陕西省多校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题（解析版）

这是一份陕西省多校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以.
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.
故选：D.
3. 下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确.
故选：B.
4. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】由，可以推出，而等价于或，不能推出，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
5. 下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】为非奇非偶函数，A错误；
为偶函数，B错误；
与均为R上的增函数，故为R上的增函数，C错误；
设，则，所以是奇函数，
又因为与且均为上的减函数，故在区间上单调递减，D正确.
故选：D.
6. 设，，若，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D. 8
【答案】A
【解析】，，
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4.
故选：A.
7. 若关于的不等式的解集为，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由不等式的解集为，
则，即，
所以不等式，即为，又，
所以，解得或.
所以不等式的解集为.
故选：B.
8. 连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（ ）
A. 事件与事件是互斥事件B. 事件与事件是相互对立事件
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正.
则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正.
对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误；
对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误；
对于C，，
，
所以，故C错误；
对于D，，，所以，故D正确.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为实数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，取，，满足，但，故A错误；
对于B，由，则，即，故B正确；
对于C，由，则，即，故C正确；
对于D，若，则，所以，即，故D正确.
故选：BCD.
10. 若有10个样本数据，由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据中一定不相等的量有（ ）
A. 极差B. 众数C. 中位数D. 标准差
【答案】BC
【解析】对于A，假设原来数据中，最小，而最大，其极差为，
新数据中，最小的为，最大的为，其极差为，两者相等，A错误；
对于B，设原来数据的众数为m，则新数据的众数为，两者一定不相等，B正确；
对于C，设原来数据的中位数为n，则新数据的中位数为，两者一定不相等，C正确；
对于D，设原来数据的方差为，则新数据的方差为，则两组数据的方差相等，故其标准差也相等，D错误.
故选：BC.
11. 对任意两个实数，定义，若，，函数，则下列说法正确有（ ）
A. 函数是偶函数
B. 函数可能有5个零点
C. 若函数只有3个零点，且，则
D. 若，则函数有3个零点
【答案】ACD
【解析】由，，作出它们的图象，
则，作图如下，
对于A，由图象可知，为偶函数，故A正确；
对于B，令，即，由图象可知，
当时，的无零点，
当和时，有2个零点，
当时，有4个零点，
当时，有3个零点，故B错误；
对于C，由B选项可知，，此时，，，且，
解得，，则，故C正确；
对于D，当时，，令，
可得或，
当时，函数无零点，
当时，函数有3个零点，
综上，函数有3个零点，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…，499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽取的第5袋牛奶的标号是______．
（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）
84421 75531 57245 50688 77047 44767 21763
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
98301 07185 12867 35807 44395 23879 33211
【答案】286
【解析】依题意，抽取的前5袋牛奶的标号依次为：206，301，169，071，286，
所以抽取的第5袋牛奶的标号是286.
13. 若函数在区间上单调递增，则实数的最大值是______．
【答案】
【解析】因为为上的增函数，
所以由复合函数的单调性可知在区间上单调递增且，
所以，解得.
14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则1次活动中，甲获胜的概率为______；2次活动中，甲1次都没获胜的概率为______．
【答案】
【解析】由题意可得一次活动中，甲获胜的概率为；
则在2次活动中，甲1次都没获胜的概率为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集为，集合，，其中．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
或，又，
．
（2），，
当，即，即时，符合题意；
当，即时，，无解．
实数的取值范围是．
16. 连续抛掷一枚质地均匀的正方体形骰子2次，试求下列事件的概率：
（1）两次掷出的点数相等；
（2）两次掷出的点数之和为偶数．
解：（1）根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，其结果有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种情况．
设事件“两次掷出的点数相等”，其情况有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），共6种．
．
（2）设事件“两次掷出的点数之和为偶数”，则其情况有
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6），共18种．
．
17. 已知是定义在上的偶函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式．
解：（1）是定义在上的偶函数，，
又当时，，
当时，．
.
（2）是偶函数，
不等式等价于，即，，
又函数是增函数，，解得或，
不等式的解集是．
18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的第80百分位数；
（2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？
（3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差．
解：（1），．
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
显然第80百分位数，
，解得，
第80百分位数为86．
（2）由频率分布直方图知，样本成绩为，，的三组答卷的市民有个样本，
成绩在的市民人数为，
用分层抽样方法应在答卷成绩为的市民中，抽取人．
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
总平均数，
总方差为．
19. 若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”．
（1）若函数的定义域为，证明：是“闭区间同域函数”；
（2）若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求正实数的值；
（3）设，且，若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求实数的值．
解：（1）易知函数在上单调递增，
当时，，
即函数的定义域与值域均为，
是“闭区间同域函数”．
（2）函数的图象开口向上，对称轴为直线，
函数在上单调递增，当时，，
即，所以，解得或（舍）．
当时，是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，符合题意．
正实数的值为1．
（3）由题意得，
所以的图象是开口向上，对称轴为直线的抛物线，且，
当时，在上单调递增，
，
所以是方程的两根，
令，解得或，这与矛盾，不符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，，
①当时，，不符合题意；
②当时，，解得．
经检验，是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，
综上，，．