2024-2025学年辽宁省抚顺市六校协作体高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省抚顺市六校协作体高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足z(2−i)=|3+4i|，则复数z的虚部是( )
A. 2B. 2iC. 1D. i
2.已知向量a=(1,3)，b=(1,−1)，c=(4,5).若a与b+λc平行，则实数λ的值为( )
A. 219B. 411C. −47D. 2
3.下列说法正确的是( )
A. 一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
B. 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
C. 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
D. 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b═3，c=2 2，A=π4，则a=( )
A. 5B. 5C. 29D. 29
5.已知圆台的上、下底面面积分别为36π和49π，其母线长为5，则圆台的表面积为( )
A. 145πB. 150πC. 155πD. 160π
6.若2sin(α+2022π)−cs(α+π)cs(α−3π2)−3csα=2，则tan(α+π4)=( )
A. 113B. −113C. 311D. −311
7.已知直线x=5π24是函数f(x)= 3sin2ωx2+12sinωx− 32(0sinB，则a>b
B. 若△ABC是锐角三角形，则sinA>csB恒成立
C. 若bcsC−ccsB=a，则△ABC一定是直角三角形
D. 若sin2A+sin2C+cs2B>1，则△ABC一定是锐角三角形
11.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论，其中正确的是( )
A. f(x)是奇函数
B. f(x)在区间(π2,π)上单调递减
C. f(x)的最大值为2
D. f(x)在[−2024π,2024π]有4049个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3.则四棱台的高为______．
13.已知复数z满足|z+2−2i|=1，则|z−3−2i|的最小值为______．
14.日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AB=4，AA1=1．
店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中H−E−E1−F1−F−G−G1−H1−H的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳(不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度).则图A比图B最多节省的彩绳长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知e1,e2是夹角为π2的两个单位向量，a=3e1−2e2,b=2e1−3e2．
(1)求a⋅b的值；
(2)求a与a−b的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形，点M，N，Q分别为PC，CD，AB的中点．
(1)求证：平面MNQ//平面PAD；
(2)在棱PA上确定一点S，使NS//平面PBC，并说明理由．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx−2sin(x+π4)sin(x−π4)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值；
(3)若f(x0)=85，x0∈[π4,π2]，求cs2x0的值．
18.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(csB−csC)=(b+c)csA．
(1)证明：A=2B；
(2)若∠BAC的平分线交BC于D，AD=1，sinB=35，求1b+1c的值；
(3)求ca的取值范围．
19.(本小题17分)
现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形．
(1)求出所有可能的三角形的面积；
(2)如图，已知平面凸四边形ABCD中，AB=1，BC=3，CD=2，DA=4，(ⅰ)求csA，csC满足的数量关系；
(ⅱ)求四边形ABCD面积的最大值，并指出面积最大时BD的值．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：z(2−i)=|3+4i|= 32+42=5，
则z=52−i=5(2+i)(2−i)(2+i)=2+i，
故复数z的虚部是1．
故选：C．
结合复数模公式，复数的四则运算，虚部的概念，即可求解．
本题主要考查复数模公式，复数的四则运算，虚部的概念，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意，b+λc=(1,−1)+λ(4,5)=(1+4λ,−1+5λ)，
又a=(1,3)，a与b+λc平行，
所以3(1+4λ)−(−1+5λ)=0，解得λ=−47．
