河南省许昌市鄢陵县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省许昌市鄢陵县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 要使有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x≥1B. x≥0C. x≥﹣1D. x≤0
【答案】A
【解析】要使有意义，则x-1≥0，解得x≥1，
故选：A．
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：C．
3. 下列各等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、，故正确，符合；
B、，故错误，不符合；
C、被开方数是非负数，故错误，不符合；
D、，故错误，不符合；
故选：A．
4. △ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A. ∠A＋∠B＝∠CB. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C. D. a：b：c＝4：4：6
【答案】D
【解析】A、由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C=180°，可得∠C=90°，故△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，得∠C=，故△ABC为直角三角形，不符合题意；
C、由得，，根据勾股定理的逆定理得，△ABC为直角三角形，不符合题意；
D、由a：b：c＝4：4：6，设a=4k，b=4k，c=6k（其中k≠0），由于，故△ABC不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
5. 将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形的边长为4，正方形的边长为3，则正方形的面积为（ ）
A. 25B. 5C. 16D. 12
【答案】A
【解析】如图，
∵根据正方形的性质得：，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
在中，由勾股定理得：，
则正方形B的面积为25．
故选：A．
6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. OA＝OC，OB＝ODB. AB＝CD，AD＝BC
C. AB∥CD，AD＝BCD. ∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD
【答案】C
【解析】A、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是( )
A. AB＝ADB. AC⊥BDC. AC＝BDD. ∠DAC＝∠BAC
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确，
不能得出，故C选项不正确，
故选：C．
8. 如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（ ）
A. 三角形B. 梯形C. 正方形D. 五边形
【答案】C
【解析】由题意知，对折实际上就是对称，对折2次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，
且每个角等于90度，
其只有正方形满足这一条件．
故选：C．
9. 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确是（ ）
A. 仅①B. 仅③C. ①②D. ②③
【答案】C
【解析】①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；∴正确的有①②；
故选：C．
10. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】如图，连接，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
四边形是菱形，，，
，
，
，
是等边三角形，
点是的中点，
，
，
即的最小值为，
故选：A．
二、解答题
11. 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为______．
【答案】
【解析】∵，两点分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
【答案】2
【解析】∵，
∴，
∵的整数部分为a，小数部分为b，
∴，．
∴，
故答案为：2．
13. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，已知，，则的长为________cm．
【答案】6cm
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴在Rt△ABC中，．
故答案为：6cm．
14. 如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______．
【答案】．
【解析】∵四边形为平行四边形，
∴，，
，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设与之间的距离为，
∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
15. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
【答案】
【解析】∵周长为18的三角形的三边满足，
设，
∴，
解得，
，
，
故答案为：．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
17. 已知，，求：
（1）的值；
（2）的值．
解：（1）∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴，
∴
．
18. 八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE)
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.6米．
求风筝的高度CE．
解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝＝＝20(米)．
∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．
答：风筝的高度CE为21.6米．
19. 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一．
在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务：
（1）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么______．
（2）根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______．
（3）根据（2）中的结果，写出证明过程．
（1）解：由勾股定理得，
故答案为：；
（2）解：根据梯形面积公式可得梯形面积为；
根据梯形面积等于三个直角三角形面积可得梯形面积为，
故答案为：，；
（3）证明：∵（2）中两种表示方法表示的梯形面积相等，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
解：（1）如图，
（2）．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴．
21. 如图，在四边形中，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：），
（1）t为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由．
（2）t为何值时，四边形为矩形，请说明理由．
解：（1）当时，四边形为平行四边形，理由如下：
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴四边形为平行四边形；
（2）当时，四边形为矩形，理由如下：
当时，，
∴，
∴，
同理可证明，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形．
22. 如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF，
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，，
∴（ASA）；
（2）解：如图，过点E作EG⊥BC交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，
∴cm，
设AE=xcm，
∴EP=xcm，
由知，EP=CF=xcm，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中，，
即，解得，，
∴BC=BG+GC=(cm）．
23. （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且．求证：；
（2）如图2，在正方形中，E是上一点，G是上一点，如果请你利用（1）的结论证明：．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形中，（），，E是上一点，且，，求四边形的面积．
解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴；
（2）如图2，延长至F，使．连接，
由（1）知，
∴，
∴，
即，
又∵，
则，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，过作，交延长线于D，
在直角梯形中，
∵，
∴，
又，，
∴四边形 为正方形，
∴，
∵，
设，
∴，
∴，，
根据（1）（2）可知，，
在中，
∵，
即，
解这个方程，得：，
∴，
所以梯形的面积为．