜，若转出的数字是“偶数”，小芳获胜；小芳则提议；若转出的数字是3的倍数，小芳获胜，若转出的数字是4的倍数，小亮获胜．
（1）你认为小亮，小芳两人的提议合理吗？为什么？
（2）利用这个转盘，请你为他俩设计一种对两人都公平的游戏规则．
24. 已知：如图，点是直线上一点，点是直线外一点，射线分别平分、，分别连结、，有，．
（1）图中的的大小会因为点的位置改变而改变吗？说明理由；
（2）请说明点、、是同一条直线上的3点．
25. 【阅读材料】我们从生活实际发现，当一个直角三角形的两直角边长确定时，斜边长也就确定了．古代数学就已经发现：在直角三角形中，若两直角边长为，斜边长为，则．这就是著名的“勾股定理”（西方把它称为“毕达哥拉斯定理”）．
【推理验证】如图（2）．它是由1个小正方形和4个完全一样的如图（1）直角三角形（其两直角边长为，斜边长为），不重叠无缝隙拼接成的正方形．我们可以用两种不同途径来求图（2）的大正方形面积来验证“勾股定理”，请写出验证过程；
【应用解题】若直角三角形中，斜边长为3，两直角边长满足，求此时直角三角形的面积；
【拓展提升】请你用图（1）的直角三角形参与构图，使你构造的图形也能验证“勾股定理”，画出你的示意图并写出验证过程．
2024—2025学年下学期期中质量检测试卷
七年级数学
（试卷总分：150分 完卷时限：120分钟）
温馨提示：
1．请在本试卷的答题卡相应答题区域作答；
2．选择题用2B铅笔填涂，其余作答用0.5mm黑色水笔（尺规作图用2B铅笔作好后，要求用黑色水笔加黑）；
3．没有特别要求，所有结果中的数值请用准确数．
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 已知一粒米的质量是，这个数字用科学记数法记为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
2. 下列各图中，与互为对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的定义进行判断．
【详解】解：A、C、D中∠1与∠2不是对顶角，B中∠1与∠2互为对顶角．
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角．解题的关键是掌握对顶角概念：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
3. 下列事件中，属于不可能事件是（ ）
A. 明天宁化有雨B. （为有理数）
C. 的相反数是2D. 射击运动员，射击一次命中靶心
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性即可解答．
【详解】解：A、明天宁化有雨，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、（为有理数）是不可能事件，故本选项符合题意；
C、的相反数是2，是必然事件，故本选项不符合题意；
D、射击运动员，射击一次命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：A.不是同类项，不能合并.故错误.
B. 故错误.
C. 故错误.
D.正确.
故选D.
5. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，
∴从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是：．
故选D．
【点睛】此题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6. 如图，已知，则下列结论不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，；
无法得到；故结论不成立的只有选项A；
故选A．
7. 如图，，则图中与互余的角有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由垂线的定义得出，，得出、与互余；由平行线的性质和余角关系得出，得出与互余．
【详解】解：，
，
，，
即、与互余；
，
，
，
，
即与互余；
图中与互余的角有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、垂线的定义、互为余角关系；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
8. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，故A选项不符合题意；
∵，
∴，故C选项不符合题意；
∵，
∴，故D选项不符合题意；
∵，
∴不一定平行，故B选项符合题意，
故选：B．
9. 对于代数式，以下结论正确的是（ ）
A. 化简的结果是B. 该代数式的值可以是任意的数
C. 该代数式有最小值为2D. 使该代数式的值为3的的值是4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，代数式的值等知识；根据完全平方公式可判断选项A；根据代数式的最小值为2可判断选项B与选项C；根据代数式的值为3可得的值是4或2，从而可判断选项D．
【详解】解：，故选项A错误；
由于，则，即代数式有最小值2，从而选项C正确，选项B错误；
由得，则得的值是4或2，故选项D错误；
故选：C．
10. 如图：矩形花园ABCD中，，，花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK.若，则花园中可绿化部分的面积为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：由题意得可绿化部分的面积为，故选C .
