江西省多校联考2024-2025学年高一下学期第一次学情联合检测数学试卷（解析版）

这是一份江西省多校联考2024-2025学年高一下学期第一次学情联合检测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 与终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由.
故选：A.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为命题“”为存在量词命题，
所以其否定为“”.
故选：B.
3. 把化成度的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C.
4. 若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
【答案】D
【解析】令该扇形圆心角弧度为，半径为，则，解得.
故选：D.
5. 已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的最小正周期为，所以，得.
所以，
由得，得，
解得.
故选：A.
6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象下移1个单位长度，所得函数图象的对称中心为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图可知得，
由图可知，即，由，即，
则，代入最高点，
则，得，又，故，
所以，
将的图象下移1个单位长度，得到函数的图象，
令，得，
所以对称中心为.
故选：A.
7. 已知，若函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，，若在上单调，
则在上单调递减，故，得；
若函数在上单调递减，则，且，
得.
故选：C.
8. 已知定义在上的函数满足：①；②.若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
令，则在区间上单调递减.
，
则，
等价于，
即，
又，
由在上单调递减得，解得或，
即a的取值范围为.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某新能源汽车4S店2024年3月到12月连续10个月的销量依次为（单位：辆）：，，则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A. 极差为24B. 平均数为28
C. 众数为25D. 中位数为25
【答案】ABC
【解析】此4S店连续10个月的销量（单位：辆）从小到大排列为，
则极差为，众数为25，
平均数为，
由题意，所以这组数据的中位数为，故ABC正确，D错误.
故选：ABC.
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】因为，为第二象限角，故，
得.
故选：BD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 是函数的周期
B. 的图象关于直线对称
C. 的最大值与最小值之积为
D. 在区间上单调递减
【答案】ACD
【解析】令，则，
即
，
所以，
，故A正确；
，得，
所以的图象不关于直线对称，故B错误；
当时，取最大值3；
当时，取最小值，故的最大值与最小值之积为，故C正确；
因为是函数的周期，所以只需考虑在区间上是否单调递减，
当时，单调递减；
当时，单调递减，又图象不间断，
故在区间上单调递减，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则__________.
【答案】8
【解析】由题意得.
13. 2025年，从春晚扭秋歌的机器人，到广场舞狮的机器狗，中国人把高科技玩出了新花样儿.为紧跟社会热点，某商场推出了机器人服务，其从甲公司购买了3台不同的机器人，从乙公司购买了2台不同的机器人，现计划从这5台机器人中随机挑选2台在商场一楼服务，则这2台机器人来自于不同公司的概率为__________.
【答案】
【解析】设从甲公司购买的3台记为，从乙公司购买的2台记为，
从中任取2台的情况为，共10种，
其中这2台来自于不同公司的情况分别为，共6种，
故概率.
14. 若函数满足存在实数，使得的所有零点构成的非空集合与的所有零点构成的非空集合相等，则称与为similar函数.若函数，与为similar函数，则__________.
【答案】
【解析】因为，
且单调递减，可知单调递减且值域为，
所以集合中元素的个数为1，
因为与为similar函数，故集合中元素的个数也为1，
即有1个零点，
由，得，由的性质可知，
只有当时，即时只有1个零点，此时，
将，得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知是角的终边上一点，且.
（1）求和的值；
（2）求当为奇数时，的值.
解：（1）因为，所以，
所以，
解得.
（2）当时，
.
16. 已知函数的振幅为5，最小正周期为，初相为，将函数的图像向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像.
（1）求的表达式；
（2）求的对称轴方程与单调递增区间.
解：（1）由题意得，解得，又，所以，
将函数的图像向左平移个单位长度，
得到的图像，
再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像，
故.
（2）令，得，
即的对称轴方程为.
令，得，
即函数的单调递增区间为.
17. 已知幂函数在区间上单调递增，定义域为的函数满足，且当时，函数.
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的解析式及零点.
解：（1）由，得或，
因为幂函数在区间上单调递增，
所以，故，所以.
（2）当时，函数.
由得函数的周期，
由，则，故，
又，所以.
令，得或，故零点为15，17.
18. 蚊子是多种疾病的传播媒介，对人畜都有较大的危害.某热带养殖场为检测蚊虫密度，在养殖区悬挂多盏诱蚊灯，去年每月收集28天，连续检测了12个月，其中5月份蚊虫最多，11月份最少，由于工作人员不小心，某些月份数据丢失，保留的月份及每月对应的蚁虫密度值的数据如下表：
（1）从，且，且中选择一个合适的函数模型，并给出理由；
（2）在（1）的基础上，求出蚊虫密度关于月份的拟合模型的解析式；
（3）今年养殖场新引进的某种动物容易感染疟疾，养殖场计划当蚊虫密度不低于62时，将采取灭蚊措施.若此养殖场今年的蚊虫密度符合（2）中的函数模型，估计养殖场应准备在哪几个月采取灭蚊措施？
解：（1）适合.
当与时，，而，且与，且均为单调函数，
所以适合.
（2）由5月份蚊虫最多，11月份最少，得，所以，得，
由，得，
所以，
将代入得，
即，又，所以，
故.
（3）令，得，
即，得，
又，故，
即养殖场应准备在月采取灭蚊措施.
19. 已知函数.
（1）当时，求的最小值及相应的的值；
（2）已知函数
（i）若，求的取值范围；
（ii）若，使，求的取值范围.
解：（1），
若，当时，取最小值，最小值为3，
由，得，解得，
故时，取最小值3.
（2）（i），令，当时，，
令，对称轴为，
因为，则，故，由及，
得.
（ii）设的值域为的值域为，
若，使，则，
由（i）得，，
①当，即时，
，
若，则，
得，又，故；
②当，即时，
，
若，则，
得，又，得.
综上，的取值范围为.2
5
8
11
42
82
42
2