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2022-2023学年河南省许昌市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河南省许昌市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省许昌市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，能与 2合并的是( )
A. 3 B. 8 C. 12 D. 13
2. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是( )
A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 5，12，13
3. 在▱ABCD中∠A=50°，则∠B的度数为( )
A. 50° B. 130° C. 40° D. 100°
4. 下列计算正确的是( )
A. 3+2 2=5 2 B. 27÷ 3=9 C. 2× 3= 6 D. 4 3−3 3=1
5. 一次函数y=−2x+3的图象上有两点A(1,y1)，B(−2,y2)，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1y2
6. 为落实双减，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量(单位：道)，具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19.根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的( )
A. 最大数据 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数
7. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A. 四个角都是90° B. 四边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
8. 如图，平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与y=mx+n相交于点M(2,4)，则关于x的不等式kx+b
A. x>2 B. x=2 C. x≥2 D. x<2
9. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E、F分别是AC、AD的中点，且BE=EF，若AB=8，BC=4，则CD的长为( )
A. 4 5
B. 4 3
C. 2 5
D. 8
10. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数.下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
输入x
…
−6
−4
−2
0
2
…
输出y
…
−6
−2
2
6
16
…
根据以上信息，解答下列问题：当输出的y值为0时，则输入的x值为( )
A. 0 B. −3.5 C. 6 D. −3
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 请写出一个使二次根式 x−3有意义的x的值______ (写出一个即可)．
12. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多.为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率(单位μmol⋅m2⋅s−1)，结果统计如下：
品种
第一株
第二株
第三株
第四株
第五株
平均数
甲
35
30
23
17
20
25
乙
27
25
26
24
23
25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是______ (填“甲”或“乙”)．
13. 如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD.若CE=3cm，AB=4cm，则▱ABCD的周长是______ ．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB=3，AC=4，那么线段AE的长度是 ．
15. 如图①，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y=x−1经过点B，并沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m(米)，平移的时间为t(秒)，m与t的函数图象如图②所示，则图②中b的值为______
三、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
下面是琪琪在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．
48−12( 12− 75)
=4 3−12(2 3−5 3)……第一步
=4 3− 3−5 32……第二步
=3 3−5 32……第三步
= 32……第四步
任务一：以上步骤中，第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ；
任务二：请写出正确的计算过程；
任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．
17. (本小题10.0分)
八年级学生平均每周户外运动时间的调查报告
调查背景
为积极倡导体育教学和文化教育有机结合，提高同学们的身体素质，某校对八年级学生每周参加户外运动的时间：(单位：h)进行统计，并为八年级学生开展了“生命在于运动“的主题讲座
调查方式
抽样调在
样本选取
为保证调查数据的全面性，应选择的样本选取方式为______
A.随机抽取八年级20名女生
B.随机抽取八年级20名男生
C.随机抽取八年级20名学生
数据的收集、
整理与描述
信息一：被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间数据(单位h)：
2，2.5，3，3.5，3.5，3.5，3.5，4，4，4.2，4.4，4.5，4.5，5.5，5.5，6，6.7，6.8，7，7.5
信息二：被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间频数表
平均每周参加户外运动的时间(单位h)
频数
占调查人数百分比
t<3
2
10%
3≤t<5
11
55%
5≤t<7
5
25%
7≤t<9
5
10%
调查结论
….
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)图表中样本选取方式为______ (填字母)；
(2)被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间数据的众数是______ ，中位数是______ ；
(3)若该校八年级共有200名学生，讲座开展一周后，对八年级所有学生进行统计，发现平均每周参加户外运动时间不少于5h的人数为90人，试判断此讲座是否有效果？并说明理由．
18. (本小题9.0分)
如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,−2)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)试判断点P(m+1,m−1)是否在直线AB上，并说明理由；
(3)若点Q是x轴上一动点，当△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形时，请直接写出Q点坐标．
19. (本小题10.0分)
某数学兴趣小组在学完第十八章《平行四边形》之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1.其内容如下：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法(如图1)；
(1)对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时，得到了线段BN．
请根据上述过程完成下列问题：
(1)连接AN，如图2.请直接写出：∠ABM= ______ °；∠MBN和∠NBC的数量关系______ ；
(2)乐乐在探究活动的第(2)步基础上再次动手操作(如图3)，将MN延长交BC于点G.将△BMG沿MC折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平.请判断四边形BGHM的形状，并说明理由．
20. (本小题10.0分)
题目：已知在△ABC中AC= 5，BC=4，AB= 13，求△ABC的面积.小溪是一个善于思考的孩子，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求△ABC的面积.以下是他的思考过程．
思路1：可以利用课本16页“阅读与思考”中的海伦−秦九韶公式求△ABC的面积；
海伦公式：p=12(a+b+c)，S= p(p−a)(p−b)(p−c)；
秦九韶公式：S= 14[a2b2−(a2+b2−c22)2]
思路2：可以利用正方形网格构造三角形求△ABC的面积．
(1)通过计算小溪发现这个题目利用秦九韶公式更为简便，请根据公式直接写出S△ABC= ______ ；
(2)请你结合思路2，在如图所示的网格中，(正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.)
