江西省智慧上进期末联考2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份江西省智慧上进期末联考2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因，，所以．
故选：D．
2. 命题“”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题．
命题“”的否定是.
故选：C.
3. 为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（ ）
A. 按性别分层随机抽样B. 按学段分层随机抽样
C. 抽签法D. 随机数表法
【答案】B
【解析】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样．
故选：B．
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】易知是偶函数，排除，
又，且，排除C.
故选：D.
5. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为、、、，
则样本空间，
记事件表示“其中一个节气是立春”，则，
由古典概型可知．
故选：C．
6. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为幂函数和函数在上单调递增，
所以在上单调递增.
因为幂函数在上单调递增，所以，
因为指数函数在上单调递减，
所以，.
由零点存在定理知零点所在区间为.
故选：B.
7. 已知幂函数的图象过点，函数，则“”的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设幂函数，因为其图象过点，所以，
解得，
所以，所以，
又满足，所以在上单调递减，
所以，所以的取值范围是，
因为为的真子集，故为一个充分不必要条件，其他选项不合要求.
故选：C.
8. 已知四个不同的实数，，，，其中，，的方差为，，，的方差为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
，
同理，
由题意得，
即，整理可得，
因为，所以．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取获得6名同学的分数（满分30分）：20，22，24，24，26，28，则这组数据的（ ）
A. 极差为8B. 平均数为24
C. 80%分位数为25D. 众数为24
【答案】ABD
【解析】极差为，故A正确；
平均数，故B正确；
，则80%分位数是第5个数据26，故C错误；
众数为24，故D正确．
故选：ABD．
10. 抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则（ ）
A. 与是互斥事件B. 与是相互独立事件
C. D. 与是对立事件
【答案】BC
【解析】事件与事件能同时发生，故事件A，B不是互斥事件，故A错误；
因为，，，
所以，故与互不影响，故B正确；
事件，事件，
不可能同时发生，故事件与互斥，
故，故C正确；
表示“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，
，
，事件与事件不是对立事件，故D错误．
故选：BC．
11. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ）
A. 当时，
B. 的单调递增区间为、
C. 若，，则的取值范围是
D. 方程的所有实数根之积为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，当时，，则，
又由为偶函数可得，故A正确；
对于B选项，由题意，函数的图象如图所示，的递增区间有3个，故B错误；
对于C选项，因为，，
所以只需对于任意，，由图知，即，故C正确；
令，则，解得，即，
若，即，解得或；
若，即，解得，
所以方程所有实数根之积为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某校60名同学数学竞赛的成绩（满分：100分）均在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，若从这60名参赛者中随机选取1人，试估计其成绩在的概率为_____．
【答案】0.05
【解析】由图可知，，
解得，
成绩在的频率为，以频率为概率估计概率为0.05．
13. 已知正数满足，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
当且仅当即时，取得最小值.
14. 函数的图象的对称中心坐标为__________.
【答案】
【解析】解法一：设图象的对称中心坐标为，则，
所以，
整理可得，
此式对定义域内的任意值都成立，则必有，所以，
回代可得，解得，故对称中心坐标为.
解法二：易知函数的定义域为，且，
故图象的对称中心横坐标为，
将其代入中，可得，
所以图象的对称中心坐标为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）当时，，
又集合，
所以，
所以解或.
（2）因为，所以.
又，故解得.
所以实数的取值范围是.
16. 某班级举办趣味运动会，其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目，每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果，每项过关积1分，不过关积0分．甲和乙两位同学参加个人比赛，在限时滚铁环和定点投篮两个项目中，假设甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响．
（1）求甲积2分的概率；
（2）求甲、乙两人的积分之和不超过3分的概率．
解：（1）记事件“甲限时滚铁环过关”，
事件“甲定点投篮过关”，事件“甲积2分”，
易知与相互独立，则，
由独立事件概率公式得．
（2）设事件“乙限时滚铁环过关”，
事件“乙定点投篮过关”，事件“乙积2分”，
易知与相互独立，则，
由独立事件概率公式得．
又与相互独立，
所以两人的积分之和为4分的概率，
所以两人的积分之和不超过3分的概率为．
17. 某大学校园选择了一个八边形区域设计一个校园景观，如图所示，图中四个三角形为全等的等腰直角三角形，主干路总面积（图中阴影部分和中间白色正方形面积之和）为，在重合的部分处建一正方形特色凉亭，凉亭造价为600元；在四个空角（图中四个三角形）建造水池和喷泉，造价为1600元；四个矩形路（图中阴影部分）不处理，造价忽略不计.设长为（单位：），长为（单位：）.
（1）求关于的函数关系式；
（2）设校园景观总造价为（单位：元），求的最小值.
解：（1）由题意可知，即，
又，得，解得，
所以关于的函数关系式为.
（2）由题意可得，凉亭总造价为元，
水池和喷泉总造价为元，
所以校园景观总造价
.
当且仅当，即时等号成立，经检验，
所以当时，取最小值40000元.
18. 已知定义域为的函数满足，，且当时，．
（1）求的值；
（2）用单调性定义证明：在定义域上是增函数；
（3）若，求不等式的解集．
解：（1）因为，，
所以令，可得，得．
（2）证明：，且，则，
显然，，所以，
又，所以，
因当时，，所以，
即，所以在定义域上是增函数．
（3）因为函数的定义域为，所以解得．
由，得等价于，
而，所以，
所以，解得，或（舍去），故，
故不等式的解集为．
19. 定义一种新运算“”，.
（1）计算，并判断与的大小关系；
（2）若函数有最小值，且最小值大于0，求所有满足题意的整数的值；
（3）已知关于的不等式的解集为中的整数恰有4个，求实数的取值范围.
解：（1）因为.
所以.
，
，
所以.
（2）
，
令，则问题转化为二次函数在区间上有最小值，且最小值大于0，
因为二次函数过定点，故只需
解得，而是整数，所以.
（3）由题意，不等式，
即，即，
即，
要想满足题意，则必有，则，或.①
令，则，
所以的一个零点在内，
因为解集中的整数恰有4个，所以4个整数解是，
故的另一个零点在区间内.
所以即②
由①②解得，或.
所以实数的取值范围是或.