2024-2025学年河北省张家口市高二下学期期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省张家口市高二下学期期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.现有4幅不同的油画，3幅不同的国画，2幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有( )
A. 9种B. 6种C. 12种D. 24种
2.已知数列an的前n项和为Sn，且3Sn=2an+1，则a2=( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
3.在(−5x−1)5的展开式中，x2的系数为( )
A. 250B. 500C. −250D. −500
4.已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为30，且a4=3a2+2a1，则a3=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
5.曲线y=f(x)=lnx2+x−1在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A. y=3x−3B. y=2x−2C. y=x−1D. y=0
6.已知直线x=a与函数f(x)=ex，g(x)=x的图象分别交于点A、B，当|AB|取得最小值时，a=( )
A. 0B. 1C. eD. 1e
7.一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为X，则E(X)=( )
A. 1B. 2C. 43D. 53
8.将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架(铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和)，则该正三棱柱的体积最大为( )
A. 336B. 372C. 3108D. 3324
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记Sn为等差数列an的前n项和．已知S5=0,a5=6，则( )
A. a1=−6B. an=3n−9C. S2=S4D. Sn=3n2−15n2
10.已知函数f(x)=(sinx−a)2(sinx+a)，下列结论正确的是( )
A. 若f(x)为奇函数，则a=1
B. f(x)的图象关于直线x=π2对称
C. 若a=0，则f(x)的单调递增区间为−π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z
D. 当a∈(3,+∞)时，f(x)在π2+2kπ,3π2+2kπ,k∈Z上单调递增
11.已知minx1,x2,⋯,xn表示x1,x2,⋯,xn中最小的数，maxx1,x2,⋯,xn表示x1,x2,⋯,xn中最大的数.若数列an，bn都只有8项，且都是由数字1，2，3，4，5，6，7，8随机排列而成的(每个数字都出现，但不重复出现)，记X=minmaxa1,a2,a3,a4,maxa5,a6,a7,a8，Y=maxminb1,b2,b3,b4,minb5,b6,b7,b8，则( )
A. X的值可能为4，5，6，7B. Y的值可能为3，4，5，6
C. X≥6的概率为67D. X>Y的概率为12161225
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列an的通项公式为an=n+4n，则an的最小项的值为 ．
13.将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 种．
14.将数列{3n+2}与{4n}中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列{an}，则a5= ，{an}的前202项和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=xsinx−a．
(1)若a=−1，求曲线y=f(x)在点0,f(0)处的切线方程；
(2)若f(x)在(−π2,π2)上恰有2个零点，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：
单位：人
(1)从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”.利用该调查数据，求P(A|B),PA|B的值．
(2)以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望．
17.(本小题15分)
设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn.令bn=Sn−1，数列bn的前n项和为Tn．
(1)若2a1a2+a3=0,2S2=T2,q>0，求an的通项公式；
(2)若bn为等比数列，且S2025T2025=12，求q．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2lnx,g(x)=a⋅eax．
(1)求f(x)的极值；
(2)求g(x)的单调区间；
(3)若∀x∈(1,+∞),f(x)>g(x)，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止.抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球(小球大小和质地相同)，取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖.刚开始盒子中有2个白球和3个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖.若获奖，则将球放回后再往盒子中加1个红球，该顾客再继续抽奖.若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖;若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束.该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．
(1)求第2名和第3名顾客各抽中一份奖品的概率;
(2)求这两份奖品都被第n名顾客抽取的概率;
(3)求由第k名顾客终止抽奖活动的概率．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：根据分类加法计数原理，共有4+3+2=9种不同的选法．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】解：当n=1时，3S1=2a1+1，又S1=a1，则a1=1，
当n=2时，3S2=2a2+1，又S2=a1+a2，所以3(a2+a1)=2a2+1，
解得：a2=−2，
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：由二项式展开式的通项公式可得，Tr+1=C5r(−5x)5−r(−1)r=C5r(−5)5−r(−1)rx5−r，
令5−r=2，解得r=3，所以x2的系数为C53(−5)2(−1)3=−250．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据等比数列通项公式的基本量运算求出a1,q，进而得出a3．
【详解】设等比数列an的公比为q，则a1+a1q+a1q2+a1q3=30a1q3=3a1q+2a1，又a1>0,q>0，
解得a1=2q=2，故a3=a1q2=8．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】解：由题意得，f(1)=0,f ′(x)=2x+1x2+x−1，所以f ′(1)=3，
故所求切线方程为y−0=3(x−1)，即y=3x−3．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可得|AB|=|f(a)−g(a)|=|ea−a|，
令函数ℎ(x)=f(x)−g(x)=ex−x，则ℎ′(x)=ex−1．
由ℎ′(x)0，
所以，函数ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以，ℎ(x)min=ℎ(0)=1，即|AB|的最小值为1，此时a=0．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】解：盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布，
取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为X，则E(X)=nkN=3×49=43．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】解：设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则6x+3y=3，即y=1−2x,0eax，即aℎ(1)=0，所以xlnx>0，所以a≤0．
故a的取值范围是(−∞,0]．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：(1)由题意得第2名和第3名顾客各抽中一份奖品，即第1名顾客抽取的是红球;
第2名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球;第3名顾客抽取的是白球，
故第2名和第3名顾客各抽中一份奖品的概率为35×25×23×13=475．
(2)这两份奖品被第1名顾客抽走的概率为25×13，
被第2名顾客抽走的概率为35×25×13，
被第3名顾客抽走的概率为35×35×25×13，
以此类推被第n名顾客抽走的概率为35n−1×25×13=215×35n−1，n∈N∗，
因此这两份奖品都被第n名顾客抽取的概率为215×35n−1,n∈N∗．
(3)设由第k名顾客终止抽奖活动的概率为pk，则p1=215，以下讨论k⩾2的情形．
若第k名顾客共抽取了两份奖品，则前面k−1名顾客都没有抽到奖品，其概率为p′k=35k−1×25×13，
若第k名顾客抽取了一份奖品，设前面k−1名顾客中第i(1⩽i⩽k−1,k,i∈N∗)名顾客抽取到了一份奖品，
则前面i−1名顾客中无人获得奖品，其概率为35i−1，
第i名顾客只获得一份奖品，其概率为25×23，
第i−1名顾客到第k−1名顾客都没有获得奖品，其概率为23k−i−1，
所以第k名顾客抽取了一份奖品的概率为
p′′k=i=1k−135i−1×25×23×23k−i−1×13=25×13×23k−1×i=1k−13523i−1
=25×13×23k−1×i=1k−1910i−1=25×13×23k−1×1−910k−11−910=43[23k−1−35k−1].
pk=p′k+p′′k=35k−1×25×13+43[23k−1−35k−1]=2[23k−35k].
当k=1时，也满足上式．
因此，由第k名顾客终止抽奖活动的概率为223k−35k,k∈N∗．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】服用情况
患病情况
患病
不患病
服用中药预防方
100
900
不服用中药预防方
400
600