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 计算：______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂，掌握这两个幂的意义是关键；根据两个幂的意义计算即可．
【详解】解：；
故答案为：1．
12. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，那么与的数量关系是______．
【答案】互余
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线性质进行角的转化，再结合直角的度数确定两角关系．
利用平行线性质得出与相等，根据平角定义和已知直角求出与的和，进而得出与的和．
【详解】如图，由题意可得，，．
，
，
故答案为：互余．
13. 有一把钥匙藏在如图所示的16块正方形瓷砖的某一块下面，则钥匙藏在黑色瓷砖下面的概率是_____

【答案】
【解析】
【分析】数出黑色瓷砖的数目和瓷砖总数，求出二者比值即可．
【详解】解：根据题意分析可得：钥匙藏在黑色瓷砖下面的概率是黑色瓷砖面积与总面积的比值，进而转化为黑色瓷砖个数与总数的比值即
故答案为：.
【点睛】本题考查几何概率的求法：根据题意将面积比表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
14. 任意一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于 _______．
【答案】90
【解析】
【分析】本题主要考查了补角和余角．设这个锐角为x，可得一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于，即可求解．
【详解】解：设这个锐角为x，依题意得：
．
故答案为：90．
15. 5k﹣3＝1，则k﹣2＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知k﹣3＝0，通过解方程求得k的值，代入进行计算即可得解.
【详解】根据题意知，
k﹣3＝0，
解得，k＝3，
则k﹣2＝3﹣2＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂．熟记任何非0数的0次幂等于1，(a≠0，p为正整数)是解题的关键.
16. 我国古代数学的许多发现都曾．位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．
分析以上指数与各项系数的规律，展开以下代数式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查数字类的规律题，熟练掌握规律是解题的关键．根据题意找出规律进行解得即可．
【详解】解：由题意可知：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个题，共86分．要求写出获得答案的必要的运算或推理过程）
17. 化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法公式和整式的除法运算，解题的关键是熟练运用平方差公式以及掌握多项式除以单项式的运算法则．
（1）利用平方差公式展开式子后合并同类项；
（2）根据多项式除以单项式法则进行计算．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
18. 如图，已知：，求的度数，请将解题过程填写完整（其中在结论后的括号内填写获得本结论所依据的定理）．

解：（已知）
____________________（ ）
__________（ ）
又（已知）
（等量代换）．
【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等．
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理可得，进一步根据平行线的性质得．
【详解】解：（已知）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
（已知）
（等量代换）
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，根据题意熟练的在“两直线平行的位置关系”与“角之间的数量关系”间转化是解题的关键．
19. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算以及整体代入求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．将展开整理得原式，由得，再整体代入原式即可．
【详解】解：，
由得，
所以原式．
20. 已知：如图，，射线分别平分，问：射线与是否平行？请说明理由．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，掌握这些知识是关键；由得；再由角平分线的定义得，从而由平行线的判定即可得．
【详解】解：．
理由：，
；
射线平分，
；
同理可得，
，
．
21. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余完全相同，为了估计红球和黑球的个数，七（4）班的数学学习小组做了摸球实验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
（1）求数据表中 ，
（2）请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近 (精确到0．1)
（3）试估算盒子里红球的数量为 个．
【答案】（1）；（2）0.3；（3）12
【解析】
【分析】（1）根据频数、频率与总数之间的关系即可得出a和b；
（2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3可得；
