2023-2024学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知随机变量X～N(2,σ2)，且P(X1)，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，…，N，直到箱子中的球被摸完为止．
(1)求2号球为红球的概率(用N与n表示)；
(2)若N=11，n=5，记随机变量X为最后一个红球被摸出时的编号，求E(X)；
(3)若箱子中白球、黑球的个数分别为n，2n，求红球先于白球和黑球被摸完(红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余)的概率．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由于随机变量X～N(2,σ2)，且P(X−2(x1−x2)，f(x1)+2x1>f(x2)+2x2，
设t(x)=f(x)+2x，∀x1，x2∈R，x1>x2，t(x1)>t(x2)，y=t(x)单调递增，
t(x)=x3+mx2+2x，t′(x)=3x2+2mx+2≥0恒成立，
∴Δ=4m2−4×3×2≤0，m2≤6，即可得− 6≤m≤ 6．
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：甲箱中有2个红球和2个黑球，则P(A0)=C22C42=16，P(A1)=C21C21C42=23，P(A2)=C22C42=16，故A错误；
乙箱中有1个红球和3个黑球，则P(Ai)P(B|A0)=54+2=56，P(B|A1)=44+2=23，P(B|A2)=34+2=12，故B错误；
则P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=16×56+23×23+16×12=23，故C错误；
则P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)P(B)=16×1223=18，故D正确．
故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】解：令f(x)=(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
则f(0)=a0=1，故A正确；
又a1=C51×(−2)=−10，故B错误
又f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5=−1，①
f(−1)=a0−a1+a2−a3+a4−a5=35，②
①+②，得2(a0+a2+a4)=243−1=242，
∴a0+a2+a4=121，故C正确；
又|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0−a1+a2−a3+a4−a5=f(−1)=35，故D正确．
故选：ACD．
令f(x)=(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，分别求得f(0)，f(−1)，f(1)即可作出判断．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，若l/​/m，m⊂β，则l/​/β或者l⊂β，故A错误；
对于B，可以用法向量来思考．l，m所在的方向取α，β的法向量，法向量垂直可推出面面垂直．故B正确；
对于C，若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊂β，l/​/β，或者相交，故C错误；
对于D，过直线m分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，
因为m/​/α，过直线m的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知m/​/s，
同理可得m//t，则s//t，因为s⊄平面β，t⊂平面β，则s//平面β，
因为s⊂平面α，α∩β=l，则s//l，又因为m/​/s，则m/​/l，故D正确．
故选：BD．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，令x=0，可得f(0)=0，所以曲线y=f(x)恒过(0,0)，故A正确；
对于B，当a=1时，f(x)=x−ex+1，则f′(x)=1−ex，
令f′(x)=1−ex=0，解得：x=0，当x0，则f(x)在(−∞,0)上单调递增；
当x>0时，f′(x)0，即x2+1>x，则f(x)2时，由f′(x)=1−aex=0，解得：x=−lna，
当x0，则f(x)在(−∞,−lna)上单调递增，当x>−lna，f′(x)2)，则g′(a)=−1a+1，
所以当a>2时，g′(a)=−1a+1>0，则g(a)在(2,+∞)上单调递增，
所以g(a)>g(2)=1−ln2，即f(x)的最大值大于1−ln2，
而ln20，即f(x)max>1−ln2>0>2−a，所以D正确．
故选：ACD．
12.【答案】6
【解析】解：由已知数据x−=−2−1+0+1+25=0，y−=5+4+2+2+15=2.8，
因为a=−1，则y =−x+b，代入(0,2.8)，得b=2.8，
则y =−x+2.8，令x=−3.2，则y =−(−3.2)+2.8=6．
故答案为：6．
13.【答案】34 32
【解析】解：(1)X～B(2,p)，
则P(X=k)=C2kpk(1−p)2−k，
则P(X=0)=116=C20p0(1−p)2，解得p=34；
(2)X～B(2,p)，由(1)得X～B(2,34)，
则D(X)=npq=2×34×14=38．
Y=2X−1，则D(Y)=4D(X)=4×38=32．
故答案为：34；32．
14.【答案】289π16
【解析】解：根据几何知识可知，当六棱锥P−ABCDEF为正六棱锥时，体积最大，
因为底面正六边形的边长为1，
所以底面外接圆的半径为1，六棱锥的底面积S=6×12×1×1×sin60°=3 32，
设六棱锥的高为ℎ，所以V=13Sℎ=2 3，即13×3 32ℎ=2 3，解得ℎ=4．
设外接球的半径为R，可得R2=12+(4−R)2，
得R=178，
故球O的表面积为4πR2=4π×(178)2=289π16．
故答案为：289π16．
15.【答案】(1)证明：由直棱柱可得：平面ABC⊥平面A1C1CA，平面ABC∩平面A1C1CA=AC，
AB⊥AC，AB⊂平面ABC，
所以AB⊥平面A1C1CA，A1C⊂平面A1C1CA，
所以AB⊥A1C，
又因为AC=AA1，即四边形A1C1CA为正方形，
所以A1C⊥AC1，
又因为AB∩AC1=A，
所以A1C⊥平面ABC1；
(2)由(1)可设以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，

设AB=1，则AB=AC=AA1=1，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，A1(0,0,1)，
所以A1C=(0,1,−1),AB=(1,0,0),AC1=(0,1,1)，
由(1)知，A1B=(1,0,−1),AC1=(0,1,1)，
所以|A1B|= 2,|AC1|= 2,A1B⋅AC1=−1，
记直线A1B与AC1所成角为θ，
则csθ=|cs〈A1B,AC1〉|=|A1B⋅AC1||A1B||AC1|=12，
故直线A1B与AC1所成角的余弦值为12．
【解析】(1)由面面垂直的性质定理可得AB⊥平面A1C1CA，AB⊥A1C，由题意可知四边形A1C1CA为正方形，可知A1C⊥AC1，进而可证得结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
16.【答案】解：(1)零假设H0：喜欢山地自行车项目和性别无关，
由题可得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=30(12×8−6×4)2(12+4)(12+6)(4+8)(6+8)=4514≈3.2140，
令ℎ(x)=0，得x=1或x=12a，
当00，函数ℎ(x)单调递增，
当x∈(1,12a)时，ℎ′(x)12时，12a0，函数ℎ(x)单调递增，当x∈(12a,1)时，ℎ′(x)