①画出△ABC，要求三个顶点都在格点上；
②结合图形，请写出△ABC面积的计算过程．
21. (本小题10.0分)
“水上公交”是许昌的一张名片，坐上水上公交可以环游许昌城，倾听许吕故事，欣赏护城河美景.水上公交有商务船和旅游船两种租船方式．
船型
商务船
旅游船
租金(元/条)
400
480
设租商务船x条.总费用为y元
(1)某旅行团计划租商务船和旅游船共10条，请写出总费用y关于x的函数关系式；
(2)如果该旅行团的租船总费用不超过4480元.并且商务船的数量不多于6条，该旅行团有几种租船方案？这些方案中哪种方案总费用最少，最少为多少元？
22. (本小题11.0分)
综合与实践
问题背景：
我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明角形中位线定理呢？
已知：如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE//BC．DE=12BC．
思路分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，我们可以用“倍长法”将DE延长一倍：即延长DE到F.使得EF=DE，连接FC，DC，AF，通过证明四边形ADCF与四边形DBCF是平行四边形从而得出最后结论．
问题解决：
(1)上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是______ .(填入选项前的字母代号即可)
A.数形结合思想；B.转化思想；C.分类讨论思想；D.方程思想．
(2)请根据以上思路分析，完成”三角形中位线定理”的证明过程．
方法迁移：
(3)如图3，四边形ABCD和DEFG均为正方形，连接AG，CE，N是AG的中点，连接DN，已知线段DN=2，请求出线段CE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 3不能和 2合并，故本选项不合题意；
B、 8=2 2，能和 2合并，故本选项符合题意；
C、 12=2 3，不能和 2合并，故本选项不合题意；
D、 13= 33，不能和 2合并，故本选项不合题意；
故选：B．
先化成最简二次根式，再判断即可．
本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的应用，注意：几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
2.【答案】B
【解析】解：A、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
B、52+42≠62，故不是直角三角形，符合题意；
C、62+82=102，故是直角三角形，不符合题意；
D、52+122=132，故是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】B
【解析】解：∵在▱ABCD中∠A=50°，
∴∠B=180°−∠A=180°−50°=130°．
故选：B．
根据平行四边形的邻角互补即可得出∠B的度数．
本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
4.【答案】C
【解析】解：A.3与2 2不能合并，所以A选项不符合题意；
B. 27÷ 3= 27÷3= 9=3，所以B选项不符合题意；
C. 2× 3= 2×3= 6，所以C选项符合题意；
D.4 3−3 3= 3，所以D选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵k=−2<0，
∴y随x的增大而减小，
∵点A(1,y1)，B(−2,y2)均在一次函数y=−2x+3的图象上，且1>−2，
∴y1
由k=−2<0，利用一次函数图象的性质可得出y随x的增大而减小，结合1>−2，即可得出答案．
本题考查一次函数的图象与性质，牢记：在一次函数y=kx+b中，若k>0，y随x的增大而增大；若k<0，y随x的增大而减小．
6.【答案】C
【解析】解：这组数据的中位数是10，众数是8，平均数是7+8+8+9+10+12+14+17+199≈11.56，最大数据是19，
因此将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的中位数，
故选：C．
求出这组数据的平均数、中位数、众数以及最大数据进行判断即可．
本题考查中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的计算方法是正确判断的前提．
7.【答案】B
【解析】解：∵正方形的性质为：对边平行且相等，四条边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分，相等，且每条对角线平分一组对角，
矩形的性质为：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分，相等，
∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是：四边相等，
故选：B．
通过比较正方形和矩形的性质的不同即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形，矩形的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：因为直线y=kx+b交直线y=mx+n于点A(2,4)，
所以关于x的不等式kx+b2．
故选：A．
观察函数图象得到，当x>2时，一次函数y=kx+b的图象都在一次函数y=mx+n的图象的下方，由此得到不等式kx+b
9.【答案】A
【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=8，BC=4，
∴AC= AB2+BC2= 82+42=4 5，
∵E是AC的中点，
∴BE=12AC=12×4 5=2 5，
∵BE=EF，
∴EF=2 5，
∵点E、F分别是AC、AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴CD=2EF=2×2 5=4 5，
故选A．
由勾股定理求出AC的长度，由直角三角形斜边上中线的性质求出BE的长度，再由三角形中位线定理即可求出CD的长度．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：当x<1时，y与x满足y=kx+b，
由x=0，y=6，当x=−2，y=2可得，
b=6−2k+b=2，
解得k=2b=6，
所以y与x的换算关系式为y=2x+6，
当y=0时，即2x+6=0，解得x=−3，
故选：D．
根据表格中的数据求出y与x的函数关系式，再根据函数关系式，求出当y=0时相应的x的值即可．
本题考查函数值，函数关系式，用待定系数法求出函数关系式是解决问题的关键．
11.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：∵二次根式 x−3有意义，
∴x−3≥0，
∴x≥3，
∴x可以等于3．
