山东省泰安市新泰市2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试卷（解析版）

这是一份山东省泰安市新泰市2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试卷（解析版），共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 若关于的方程是二元一次方程，则m的值为（ ）
A. 2或B. 0C. 2D.
【答案】D
【解析】∵关于的方程是二元一次方程，
∴，
∴，
故选：D．
2. 用加减法解方程组下列解法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A． 得，没有消元，不符合题意；
B． 得，消去x，符合题意；
C． 得，没有消元，不符合题意；
D． 得，没有消元，不符合题意．
故选B．
3. 下列四个命题是真命题的个数是（ ）
①同位角相等
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③平行于同一条直线的两条直线互相平行
④三角形的外角大于内角
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是真命题；
④三角形的外角大于与其不相邻的内角，原命题是假命题；
∴真命题有1个，
故选：A．
4. 如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
A 40°B. 45°C. 50°D. 55°
【答案】C
【解析】∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=50°，
故选C．
5. 在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A. 如图①所示，过三角形一边上点D作
B. 如图②所示，过三角形内部一点P作
C. 如图③所示，过点C作于点D
D. 如图④所示，过三角形外部一点P作
【答案】C
【解析】A、∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，故A不符合题意；
B、∵∴，
∵，
∴同A选项中的证明方法可得，
∴，故B不符合题意；
C、根据现有条件无法证明，故C符合题意；
D、设交于O，
∵，∴，
∵，∴，，，
∵，∴，
∵，
∴，故D不符合题意；
故选；C．
6. 小明去超市买东西花20元，他身上只带了面值为2元和5元的纸币，营业员没有零钱找给他，那么小明付款有几种方式( )
A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种
【答案】B
【解析】设小明带了面值为2元的纸币x张，面值为5元的纸币y张，
由题意得，2x+5y=20，
因为x和y都是非负的整数，
所以x=0，y=4，或x=5，y=2或x=10，y=0，共3种付款方式．
故选B．
7. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是66°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B是（ ）
A. 87°B. 93°C. 39°D. 109°
【答案】B
【解析】如图：过B作直线b平行于拐弯之前的道路a，由平行线的传递性得a∥b∥c，
∵a∥b，
∴∠A＝∠1＝66°，
∵b∥c，
∴∠2+∠C＝180°，
∵∠C＝153°，
∴∠2＝180°﹣153°＝27°，
∴∠ABC＝∠1+∠2＝66°+27°＝93°．
故选：B．
8. 如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘指针指向奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，一共把转盘平均分成为8份（1所在区域可以看出2份），其中奇数区域占5份，则转动转盘指针指向奇数的概率是，
故选：D．
9. 小红在超市买了一些纸杯，她把纸杯整齐地放在一起，如图，根据图中信息，3个纸杯的高度为个纸杯的高度为．若她把20个纸杯放在一起时，纸杯的高度为（ ）
A. 26B. 27C. 25D. 28
【答案】A
【解析】设最下面一个碗的高度为，每增加一个碗高度增加，
由题意得，，
解得，
∴最下面一个碗的高度为，每增加一个碗高度增加，
∴她把20个纸杯放在一起时，纸杯的高度为，
故选：A．
10. 把（其中是常数，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为，若是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，则m的值（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】D
【解析】∵是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，
∴是关于的方程的解，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题
11. 将命题“同角余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式____________________．
【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【解析】命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
12. 若关于的二元一次方程组的解x与y互为相反数，则k的值是_______．
【答案】
【解析】，
①-②，得，
解得：③，
将③代入①，得，
二元一次方程的解x与y互为相反数，
∴，，
故答案：．
13. 一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为______．
【答案】
【解析】设十位数字是，个位数字是，
十位数字比个位数字的倍大，，
这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，