故选：C．
根据条件，利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示计算得解．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：A选项，这两个平面可能相交或平行，A错误；
B选项，这两个平面可能相交或平行，B错误；
C选项，这两个平面可能相交或平行，C错误；
D选项，一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，根据面面平行的判断定理可知，这两个平面平行，D正确．
故选：D．
根据平面与平面的位置关系及面面平行的判定定理判断即可．
本题考查了平面与平面的位置关系，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：已知b═3，c=2 2，A=π4，
利用余弦定理：a2=b2+c2−2bccsA=9+8−2×3×2 2× 22=5，
解得a= 5．
故选：B．
直接利用余弦定理求出结果．
本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
5.【答案】B
【解析】解：由题意圆台的上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5，
可得圆台的上、下底面半径分别为6和7，
结合圆台的表面积公式可得圆台的表面积为36π+49π+π(6+7)×5=150π．
故选：B．
求出圆台的上、下底面的半径，结合圆台的母线长，代入圆台的表面积公式计算即可．
本题考查了圆台的表面积公式，是中档题．
6.【答案】D
【解析】解：原式=2sinα+csα−sinα−3csα=2tanα+1−tanα−3=2，
所以tanα=−74，
所以tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=1−741+74=−311．
故选：D．
结合诱导公式及同角基本关系进行化简可求tanα，然后结合两角和的正切公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：函数f(x)= 3sin2ωx2+12sinωx− 32= 32(1−csωx)+12sinωx− 32=sin(ωx−π3)，
令：5π24ω−π3=π2+kπ(k∈Z)，解得ω=4+24k5(k∈Z)，
由于0sinα>0，
故csα−sinα>0且csα+sinα>0，复数对应的点在第一象限内，故C正确．
D选项，|z|2=(csα−sinα)2+(csα+sinα)2=2cs2α+2sin2α=2，
则|z|= 2，故D正确．
故选：BCD．
AD选项，利用模长公式得到|z|= 2，A错误，D正确；B选项，根据复数类型得到方程和不等式，求出α=π4；C选项，当α∈(0,π4)时，csα>sinα>0，C正确．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因为sinA>sinB，所以由正弦定理得a2R>b2R，所以a>b，所以A正确；
对于B，若△ABC为锐角三角形，可得A+B>π2且A,B∈(0,π2)，
可得A>π2−B，且π2−B∈(0,π2)，
根据正弦函数的单调性，可得sinA>sin(π2−B)，所以sinA>csB，所以B正确；
对于C，由正弦定理及bcsC−ccsB=a，知sinBcsC−sinCcsB=sinA，
所以sin(B−C)=sinA，因为−π0，则f(x)=sin|x|+|sinx|=2sinx，
此时f(x)在区间(π2,π)上单调递减，选项B正确；
∵f(−x)=sin|x|+|sinx|=f(x)，f(x)是偶函数，∴考虑x≥0的情况即可，
当x∈[2kπ,π+2kπ]，k∈N时，f(x)=sin|x|+|sinx|=sinx+sinx=2sinx，
此时当x=π2+2kπ，k∈N时，f(x)取最大值2；
当x∈(π+2kπ,2π+2kπ]，k∈N时，f(x)=sin|x|+|sinx|=sinx−sinx=0，
综上，f(x)的最大值为2，选项C正确；
当x∈[π,2π]时，sinx≤0，f(x)=sinx−sinx=0，此区间上f(x)有无数个零点，
∴f(x)在[−2024π,2024π]不可能只有4049个零点，选项D错误．
故选：BC．
用函数奇偶性的定义法判断选项A，在给定区间内得到具体函数解析式，利用三角函数的性质求解单调性判断选项B，利用三角函数的性质判断选项C，举反例即可判断选项D．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
12.【答案】 7
【解析】解：正四棱台对角面等腰梯形的高即为该正四棱台的高，
因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3，
则该四棱台对角面等腰梯形的上下底边长分别为2 2,4 2，腰长为3，
因此等腰梯形的高为 32−(4 2−2 22)2= 7，
所以四棱台的高为 7．
故答案为： 7．
根据给定条件，求出正四棱台的对角面等腰梯形的高即可作答．
本题主要考查了正四棱台的结构特征，属于基础题．
13.【答案】4
【解析】解：|z+2−2i|=1，
复数z对应的点的轨迹是以C(−2,2)为圆心，半径r=1的圆，
而|z−3−2i|=|z−(3+2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离．
又|AC|=5，点A(3,2)在圆C外，