故答案为：3(答案不唯一)．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解题的关键．
12.【答案】乙
【解析】解：甲的方差为：S甲2=15×[(35−25)2+(30−25)2+(23−25)2+(17−25)2+(20−25)2]=43.6；
乙的方差为：S乙2=15×[(27−25)2+(25−25)2+(26−25)2+(24−25)2+(23−25)2]=2．
∵43.6>2，
∴两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙．
故答案为：乙．
直接利用方差公式，进而计算得出答案．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13.【答案】22cm
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=4cm，
∵CE=3cm，
∴BC=BE+CE=7cm，
∴CD=AB=4cm，BC=AD=7cm，
∴▱ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+7+4+7=22cm．
故答案为：22cm．
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可求得CD=AB=4cm，BC=AD=7cm，继而求得▱ABCD的周长．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等定理的应用．
14.【答案】125
【解析】
【分析】
由作法得AE⊥BC，利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法求AE的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理．
【解答】
解：由作法得AE⊥BC，
在Rt△ABC中，BC= AB2+BC2= 32+42=5，
∵12AE⋅BC=12AB⋅AC，
∴AE=3×45=125．
故答案为：125．
15.【答案】4 2
【解析】解：直线y=x−1中，令y=0，得x=1；令x=0，得y=−1，即直线y=x−1与坐标轴围成的△AEF为等腰直角三角形，
∴直线l与直线AC平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，
由图2可得，t=5时，直线l经过点AC，
∴AB=BC=5，
∴AO=5−1=4，
∴A(4,0)，
∴等腰Rt△ABD中，BD=4 2，
即当a=5时，b=4 2．
故答案为：4 2．
先根据△AEF为等腰直角三角形，可得直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，再根据BD的长即可得到b的值．
本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．解决问题的关键是掌握正方形的性质以及平移的性质．
16.【答案】二 去括号时，且括号前是负，没有各项都改变符号
【解析】解：任务一：第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，且括号前是负，没有各项都改变符号．
故答案为：二，去括号时，且括号前是负，没有各项都改变符号；
任务二： 48−12( 12− 75)
=4 3−12(2 3−5 3)
=4 3− 3+5 32
=3 3+5 32
=11 32；
任务三：根据在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式，即可解答．
任务一：根据二次根式的相应的法则进行分析即可；
任务二：先化简，再算乘法，最后算减法即可；
任务三：根据在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式，即可解答．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】C C 4.5 4.5
【解析】解：(1)上表中样本选取方式为随机抽取七年级20名学生．
故答案为：C；
(2)被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间数据中，4.5出现的次数最多，故众数为4.5；
把20名学生每周参加户外运动的时间从小到大排列为：2、2.5、3、3、3.5、3.5、3.5、4、4、4.5、4.5、4.5、4.5、5、5.5、5.5、6、6、7、7.5，
排在中间的两个数分别是4.5，故中位数时4.5+4.52=4.5，
故答案为：4.5；4.5；
(3)此讲座有效果．
200×720=70(人)，
70<90，
所以此讲座有效果．
(1)根据全面调查和抽样调查的定义解答即可；
(2)根据众数和中位数的定义解答即可；
(3)用200乘样本中平均每周参加户外运动时间不少于5h的人数所占比例即可解答．
本题考查抽样调查的可靠性、频数分布分布表、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，掌握相关统计量的计算方法．
18.【答案】解：(1)设直线AB的解析式为：y=kx+b，
将A(2,0)，B(0,−2)代入得，
2k+b=0b=−2，解得k=1b=−2，
∴直线AB的解析式为：y=x−2；
(2)将x=m+1代入y=x−2得，y=m+1−2=m−1，
∴点P(m+1,m−1)在直线AB上；
(3)如图，由已知得点Q在x轴上，△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形，
∵A(2,0)，B(0,−2)，
∴AB= 22+22=2 2，
①以点A为顶角顶点，点Q在点A右边，AQ=AB=2 2，
∴OQ=OA+AQ=2+2 2，
∴Q(2+2 2,0)；
②以点B为顶角顶点，点Q在点A左边，BQ=AB=2 2，
∵∠BOQ=90°，OB=2，BQ=2 2，
由勾股定理得OQ= BQ2−OB2= (2 2)2−22=2，
∴Q(−2,0)，
综上，Q(2+2 2,0)或(−2,0)．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)把点P(m+1,m−1)代入(1)中的直线进行验证即可；
(3)根据条件点Q在x轴上，△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形，判断分两种情况：①以点A为顶角顶点，点Q在点A右边；②以点B为顶角顶点，点Q在点A左边，分类讨论即可得解．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，用待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，找出符合条件的所有点Q的位置是解题的关键．
19.【答案】30 ∠MBN=∠NBC
【解析】解：(1)如图2，由折叠可得，EF垂直平分AB，
∴AN=BN，由折叠可得，AB=NB，
∴AB=BN=AN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠ABM=∠ABN=30°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠NBC=90°−60°=30°，
