江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A. 0B. 1C. -1D.
2. 下列特征数中，刻画一组数据离散程度是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
3. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
4 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（ ）
A. 10mB. 14mC. 17mD. 20m
8. 在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则为直角三角形
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为等腰直角三角形
10. 已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
11. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ）
A A与B互斥B. A与C相互独立
C D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________．
13. 已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则___________．
14. 以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为________，其面数为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求B；
（2）若，求．
16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面．
17. 某班学生日睡眠时间（单位：h）频率分布表如下：
（1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率．
18. 已知的面积为9，点D在BC边上，．
（1）若，，
①证明：；
②求AC；
（2）若，求AD的最小值．
19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面．
（1）证明：；
（2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3．
①求三棱锥B-ADE的体积；
②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
分组
[7，7.5）
[7.5，8）
[8，8.5）
[8.5，9]
频数
4
x
20
y
频率
a
b
0.4
0.12