，
可列方程组．
故答案为： ．
14. 如图，将一副直角三角板放置，使含的三角板的较短直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一直线上，则的度数是_____度．
【答案】75
【解析】如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：75．
15. 先阅读下列解方程组求解过程，再解答问题．
已知方程组①的解为，求方程组②的解．
解：将方程组②
变形为方程组③
设，则方程组③可化为方程组④比较方程组④与方程组①可得即
∴方程组②的解为
我们把这种解方程组的方法称为换元法．
若已知方程组的解为则方程组：的解为_______
【答案】
【解析】设，
则方程组可化为．
比较方程组与方程组，
得．
即．
∴原方程组的解为．
故答案为：．
三、解答题
16. 计算：用指定的方法解下列方程组
（1）（用代入法）
（2）（用加减消元法）
（3）（选择你喜欢的方法）
（1）解：
把①代入②得，，
解得，
把代入①得：，
故此方程组的解为 ；
（2）解：
得，，
解得，
把代入①得，，
解得
故此方程组的解为 ；
（3）解：
整理得
得
解得
把代入③得
解得
方程组的解为
17. 在一个不透明的布袋中装有个红球和个白球，它们除颜色外都相同．
（1）求从布袋中摸出一个球是红球的概率．
（2）现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，请问取走了多少个白球？
解：（1）（从布袋中摸出一个球是红球）；
（2）设取走了个白球，根据题意得
，
解得：．
答：取走了5个白球．
18. 当三角形中的一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“二倍角三角形”其中称为“二倍角”，如果一个“二倍角三角形”的一个内角为，求此三角形的二倍角的度数是多少度？
解：设这个三角形的三个角为，
①，时，，此时满足题意；
②，时，，此时满足题意；
③，时，，，此时满足题意；
④，时，，，此时满足题意；
∴这个三角形的二倍角是：或或．
19. 在学习“相交线与平行线”一章时，老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小宁所在组制作了如图1所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理，并且发现无论镜子位置如何改变，入射光线与反射光线与镜子的夹角始终相等，即入射光线与反射光线满足
（1）图2中，代表镜子摆放的位置，当镜子，试判断入射光线m与反射光线n的位置关系，并说明理由
（2）如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置也会随之改变，如图3，当光线m射到平面镜上时，会反射到平面镜上，光线又被平面镜反射，当两面平面镜的夹角的度数是多少时，入射光线m与反射光线n满足呢？并说明理由
（1）解：
理由：
．
，
．
，即．
∴；
（2）解：
理由：，
，
，
．
，
．
20. 【活动回顾】
我们教科书曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线；
结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线．
示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取两点和，作出直线．
【解决问题】
（1）请你在图1所给的平面直角坐标系中再画出以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象．
（2）观察图象，二元一次方程组的解是_______；
【拓展延伸】
（3）如图2所示．在同一平面直角坐标系中，二元一次方程图象是，二元一次方程的图象是，请根据图象，判断方程组的解的情况是_______（不需要说明理由）．
【思维发散】
（4）若二元一次方程组无解，求a的值
解：（1），取点，
则以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象如下：
（2）根据图象可知，两直线的交点坐标为，
∴二元一次方程组的解是
（3）根据函数图象可知，两直线平行，
∴方程组二元一次方程组的解是无解．
（4）∵二元一次方程组无解，即，即，
∴二元一次方程图象和二元一次方程图象平行，
∴
∴
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）问在的图象上是否存在点P，使得的面积是的2倍？若存在，求出点P的坐标．
（1）解：当时，，点坐标为
直线经过点和点，
解得
一次函数的表达式为
（2）解：当时．代入．
解得：，
∴
∴

①当时．代入，
解得：
②当时．代入
解得：
点坐标为或
22. 水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表：
（1）请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？
（2）小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？
（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元，
由题意，得，
解得，
答：正常收费标准为2元，超过部分4元．
（2）解：元，，
不够，元，
答：不够交水费，还差30元.
23. （1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图②，分别平分，若，求的度数．
（3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．

解：（1）∵，，
∴，
∵，∴；

（2）∵分别平分，设，，
则有，∴，
∴

（3）∵直线平分平分的外角，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
时间项目
用水量
费用（元）
1月
11
28
2月
15
44