（3）根据红球个数=球的总数×得到的红球的概率即可得出答案．
【详解】解：（1）a=100×0.33=33，b=298÷1000=0.298；
故答案为：33，0.298；
（2）当次数n足够大时，摸到红球频率将会接近0.3，
故答案为：0.3；
（3）40×0.3=12（个），
答：盒子里红球的数量为12个；
故答案为：12．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
22. 如图，在中，点分别在边上．

（1）尺规作图：作，点在边上．(保留作图痕迹，不写作法与证明)
（2）在（1）的基础上，又已知，请说明．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）作，则根据平行线的判定方法可判断；
（2）先利用平行线的性质得到，则利用等量代换得到，然后根据平行线的判定方法可判断．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
证明：
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，熟练掌握基本作图以及平行线的判定定理是解题的关键．
23. 如图，一个均匀的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．小亮和小芳两人玩转盘游戏，对游戏规则，小亮提议：若转出的数字是“奇数”，小亮获胜，若转出的数字是“偶数”，小芳获胜；小芳则提议；若转出的数字是3的倍数，小芳获胜，若转出的数字是4的倍数，小亮获胜．
（1）你认为小亮，小芳两人的提议合理吗？为什么？
（2）利用这个转盘，请你为他俩设计一种对两人都公平的游戏规则．
【答案】（1）不公平，理由见详解
（2）游戏规则见详解
【解析】
【分析】本题考查的是概率，熟练掌握如何计算概率是解题的关键．
（1）分别求出小芳和小亮的胜率，再进行比较即可．
（2）设计出两者胜算相等的方案即可．
【小问1详解】
解：不公平，
∵转出的数字是的倍数，有三种情况，即为、、，总共会出现九种情况，
∴小芳获胜的概率为，
又∵转出的数字是的倍数，有两种情况，即为、，总共会出现九种情况
∴小亮获胜的概率为，
∴这样的游戏规则不公平；
【小问2详解】
解：我设计的方法是：转出数字大于小亮胜，转出数字小于小芳胜（方法不唯一，合理即可），
∵转出数字大于的情况有四种，转出数字小于的情况也有四种，
∴双方获胜的概率都是，
故这样的游戏方法就公平了．
24. 已知：如图，点是直线上一点，点是直线外一点，射线分别平分、，分别连结、，有，．
（1）图中的的大小会因为点的位置改变而改变吗？说明理由；
（2）请说明点、、是同一条直线上的3点．
【答案】（1）的大小不会因为点的位置改变而改变，见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，平行公理等知识；
（1）由角平分线的定义得，再结合，即可求得为定值；
（2）法1：由，，可分别得，，则由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行即可得点、、是同一条直线上的3点；
法2：由，可分别得，从而有，再由得，则得点、、是同一条直线上的3点．
【小问1详解】
解：的大小不会因为点的位置改变而改变．
理由：点是直线上一点，
，
射线分别平分，
，
，
（定值）；
【小问2详解】
解：法1：，
．
，
．
，，
点是同一条直线上的3点．
法2：，
．
，
，
，
点是同一条直线上3点．
25. 【阅读材料】我们从生活实际发现，当一个直角三角形的两直角边长确定时，斜边长也就确定了．古代数学就已经发现：在直角三角形中，若两直角边长为，斜边长为，则．这就是著名的“勾股定理”（西方把它称为“毕达哥拉斯定理”）．
【推理验证】如图（2）．它是由1个小正方形和4个完全一样如图（1）直角三角形（其两直角边长为，斜边长为），不重叠无缝隙拼接成的正方形．我们可以用两种不同途径来求图（2）的大正方形面积来验证“勾股定理”，请写出验证过程；
【应用解题】若直角三角形中，斜边长为3，两直角边长满足，求此时直角三角形的面积；
【拓展提升】请你用图（1）的直角三角形参与构图，使你构造的图形也能验证“勾股定理”，画出你的示意图并写出验证过程．
【答案】【推理验证】见解析；【应用解题】；【拓展提升】见解析，（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明和完全平方公式，解本题要理解题意，利用大正方形面积＝小正方形面积 + 四个直角三角形面积是解本题的关键．
推理验证：根据大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积，可求解；
应用解题：的结论以及完全平方公式的变形计算即可求解；
拓展提升：设计一个方案并证明（答案不唯一）．
【详解】解：推理验证：图中 4 个全等的直角三角形每个的面积为，
由图形关系，知：大正方形面积＝小正方形面积 + 四个直角三角形面积，
即有，
；
应用解题：由题意得：，
∴直角三角形的面积为；
拓展提升：设计方案如图：
用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，利用此图形验证勾股定理．
证明：∵直角梯形 的面积可以用两种方法表示：
第一种方法表示为：此图可以看成有三个直角三角形的面积和，面积分别为和，因此图形面积为，
第二种方法表示为：可以看成一个直角梯形，其面积为，
摸球的次数
50
100
300
500
800
1000
2000
摸到红球的次数
14
95
155
241
298
602
摸到红球的概率
0.28
033
0317
0.31
0.301
0.301
摸球的次数
50
100
300
500
800
1000
2000
摸到红球的次数
14
95
155
241
298
602
摸到红球的概率
0.28
0.33
0.317
0.31
0.301
0.301