2022-2023学年河北省张家口市部分学校高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河北省张家口市部分学校高二上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省张家口市部分学校高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知直线l的斜率为，则其倾斜角为（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据斜率的定义及倾斜角的范围可得答案.【详解】设直线的倾斜角为，则，所以斜率.故选：C．2．圆的半径等于（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】圆的一般方程配方成标准方程后可得半径．【详解】把圆化为标准方程得，圆，所以圆的半径为．故选：B．3．已知直线与直线垂直，则（    ）．A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据直线与直线的位置关系列方程求解即可.【详解】解：直线斜率为，直线斜率为，又两直线垂直，故，解得．故选：C．4．已知直线恒过定点Q，Q点在直线l上，则l的方程可以是（    ）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线过定点的求法求得，利用代入验证法确定正确答案.【详解】由题意知可化为，则直线l恒过定点，验证选项得直线l的方程可以为．故选：B5．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则得实数等于（    ）．A．7 B．3 C．3或7 D．5【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可得得实数得值.【详解】解：圆的圆心为，半径为圆的圆心，半径为所以，因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以圆与圆相内切或外切，所以或，所以或或（舍）.故选：C．6．点关于直线的对称点Q的坐标为（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用中点和斜率来求得点坐标.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得．所以点Q的坐标为.故选：A7．如图，在三棱锥中，平面，是正三角形，，，F是棱上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解【详解】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，易知，，，，，，设，则，已知，因为，，所以，可得，即，所以，所以，则，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选：B．8．如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】将问题转化为圆与圆相交，根据圆与圆位置关系判断即可求实数的取值范围.【详解】解：如果圆上总存在两个点到原点的距离为2则圆和圆相交，又圆的圆心为，半径为两圆圆心距，由得，解得，即．故选：D． 二、多选题9．已知圆和圆的交点为A，B，则（    ）．A．两圆的圆心距B．直线的方程为C．圆上存在两点P和Q使得D．圆上的点到直线的最大距离为【答案】BD【分析】对于A，根据两个圆的方程先得到两个圆心坐标，然后利用两点间距离公式即可求解；对于B，两圆作差即可得公共弦的方程；对于C，根据直线经过圆的圆心即可判断；对于D，圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径即可求解.【详解】由圆和圆，可得圆和圆，则圆的圆心坐标为，半径为2，圆的圆心坐标为，半径为，对于A，两圆的圆心距，故A错误；对于B，将两圆方程作差可得，即得直线的方程为，故B正确；对于C，直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，故D正确.故选：BD.10．已知直线，，和圆，下列说法正确的是（    ）．A．直线l恒过定点B．圆C被x轴截得的弦长为C．直线l被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为D．直线l被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为【答案】ABD【分析】求出直线l过的定点判断A；求出圆C截x轴的弦长判断B；求出l被圆C截得最长弦、最短弦判断C，D作答.【详解】对于A，由，得，由解得，因此无论m为何值，直线l恒过定点，A正确；对于B，在中，令，得，因此圆C截x轴所得弦长为，B正确；对于C，直线l恒过的定点在圆内，当直线l过圆心时，直线l被圆截得的弦长最大，最大值为圆C直径4，C错误；对于D，直线l恒过的定点在圆内，当直线l与过点P的直径垂直时，直线l被圆截得的弦长最短，最短弦长为，D正确．故选：ABD11．若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）．A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由已知可得出不能构成三角形的条件，分个讨论即可得到.【详解】因为直线，，不能构成三角形，所以存在，，过与的交点三种情况.显然，.则直线的斜率分别为，，.当时，有，即，解得；当时，有，即，解得；当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为，代入，得，解得．综上：或或．故选：ABD．12．已知三棱锥，，且，，两两垂直，G是的重心，E，F分别为，上的点，且，则下列说法正确的是（    ）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据，，两两垂直，设，，，则是空间的一个正交基底，根据空间向量运算逐项判断即可.【详解】解：如图，设，，，则是空间的一个正交基底，则，取的中点，连接，由于是的重心，则则，，又，则，，∴，则不平行于，故A不正确；，B正确；，C正确；，D正确．故选：BCD． 三、填空题13．若过两点，的直线的斜率为，则直线的方程为__________．【答案】【分析】根据直线斜率求得m的值，利用直线的点斜式方程可得答案.