∴∠MBN=∠NBC，
故答案为：30；∠MBN=∠NBC；
(2)四边形BGHM为菱形，理由：
由(1)可得BM=BG，BN平分∠MBG，
∴BH⊥MG，
由折叠可得MH=MB，
∴MH=BG，
又∵MN//BG，
∴四边形BGHM是平行四边形，
∴四边形BGHM是菱形．
(1)依据折叠的性质即可得到△ABN是等边三角形，进而得出∠ABM的度数以及∠MBN和∠NBC的数量关系；
(2)依据△BCM是等腰三角形，利用三线合一即可得到BH⊥MG；再判定四边形BGHM是平行四边形，即可得到结论．
本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及菱形的判定，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
20.【答案】4
【解析】解：(1)∵AC= 5,BC=4,AB= 13，
∴a=BC=4,b=AC= 5,c=AB= 13，
∴a2b2=42×( 5)2=80，a2+b2−c2=42+( 5)2−( 13)2=8，
S= 14[a2b2−(a2+b2−c22)2]，
S= 14[80−(84)2]，
S= 14×64，
S=4，
故答案为：4；
(2)①如图所示：
②△ABC的面积=12×2BC=12×2×4=4．
(1)根据已知条件找出a，b，c的值，求出a2b2，a2+b2−c2的值，然后代入秦九韶公式进行计算即可；
(2)①先在图中先画出BC=4，根据22+12=( 5)2,22+32=( 13)2，在图中分别画出直角边分别是2和1，2和3的斜边即可；
②由所画图形可知BC=4，BC边上的高为2，利用面积公式计算即可．
本题主要考查了二次根式的计算，解题关键是根据已知条件找出a，b，c的值．
21.【答案】解：(1)设租商务船x条，租旅游船(10−x)条，
根据题意得：y=400x+480(10−x)=−80x+4800，
∴总费用y关于x的函数关系式为y=−80x+4800；
(2)根据题意得：−80x+4800≤4480x≤6，
解得4≤x≤6，
∵x取整数，
∴x=4，5，6，
∴该旅行团有3种租船方案，
∵−80<0，
∴当x=6时，y有最小值，最小值为4320，
∴旅游团租6条商务船，4条旅游船时费用最少，最少费用为4320元．
【解析】(1)根据总费用=商务船+旅游船费用之和，列出y关于x的函数关系式；
(2)根据题意，得到不等式关系−80x+4800≤4480x≤6，根据应用实际问题，x的实际取值，可求解；
本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握应用题中数量关系，表达出函数解析式，根据实际情况判断x的取值范围是解决问题的关键．
22.【答案】B
【解析】(1)解：根据上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是转化思想．
故答案为：B；
(2)证明：延长DE到F.使得EF=DE，连接FC，DC，AF，如图，
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD=CF，AD//CF，
∵D是AB中点，
∴AD=BD，
∴CF=BD，
又CF//BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴BC//DF，BC=DF，
∵DE=12DF，
∴BC//DE，DE=12BC；
(3)解：如图，延长DN到点M，使得NM=DN，连接AM、MG，
∵点N是AG的中点，
∴AN=NG，
∴四边形ADGM是平行四边形，
∴AM//DG，AM=DG，
∴∠MAD+∠ADG=180°．
∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，
∴AD=DC，DG=DE=AM，∠ADG+∠EDC=180°，
∴∠MAD=∠EDC，
∴△MAD≌△EDC(SAS)，
∴DM=CE，
∵DM=2DN，
∴CE=2DN=4．
(1)根据解题方法知，将证明“DE//BC，DE=12BC”的问题转化为平行四边形性质的问题，即可得到答案；
(2)延长DE到F.使得EF=DE，连接FC，DC，AF，证明四边形ADCF是平行四边形，得AD=CF，AD//CF，又D是AB中点，可证四边形BCFD是平行四边形，故BC//DF，BC=DF，即得BC//DE，BC=2DE；
(3)延长DN到点M，使得NM=DN，连接AM、MG，证明四边形ADGM是平行四边形，结合该平行四边形和图中正方形的性质，证得△MAD≌△EDC，故DM=EC，从而CE=2DN=4．
本题考查了四边形综合应用，涉及三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．
2022-2023学年河南省许昌市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，能与 2合并的是( )
A. 3 B. 8 C. 12 D. 13
2. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是( )
A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 5，12，13
3. 在▱ABCD中∠A=50°，则∠B的度数为( )
A. 50° B. 130° C. 40° D. 100°
4. 下列计算正确的是( )
A. 3+2 2=5 2 B. 27÷ 3=9 C. 2× 3= 6 D. 4 3−3 3=1
5. 一次函数y=−2x+3的图象上有两点A(1,y1)，B(−2,y2)，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1
6. 为落实双减，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量(单位：道)，具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19.根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的( )
A. 最大数据 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数
7. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A. 四个角都是90° B. 四边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
8. 如图，平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与y=mx+n相交于点M(2,4)，则关于x的不等式kx+b
A. x>2 B. x=2 C. x≥2 D. x<2
9. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E、F分别是AC、AD的中点，且BE=EF，若AB=8，BC=4，则CD的长为( )
