2024-2025学年江西省多校联考高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省多校联考高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数−2i(1+3i)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知某扇形的圆心角为π5，半径为5，则该扇形的弧长为( )
A. 2π5B. 3π5C. πD. 2π
3.已知tanα=12，tan(α−β)=29，则tanβ=( )
A. 16B. 14C. 13D. 12
4.已知函数f(x)的图象是由函数y=2sin(2x−π4)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到的，若f(x)是奇函数，则φ的值可以是( )
A. π3B. π4C. π6D. π8
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2 2，c= 6，C=π3，则b=( )
A. 2B. 3C. 2D. 2 2
6.在△ABC中，点M满足AM=3MB，点N满足2AN=NC，E，F分别是MN，BC的中点，设AB=a，AC=b，则EF=( )
A. 18a+13bB. 310a+23bC. 14a+13bD. 38a+23b
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a=2b，C=π3，则tanB=( )
A. 3B. 2 3C. 3 3D. 4 3
8.已知平面向量m，n满足m=(−2,2)，|n|= 2|m|，n在m方向上的投影向量为(2,−2)，则m，n的夹角θ为( )
A. π4B. 3π4C. 5π6D. π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线l与平面α相交于点P，点A在直线l上，Q，R是平面α内的任意两点，P，A，Q，R不重合，且P，Q，R三点不共线，下列说法正确的是( )
A. 直线RQ与l是异面直线
B. 平面α内一定存在直线平行于平面APQ
C. 平面α内一定存在直线垂直于平面APQ
D. 若平面α垂直于平面APQ和平面APR，则l⊥α
10.平行四边形OABC中，OA=8，OC=6，∠ABC=60°，点P在对角线AC上，其中△ABC的重心为G，外心为Q，垂心为H，则下列结论正确的是( )
A. 若AP=λAC且OP⊥AG，则λ=14
B. OA⋅BQ=−32
C. QA⋅QB=QA⋅QC=QB⋅QC
D. BH与BA|BA|cs∠BAC+BC|BC|cs∠BCA共线
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，A1P=λA1B1+μA1D1，E为棱B1C1的中点，以下结论正确的是( )
A. 当λ+μ=1时，△APC面积的最小值为2 2
B. 当λ2+μ2=1时，直线AP与平面ABCD所成的角为π3
C. 二面角B−D1E−A1的平面角的正弦值为 306
D. 三棱锥B−D1B1E外接球的表面积为14π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z=2+i(i为虚数单位)，则−1z−2的虚部为______．
13.已知tanα=3，则cs2α=______．
14.在直角三角形ABC中，AB=AC=2，D为斜边BC上的动点，△BAD沿AD向上翻折得到三棱锥B′−ADC，使得平面ACD⊥平面ADB′，则该三棱锥体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=1，c=3 2，A为钝角，△ABC的面积为32．
(1)求角A；
(2)求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
已知向量a=(4,−2)，|b|= 5，a⋅b=8，c=xa+(1−x)b．
(1)若a⊥c，求实数x的值；
(2)若a−2b与c共线，求a+b与c的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为4的正方形，点O在线段AD上，PO⊥平面ABCD，PA=PD= 13，E是PB的中点．
(1)证明：AE//平面POC；
(2)求三棱锥E−POC的体积．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|π2，可得A=3π4；
(2)因为b=1，c=3 2，A=3π4，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=1+18−2×1×3 2×(− 22)=25，解得a=5，
所以△ABC的周长a+b+c=6+3 2．
16.(1)由a=(4,−2)可得|a|= 42+(−2)2=2 5，
因为c=xa+(1−x)b，且a⊥c，a⋅b=−8，
所以c⋅a=[xa+(1−x)b]⋅a=xa2+(1−x)a⋅b=20x−8(1−x)=0，
解得x=27．
(2)因为a−2b与c共线，
所以可设a−2b=λc，
即a−2b=λxa+λ(1−x)b，
则有λx=1λ(1−x)=−2，
解得λ=x=−1，
故c=−a+2b．
由|c|2=c2=(−a+2b)2=a2−4a⋅b+4b2=20−4×(−8)+4×5=72，
可得|c|=6 2，
又|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 20+2×(−8)+5=3，
而(a+b)⋅c=(a+b)⋅(−a+2b)=−a2+a⋅b+2b2=−20−8+10=−18，
故cs=(a+b)⋅c|a+b||c|=−183×6 2=− 22．
17.(1)证明：因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥AD．
又PA=PD，所以O是AD的中点，
所以AO//BC，AO=12BC．
取PC的中点M，连接OM，EM，
可知EM//BC，EM=12BC，
所以EM//AO，EM=AO，
所以四边形AEMO是平行四边形，从而AE//OM．
因为AE⊄平面POC，OM⊂平面POC，
所以AE//平面POC；
(2)因为AE//平面POC，
所以点E到平面POC的距离等于点A到平面POC的距离，
所以VE−POC=VA−POC，
又VA−POC=VP−AOC，PO= PA2−AO2=3，
所以三棱锥E−POC的体积为VP−AOC=13×(12×2×4)×3=4．
18.(1)如图，△BCD是边长为4的等边三角形，它的高为4× 32=2 3，
即A−(−A)=2A=2 3，得A= 3．
因为BC=4，
所以f(x)的最小正周期T=4，
即2πω=4，解得ω=π2，
又直线x=43是f(x)图象的一条对称轴，
所以π2×43+φ=π2+kπ，k∈Z，
解得φ=−π6+kπ，k∈Z，
因为|φ|