江西省多校联考2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份江西省多校联考2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为“”否定是“”.
故选：C.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，，，∴.
故选：A.
3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 25B. 5C. D.
【答案】D
【解析】设，则，解得，则，.
故选：D.
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵幂函数在上单调递增，∴.
∵对数函数在上单调递增，∴，
∴.
故选：B.
5. 若样本，，…，的平均数和方差分别为3和5，则样本，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A. 5和20B. 5和19C. 6和20D. 6和19
【答案】A
【解析】因为样本，，…，平均数和方差分别为3和5，
所以样本，，…，的平均数和方差分别为和.
故选：A.
6. 在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（ ）
A. 3个小球中至多有1个白球
B. 3个小球中至多有1个红球
C. 3个小球都是红球
D. 3个小球都是白球
【答案】A
【解析】由题意知，3个小球中至少有2个白球包含情况为：2白1红、3白，
所以其对立事件包含的情况为：3红、2红1白，
即至多有1个白球.
故选：A.
7. 函数的零点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】由，得，
在同一坐标系中，作出和的图象，
观察图象知，两个函数图象有两个交点，所以零点个数为.
故选：C.
8. 大部分大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，若鲑鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（ ）
A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 9倍
【答案】D
【解析】设鲑鱼的游速为时的耗氧量的单位数为，游速为时的耗氧量的单位数为.
由，得，整理得.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列函数是偶函数的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】∵函数定义域为，，∴是偶函数.
A.函数定义域为，，是偶函数，A正确.
B.函数定义域为，，奇函数，B错误.
C.函数定义域为，
，是偶函数，C正确.
D.函数定义域为，，
不是偶函数，D错误.
故选：AC.
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】BD
【解析】当，时，，A显然错误；
因为，所以，B正确；
因为函数在单调递增，
所以函数在上单调递增，
当时，，即，C错误；
若，则，
当且仅当时取等号，显然等号无法取得，D正确．
故选：BD.
11. 在气象学上，进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于.某人记录了甲，乙，丙，丁四地连续5天的日平均气温（日平均气温都是整数），根据以下数字特征，一定符合进入冬季标准的是（ ）
A. 甲：中位数为7，众数为8
B. 乙：平均数为6，极差为4
C. 丙：中位数为7，极差为3
D. 丁：平均数为7，方差为2
【答案】ABD
【解析】对于A，甲：中位数为7，众数为8，则8出现次数最多，
又只有5个数据，7为中位数，
所以8出现次数为2次，另外两个数据只能是小于7的两个不同的数，
故甲地符合进入冬季标准，故A正确；
对于B，乙：平均数为6，极差为4，因为极差是最大值与最小值的差，
假设存在某日的气温大于等于，又平均数为6，故定存在某日的气温低于，
此时极差不为4，故假设不成立，即每日气温都低于，
所以乙一定符合进入冬季标准，故B正确；
对于C，丙：中位数为7，极差为3，气温为7，7，7，8，10符合题意，
故丙不符合进入冬季标准，故C错误；
对于D，丁：平均数为7，方差为2，故不可能每天都为，日平均气温都是整数，
所以最多三天，若存在某日的气温高于，方差大于不符合题意，
若存在某日的气温等于，若三天，则五天的气温，
计算方差，可知不符合方差为2的条件，
若二天，则五天的气温的方差一定大于2，
若一天，则五天的气温的方差一定大于2，
综上可知，所以丁一定符合进入冬季标准，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲、乙两个零件正常工作的概率分别为0.4，0.6，且它们是否正常工作相互独立，则这两个零件至少有一个正常工作的概率为______.
【答案】0.76
【解析】记事件A为“甲零件正常工作”，事件B为“乙零件正常工作”，
事件C为“这两个零件至少有一个正常工作”，
则.
13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】由函数的定义域为，得，则，
在中，，解得且，
所以函数的定义域为.
14. 已知是定义在上的偶函数，对任意的当时，都有且，则不等式的解集为______.
【答案】或
【解析】因为对任意的当时，都有，
所以在上单调递增，
因为是定义在R上的偶函数，
根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，
因为，所以，
由可得或，
即或，解得或
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）若，求的值；
（2）计算：.
解：（1）因为，所以，则，
从而.
（2）原式
.
16. 已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组.
（1）求救援小组中医生和护士的人数；
（2）若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率.
解：（1）由题可知救援小组中医生的人数为，护士的人数为.
（2）由（1）可知救援小组中有2名医生，记为A，B；有3名护士，记为a，b，c.
从中随机选取2人担任组长，所有的结果为，，，，，，，，，，共有10种可能的结果.
记事件M为“医生和护士各有1人被选中担任组长”，依题意可知事件M包含的样本点有，，，，，，共有6种可能的结果.
故.
17. 已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
解：（1）∵是定义在上的奇函数，∴，解得，
∵当时，，∴当时，，，
∵是奇函数，∴，
∴.
（2）（方法一）当时，由得，，即，
解得.
当时，由，得，即，解得.
综上所述，原不等式的解集为.
（方法二）由，得，即.
∵当时，在上单调递增，是奇函数，
∴在上单调递增.
∵，，∴原不等式的解集为.
18. 为了解市民对某档节目的认可度，工作人员随机对60位市民进行调查，将他们的评分（满分100分）数据进行整理并得到下表.
（1）根据表中数据画出频率分布直方图；
（2）估计这60位市民评分的70%分位数（保留两位小数）；
（3）若让评分在内的三人重新评分，已知每人评100分的概率均为p，若至少有一人评100分的概率不高于0.1，求p的最大值，（参考数据：取）
解：（1）评分在内的，
评分在内的，
评分在内的，
评分在内的，
评分在内的.
其频率分布直方图如图所示.
（2）因为评分低于60分的频率为，
评分低于80分的频率为，所以评分的70%分位数在内.
设70%分位数为x，则，解得，
即估计这60位市民评分的70%分位数为65.71.
（3）设事件A为“第一人评100分”，事件B为“第二人评100分”，事件C为“第三人评100分”，
则A，B，C之间相互独立，且.
设事件D为“至少有一人评100分”，则，
则，
整理得.
故p的最大值为0.035.
19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数．
（1）已知函数．
①求的解析式；
②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论．
（2）讨论函数在定义域上的凹凸性.
解：（1）①根据题意，，
所以.
②是凹函数；
，且，
则
，
因为，所以，
所以，即，
故是凹函数.
（2），
则
，
因为，
所以，
所以当时，，
即，函数在定义域上为凸函数，
当时，，
即，函数在定义域上为凹函数.