A. 4 5
B. 4 3
C. 2 5
D. 8
10. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数.下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
输入x
…
−6
−4
−2
0
2
…
输出y
…
−6
−2
2
6
16
…
根据以上信息，解答下列问题：当输出的y值为0时，则输入的x值为( )
A. 0 B. −3.5 C. 6 D. −3
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 请写出一个使二次根式 x−3有意义的x的值______ (写出一个即可)．
12. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多.为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率(单位μmol⋅m2⋅s−1)，结果统计如下：
品种
第一株
第二株
第三株
第四株
第五株
平均数
甲
35
30
23
17
20
25
乙
27
25
26
24
23
25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是______ (填“甲”或“乙”)．
13. 如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD.若CE=3cm，AB=4cm，则▱ABCD的周长是______ ．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB=3，AC=4，那么线段AE的长度是 ．
15. 如图①，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y=x−1经过点B，并沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m(米)，平移的时间为t(秒)，m与t的函数图象如图②所示，则图②中b的值为______
三、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
下面是琪琪在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．
48−12( 12− 75)
=4 3−12(2 3−5 3)……第一步
=4 3− 3−5 32……第二步
=3 3−5 32……第三步
= 32……第四步
任务一：以上步骤中，第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ；
任务二：请写出正确的计算过程；
任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．
17. (本小题10.0分)
八年级学生平均每周户外运动时间的调查报告
调查背景
为积极倡导体育教学和文化教育有机结合，提高同学们的身体素质，某校对八年级学生每周参加户外运动的时间：(单位：h)进行统计，并为八年级学生开展了“生命在于运动“的主题讲座
调查方式
抽样调在
样本选取
为保证调查数据的全面性，应选择的样本选取方式为______
A.随机抽取八年级20名女生
B.随机抽取八年级20名男生
C.随机抽取八年级20名学生
数据的收集、
整理与描述
信息一：被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间数据(单位h)：
2，2.5，3，3.5，3.5，3.5，3.5，4，4，4.2，4.4，4.5，4.5，5.5，5.5，6，6.7，6.8，7，7.5
信息二：被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间频数表
平均每周参加户外运动的时间(单位h)
频数
占调查人数百分比
t<3
2
10%
3≤t<5
11
55%
5≤t<7
5
25%
7≤t<9
5
10%
调查结论
….
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)图表中样本选取方式为______ (填字母)；
(2)被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间数据的众数是______ ，中位数是______ ；
(3)若该校八年级共有200名学生，讲座开展一周后，对八年级所有学生进行统计，发现平均每周参加户外运动时间不少于5h的人数为90人，试判断此讲座是否有效果？并说明理由．
18. (本小题9.0分)
如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,−2)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)试判断点P(m+1,m−1)是否在直线AB上，并说明理由；
(3)若点Q是x轴上一动点，当△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形时，请直接写出Q点坐标．
19. (本小题10.0分)
某数学兴趣小组在学完第十八章《平行四边形》之后，研究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1.其内容如下：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法(如图1)；
(1)对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时，得到了线段BN．
请根据上述过程完成下列问题：
(1)连接AN，如图2.请直接写出：∠ABM= ______ °；∠MBN和∠NBC的数量关系______ ；
(2)乐乐在探究活动的第(2)步基础上再次动手操作(如图3)，将MN延长交BC于点G.将△BMG沿MC折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平.请判断四边形BGHM的形状，并说明理由．
20. (本小题10.0分)
题目：已知在△ABC中AC= 5，BC=4，AB= 13，求△ABC的面积.小溪是一个善于思考的孩子，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求△ABC的面积.以下是他的思考过程．
思路1：可以利用课本16页“阅读与思考”中的海伦−秦九韶公式求△ABC的面积；
海伦公式：p=12(a+b+c)，S= p(p−a)(p−b)(p−c)；
秦九韶公式：S= 14[a2b2−(a2+b2−c22)2]
思路2：可以利用正方形网格构造三角形求△ABC的面积．
(1)通过计算小溪发现这个题目利用秦九韶公式更为简便，请根据公式直接写出S△ABC= ______ ；
(2)请你结合思路2，在如图所示的网格中，(正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.)