【详解】因为直线经过两点、且直线的斜率是，所以，解得,所以点A的坐标为，所以直线的方程为，化简可得,故答案为：．14．已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为__________．【答案】【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，结合圆心在上，列出方程组，求出圆心和半径，写出圆的标准方程，化为一般方程.【详解】设所求圆的标准方程为，由题意得：，解得：，故所求圆的方程为，即．故答案为：．15．已知圆，若圆C与y轴交于M，N两点，且，则__________．【答案】2【分析】首先通过的关系，得，然后根据圆的垂径定理构造关于的方程，解方程即可求出半径.【详解】由题意知的圆心，半径为r，圆心到y轴的距离为1，因为圆C与y轴交于M，N两点，且，，所以，由垂径定理得，，即，解得．故答案为：2．16．球O为正四面体的内切球，，是球O的直径，点M在正四面体的表面运动，则的最大值为__________．【答案】##【分析】先求出正四面体的高以及内切圆半径，再把分解到上可得答案.【详解】如图，为中点，为中心，平面，设球O的半径为r，，正四面体中，易求得所以正四面体的高为，所以根据体积公式得：，解得，因为点M在正四面体的表面运动，所以，所以．故答案为：． 四、解答题17．已知的顶点，，．(1)直线l过点B且与直线平行，求直线l的方程；(2)若垂足为D，求D的坐标．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先由直线平行求得，从而利用点斜式即可求得直线l的方程；（2）先由点斜式得到的方程，从而得到，再由得到，联立方程解之，即可得到.【详解】（1）由题意可知，则，所以直线l方程为，即．（2）设，由题意得，，D在直线上，因为，所以直线方程为，，又D在直线上，所以，联立，解得，所以．18．如图，正方体的棱长为2，点E，F为棱，的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)2 【分析】对于（1），在平面内找到一直线与直线CF平行即可；对于（2），以A点为原点建立空间直角坐标系，求出平面ACF法向量，利用公式求得答案.【详解】（1）证明：如图取的中点M，连接，．∵F，M分别是，的中点，∴，．又，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面；（2）如图，连接，以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，．设平面的法向量为，则.令，得，∴到平面的距离为．19．已知直线．(1)求证：直线l恒过定点；(2)已知两点，，过点A的直线l与线段有公共点，求直线l的倾斜角的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标；（2）求出直线的倾斜角，直线介于直线之间，由此可得结论．【详解】（1）证明：由，得．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点．（2）由题意可知，，由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，又的倾斜角是，的倾斜角是，点横坐标在两点横坐标之间，因此直线可能与轴垂直，倾斜角可以是，∴的取值范围是．20．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的动点，．(1)证明：平面；(2)当为何值时，平面与平面所成的夹角最小？【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)先证明平面，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，，由线面垂直判定定理证明平面；(2)求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角余弦，再求其最小值可得的取值.【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，底面，所以．因为，，平面，平面，所以平面．所以，，两两垂直．以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，所以，，，，，，因为，，，所以，，所以，，因为，，平面，所以平面．（2）由题设．设平面的法向量为，因为，，所以，即．令，则．因为平面的法向量为，设平面与平面所成的夹角为，则，当时，取最小值为，此时取最大值为，此时，符合题意．故当时，面与面所成的夹角最小．21．已知圆．(1)求过点与圆O相切的直线方程；(2)点在直线上，若在圆O上存在两个不同的点A，B，使，求的取值范围．【答案】(1)和；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用点到直线的距离公式，并按切线斜率存在和不存在分别讨论作答.（2）利用给定的向量关系，结合切线长定理可得OP与AB互相垂直平分，再利用点与圆的位置关系列出不等式求解作答.【详解】（1）当切线斜率不存在时，直线与圆相切，此时切线方程为，当切线斜率存在时，设切线斜率为k，直线方程为，即，因此有，解得，此时直线方程为，所以过点与圆O相切的直线方程为和．（2）如图，，故四边形为平行四边形，因为，所以四边形为菱形，故与互相垂直平分，则线段OP的中点在圆O内，因此，即，又，即，因此，解得，所以实数的取值范围是．22．已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点．(1)求点E的轨迹方程；(2)过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；点N为 【分析】（1）根据相关点法求出点E的轨迹方程即可；（2）斜率不存在时显然成立；斜率存在时，设直线的方程为，，，，将若x轴平分，转化为，再通过联立方程结合韦达定理将转化为含与的等式即可求解.【详解】（1）设，因为P是圆C上动点，所以，因为Q为圆C与x轴负半轴交点，所以，设，因为E是中点，所以，即，所以，即，所以点E的轨迹方程为.（2）当直线轴时，x轴平分.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由，得，所以，．若x轴平分，则，∴，∴，∴，∴，所以当点N为时，能使得x轴平分总成立