所以|z−3−2i|的最小值为|AC|−r=5−1=4．
故答案为：4．
利用复数的几何意义，转化为圆外的点与圆上点的距离问题．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
14.【答案】20−10 2
【解析】解：图A，沿彩绳展开正四棱柱，彩绳长度最小值为 2×(4+1+4+1)=10 2，
图B，彩绳长度最小值为(4+1)×4=20，
则图A比图B最多节省的彩绳长度为20−10 2．
故答案为：20−10 2．
计算出两种捆扎法中绳的长度后相减即得．
本题主要考查 棱柱的展开图及最短距离问题，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由题意知，e1,e2是夹角为π2的单位向量，
故e1⋅e2=|e1||e2|csπ2=0，
所以a⋅b=(3e1−2e2)⋅(2e1−3e2)=6e12−13e1⋅e2+6e22=12；
(2)由题意得，
|a|= (3e1−2e2)2= 9e12−12e1⋅e2+4e22= 13，
|a−b|= (e1+e2)2= e12+2e1⋅e2+e22= 2，
所以a⋅(a−b)=a2−a⋅b=13−12=1，
所以cs〈a,a−b〉=a⋅(a−b)|a||a−b|=1 13× 2= 2626，
即a与a−b的夹角的余弦值为 2626．
【解析】(1)由题意，根据平面向量数量积的定义可得e1⋅e2=0，结合数量积的运算律计算即可求解；
(2)根据数量积的运算律和向量的几何意义计算求出|a|,|a−b|,a⋅(a−b)，结合数量积的定义计算即可求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
16.【答案】证明过程见详解；
S为PA的中点，满足条件．
【解析】(1)证明：因为M，N，Q分别为PC，CD，AB的中点，
可得MN/​/SD，NQ/​/AD，
因为MN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以MN/​/平面PAD，
同理可得NQ//PAD，
MN∩NQ=N，
所以平面QMN//平面PAD；
(2)解：S为PA的中点，
证明如下：
取PD的中点E，
连接SE，EN，因为N为CD的中点，
所以NE/​/PC，SE//AD，AD//BC，
所以SE//CB，
又因为SE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以SE//平面PBC，同理可证得NE/​/平面PBC，
SE∩NE=E，
可证得平面SEN//平面PBC，
又因为SN⊂平面SEN，
所以SN//平面PBC．
(1)由M，N，Q分别为PC，CD，AB的中点，可证得MN/​/SD，NQ/​/AD，进而可证得MN/​/平面PAD，NQ//PAD，进而可证得结论；
(2)S为PA的中点，取PD的中点E，连接SE，EN，因为N为CD的中点，易证得NE/​/PC，SE//AD，可证得平面SEN//平面PBC，进而可证得NS//平面PBC．
本题考查面面平行的判断定理的应用及线面平行的性质的应用，属于中档题．
17.【答案】[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z；
最大值是2，最小值是−1；
4−3 310．
【解析】(1)由题意可得f(x)= 3sin2x−2sin(π2+x−π4)sin(x−π4)
= 3sin2x−2cs(x−π4)sin(x−π4)
= 3sin2x−sin(2x−π2)
= 3sin2x+cs2x
=2sin(2x+π6)，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
可得函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z；
(2)∵x∈[0,π2]，
∴π6≤2x+π6≤7π6，
∴−12≤sin(2x+π6)≤1，
∴函数f(x)=2sin(2x+π6)在区间[0,π2]上的最大值是2，最小值是−1；
(3)∵f(x0)=85，整理可得sin(2x0+π6)=45，
又∵x0∈[π4,π2]，可得2x0+π6∈[2π3,7π6]，
∴cs(2x0+π6)=− 1−sin2(2x0+π6)=− 1−(45)2=−35，
∴cs2x0=cs[(2x0+π6)−π6]
= 32cs(2x0+π6)+12sin(2x0+π6)
= 32×(−35)+12×45
=4−3 310．
(1)利用二倍角公式、诱导公式及辅助角公式化简f(x)，结合正弦函数的单调性求解；
(2)利用正弦函数的性质，可得函数在区间上的最大值和最小值；
(3)若f(x0)=85，可求sin(2x0+π6)=45，进而得出cs(2x0+π6)=−35，再由两角差的余弦公式求解．
本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
18.【答案】证明见解析
85
( 22,2 33)
【解析】(1)证明：∵a(csB−csC)=(b+c)csA，
∴由正弦定理可得sinAcsB−sinAcsC=csAsinB+csAsinC，
∴sinAcsB−csAsinB=sinAcsC+csAsinC，
∴sin(A−B)=sin(A+C)，
∵A+B+C=π，则sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，
∴sin(A−B)=sinB，
由△ABC是锐角三角形，得0