①画出△ABC，要求三个顶点都在格点上；
②结合图形，请写出△ABC面积的计算过程．
21. (本小题10.0分)
“水上公交”是许昌的一张名片，坐上水上公交可以环游许昌城，倾听许吕故事，欣赏护城河美景.水上公交有商务船和旅游船两种租船方式．
船型
商务船
旅游船
租金(元/条)
400
480
设租商务船x条.总费用为y元
(1)某旅行团计划租商务船和旅游船共10条，请写出总费用y关于x的函数关系式；
(2)如果该旅行团的租船总费用不超过4480元.并且商务船的数量不多于6条，该旅行团有几种租船方案？这些方案中哪种方案总费用最少，最少为多少元？
22. (本小题11.0分)
综合与实践
问题背景：
我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明角形中位线定理呢？
已知：如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE//BC．DE=12BC．
思路分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，我们可以用“倍长法”将DE延长一倍：即延长DE到F.使得EF=DE，连接FC，DC，AF，通过证明四边形ADCF与四边形DBCF是平行四边形从而得出最后结论．
问题解决：
(1)上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是______ .(填入选项前的字母代号即可)
A.数形结合思想；B.转化思想；C.分类讨论思想；D.方程思想．
(2)请根据以上思路分析，完成”三角形中位线定理”的证明过程．
方法迁移：
(3)如图3，四边形ABCD和DEFG均为正方形，连接AG，CE，N是AG的中点，连接DN，已知线段DN=2，请求出线段CE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 3不能和 2合并，故本选项不合题意；
B、 8=2 2，能和 2合并，故本选项符合题意；
C、 12=2 3，不能和 2合并，故本选项不合题意；
D、 13= 33，不能和 2合并，故本选项不合题意；
故选：B．
先化成最简二次根式，再判断即可．
本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的应用，注意：几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
2.【答案】B
【解析】解：A、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
B、52+42≠62，故不是直角三角形，符合题意；
C、62+82=102，故是直角三角形，不符合题意；
D、52+122=132，故是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】B
【解析】解：∵在▱ABCD中∠A=50°，
∴∠B=180°−∠A=180°−50°=130°．
故选：B．
根据平行四边形的邻角互补即可得出∠B的度数．
本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
4.【答案】C
【解析】解：A.3与2 2不能合并，所以A选项不符合题意；
B. 27÷ 3= 27÷3= 9=3，所以B选项不符合题意；
C. 2× 3= 2×3= 6，所以C选项符合题意；
D.4 3−3 3= 3，所以D选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵k=−2<0，
∴y随x的增大而减小，
∵点A(1,y1)，B(−2,y2)均在一次函数y=−2x+3的图象上，且1>−2，
∴y1
由k=−2<0，利用一次函数图象的性质可得出y随x的增大而减小，结合1>−2，即可得出答案．
本题考查一次函数的图象与性质，牢记：在一次函数y=kx+b中，若k>0，y随x的增大而增大；若k<0，y随x的增大而减小．
6.【答案】C
【解析】解：这组数据的中位数是10，众数是8，平均数是7+8+8+9+10+12+14+17+199≈11.56，最大数据是19，
因此将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的中位数，
故选：C．
求出这组数据的平均数、中位数、众数以及最大数据进行判断即可．
本题考查中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的计算方法是正确判断的前提．
7.【答案】B
【解析】解：∵正方形的性质为：对边平行且相等，四条边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分，相等，且每条对角线平分一组对角，
矩形的性质为：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分，相等，
∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是：四边相等，
故选：B．
通过比较正方形和矩形的性质的不同即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形，矩形的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：因为直线y=kx+b交直线y=mx+n于点A(2,4)，
所以关于x的不等式kx+b
故选：A．
观察函数图象得到，当x>2时，一次函数y=kx+b的图象都在一次函数y=mx+n的图象的下方，由此得到不等式kx+b
9.【答案】A
【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=8，BC=4，
∴AC= AB2+BC2= 82+42=4 5，
∵E是AC的中点，
∴BE=12AC=12×4 5=2 5，
∵BE=EF，
∴EF=2 5，
∵点E、F分别是AC、AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴CD=2EF=2×2 5=4 5，
故选A．
由勾股定理求出AC的长度，由直角三角形斜边上中线的性质求出BE的长度，再由三角形中位线定理即可求出CD的长度．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：当x<1时，y与x满足y=kx+b，
由x=0，y=6，当x=−2，y=2可得，
b=6−2k+b=2，
解得k=2b=6，
所以y与x的换算关系式为y=2x+6，
当y=0时，即2x+6=0，解得x=−3，
故选：D．
根据表格中的数据求出y与x的函数关系式，再根据函数关系式，求出当y=0时相应的x的值即可．
本题考查函数值，函数关系式，用待定系数法求出函数关系式是解决问题的关键．
11.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：∵二次根式 x−3有意义，
∴x−3≥0，
∴x≥3，
∴x可以等于3．
故答案为：3(答案不唯一)．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解题的关键．
12.【答案】乙
【解析】解：甲的方差为：S甲2=15×[(35−25)2+(30−25)2+(23−25)2+(17−25)2+(20−25)2]=43.6；
乙的方差为：S乙2=15×[(27−25)2+(25−25)2+(26−25)2+(24−25)2+(23−25)2]=2．
∵43.6>2，
∴两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙．
故答案为：乙．
直接利用方差公式，进而计算得出答案．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13.【答案】22cm
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=4cm，
∵CE=3cm，
∴BC=BE+CE=7cm，
∴CD=AB=4cm，BC=AD=7cm，
∴▱ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+7+4+7=22cm．
故答案为：22cm．
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可求得CD=AB=4cm，BC=AD=7cm，继而求得▱ABCD的周长．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等定理的应用．
14.【答案】125
【解析】
【分析】
由作法得AE⊥BC，利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法求AE的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理．
【解答】
解：由作法得AE⊥BC，
在Rt△ABC中，BC= AB2+BC2= 32+42=5，
∵12AE⋅BC=12AB⋅AC，
∴AE=3×45=125．
故答案为：125．
15.【答案】4 2
【解析】解：直线y=x−1中，令y=0，得x=1；令x=0，得y=−1，即直线y=x−1与坐标轴围成的△AEF为等腰直角三角形，
∴直线l与直线AC平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，
由图2可得，t=5时，直线l经过点AC，
∴AB=BC=5，
∴AO=5−1=4，
∴A(4,0)，
∴等腰Rt△ABD中，BD=4 2，
即当a=5时，b=4 2．
故答案为：4 2．
先根据△AEF为等腰直角三角形，可得直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，再根据BD的长即可得到b的值．
本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．解决问题的关键是掌握正方形的性质以及平移的性质．
16.【答案】二 去括号时，且括号前是负，没有各项都改变符号
【解析】解：任务一：第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，且括号前是负，没有各项都改变符号．
故答案为：二，去括号时，且括号前是负，没有各项都改变符号；
任务二： 48−12( 12− 75)
=4 3−12(2 3−5 3)
=4 3− 3+5 32
=3 3+5 32
=11 32；
任务三：根据在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式，即可解答．
任务一：根据二次根式的相应的法则进行分析即可；
任务二：先化简，再算乘法，最后算减法即可；
任务三：根据在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式，即可解答．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】C C 4.5 4.5
【解析】解：(1)上表中样本选取方式为随机抽取七年级20名学生．
故答案为：C；
(2)被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间数据中，4.5出现的次数最多，故众数为4.5；
把20名学生每周参加户外运动的时间从小到大排列为：2、2.5、3、3、3.5、3.5、3.5、4、4、4.5、4.5、4.5、4.5、5、5.5、5.5、6、6、7、7.5，
排在中间的两个数分别是4.5，故中位数时4.5+4.52=4.5，
故答案为：4.5；4.5；
(3)此讲座有效果．
200×720=70(人)，
70<90，
所以此讲座有效果．
(1)根据全面调查和抽样调查的定义解答即可；
(2)根据众数和中位数的定义解答即可；
(3)用200乘样本中平均每周参加户外运动时间不少于5h的人数所占比例即可解答．
本题考查抽样调查的可靠性、频数分布分布表、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，掌握相关统计量的计算方法．
18.【答案】解：(1)设直线AB的解析式为：y=kx+b，
将A(2,0)，B(0,−2)代入得，
2k+b=0b=−2，解得k=1b=−2，
∴直线AB的解析式为：y=x−2；
(2)将x=m+1代入y=x−2得，y=m+1−2=m−1，
∴点P(m+1,m−1)在直线AB上；
(3)如图，由已知得点Q在x轴上，△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形，
∵A(2,0)，B(0,−2)，
∴AB= 22+22=2 2，
①以点A为顶角顶点，点Q在点A右边，AQ=AB=2 2，
∴OQ=OA+AQ=2+2 2，
∴Q(2+2 2,0)；
②以点B为顶角顶点，点Q在点A左边，BQ=AB=2 2，
∵∠BOQ=90°，OB=2，BQ=2 2，
由勾股定理得OQ= BQ2−OB2= (2 2)2−22=2，
∴Q(−2,0)，
综上，Q(2+2 2,0)或(−2,0)．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)把点P(m+1,m−1)代入(1)中的直线进行验证即可；
(3)根据条件点Q在x轴上，△ABQ是以线段AB为腰的等腰三角形，判断分两种情况：①以点A为顶角顶点，点Q在点A右边；②以点B为顶角顶点，点Q在点A左边，分类讨论即可得解．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，用待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，找出符合条件的所有点Q的位置是解题的关键．
19.【答案】30 ∠MBN=∠NBC
【解析】解：(1)如图2，由折叠可得，EF垂直平分AB，
∴AN=BN，由折叠可得，AB=NB，
∴AB=BN=AN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠ABM=∠ABN=30°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠NBC=90°−60°=30°，
∴∠MBN=∠NBC，
故答案为：30；∠MBN=∠NBC；
(2)四边形BGHM为菱形，理由：
由(1)可得BM=BG，BN平分∠MBG，
∴BH⊥MG，
由折叠可得MH=MB，
∴MH=BG，
又∵MN//BG，
∴四边形BGHM是平行四边形，
∴四边形BGHM是菱形．
(1)依据折叠的性质即可得到△ABN是等边三角形，进而得出∠ABM的度数以及∠MBN和∠NBC的数量关系；
(2)依据△BCM是等腰三角形，利用三线合一即可得到BH⊥MG；再判定四边形BGHM是平行四边形，即可得到结论．
本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及菱形的判定，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
20.【答案】4
【解析】解：(1)∵AC= 5,BC=4,AB= 13，
∴a=BC=4,b=AC= 5,c=AB= 13，
∴a2b2=42×( 5)2=80，a2+b2−c2=42+( 5)2−( 13)2=8，
S= 14[a2b2−(a2+b2−c22)2]，
S= 14[80−(84)2]，
S= 14×64，
S=4，
故答案为：4；
(2)①如图所示：
②△ABC的面积=12×2BC=12×2×4=4．
(1)根据已知条件找出a，b，c的值，求出a2b2，a2+b2−c2的值，然后代入秦九韶公式进行计算即可；
(2)①先在图中先画出BC=4，根据22+12=( 5)2,22+32=( 13)2，在图中分别画出直角边分别是2和1，2和3的斜边即可；
②由所画图形可知BC=4，BC边上的高为2，利用面积公式计算即可．
本题主要考查了二次根式的计算，解题关键是根据已知条件找出a，b，c的值．
21.【答案】解：(1)设租商务船x条，租旅游船(10−x)条，
根据题意得：y=400x+480(10−x)=−80x+4800，
∴总费用y关于x的函数关系式为y=−80x+4800；
(2)根据题意得：−80x+4800≤4480x≤6，
解得4≤x≤6，
∵x取整数，
∴x=4，5，6，
∴该旅行团有3种租船方案，
∵−80<0，
∴当x=6时，y有最小值，最小值为4320，
∴旅游团租6条商务船，4条旅游船时费用最少，最少费用为4320元．
【解析】(1)根据总费用=商务船+旅游船费用之和，列出y关于x的函数关系式；
(2)根据题意，得到不等式关系−80x+4800≤4480x≤6，根据应用实际问题，x的实际取值，可求解；
本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握应用题中数量关系，表达出函数解析式，根据实际情况判断x的取值范围是解决问题的关键．
22.【答案】B
【解析】(1)解：根据上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是转化思想．
故答案为：B；
(2)证明：延长DE到F.使得EF=DE，连接FC，DC，AF，如图，
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD=CF，AD//CF，
∵D是AB中点，
∴AD=BD，
∴CF=BD，
又CF//BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴BC//DF，BC=DF，
∵DE=12DF，
∴BC//DE，DE=12BC；
(3)解：如图，延长DN到点M，使得NM=DN，连接AM、MG，
∵点N是AG的中点，
∴AN=NG，
∴四边形ADGM是平行四边形，
∴AM//DG，AM=DG，
∴∠MAD+∠ADG=180°．
∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，
∴AD=DC，DG=DE=AM，∠ADG+∠EDC=180°，
∴∠MAD=∠EDC，
∴△MAD≌△EDC(SAS)，
∴DM=CE，
∵DM=2DN，
∴CE=2DN=4．
(1)根据解题方法知，将证明“DE//BC，DE=12BC”的问题转化为平行四边形性质的问题，即可得到答案；
(2)延长DE到F.使得EF=DE，连接FC，DC，AF，证明四边形ADCF是平行四边形，得AD=CF，AD//CF，又D是AB中点，可证四边形BCFD是平行四边形，故BC//DF，BC=DF，即得BC//DE，BC=2DE；
(3)延长DN到点M，使得NM=DN，连接AM、MG，证明四边形ADGM是平行四边形，结合该平行四边形和图中正方形的性质，证得△MAD≌△EDC，故DM=EC，从而CE=2DN=4．
本题考查了四边形综合应用，涉及三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．
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