辽宁省2025年1月普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷03数学（解析版）

这是一份辽宁省2025年1月普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷03数学（解析版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知复数z=1+i2，则z=（ ）
A．2B．2C．1D．12
【答案】A
【解析】复数z=(1+i)2=2i，所以|z|=2.
故选：A.
2．已知集合A=-1,0,1，集合B=x∈Z0≤x≤2，则A∪B=（ ）.
A．-1B．0,1C．0,1,2D．-1,0,1,2
【答案】D
【解析】由B=0,1,2，则A∪B=-1,0,1,2.
故选：D.
3．下列命题中真命题的个数是（ ）
①存在实数m，使得m2+1=0; ②不是所有的直线都有斜率;
③有一个向量的模小于零; ④有一个等比数列中某一项是零.
A．2B．3C．4D．1
【答案】D
【解析】对于①,因为方程m2+1=0无实数根，所以①错误，
对于②，不是所有的直线都有斜率，例如直线x=1就不存在斜率，故②正确；
对于③，任何向量的模都是非负数，故③错误；
对于④，每个等比数列中的所有项都是非零项，故④错误.
故选：D.
4．下列命题中正确的个数是( )
①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a//α；②若直线a//平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行；③若直线a//直线b，直线b//平面α，则直线a//平面α； ④若直线a//平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】对于①，若直线a上有无数个点不在平面α内，则直线a可能与平面α相交，也可能与平面α平行，①错误；
对于②，当直线 a//平面α时，直线a与平面α内的直线平行或异面，②错误；
对于③，当直线a//直线b，直线b//平面α，则直线a//平面α，或直线a在平面α内，③错误；
对于④，当直线a//平面α时，则直线a与平面α无公共点，所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点，④正确.
故选：B.
5．已知fx=ex-2,xb⇒ac2>bc2B．a>b⇒ac>bc
C．a>b⇒a2>b2D．a>b⇒a-c>b-c
【答案】D
【解析】对于A，当c=0时，由a>b，则ac2=bc2=0，故A错误；
对于B，当cb，则ac0，即a-c>b-c，故D正确.
故选：D.
10．2024年度最具幸福感城市调查推选活动于9月16日正式启动，在100个地级及以上的候选城市名单中，成都市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高，现随机抽取10位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，则下列说法错误的是（ ）
A．该组数据的第60百分位数为7.5B．该组数据的极差为5
C．该组数据的平均数为7.5D．该组数据的中位数为7
【答案】C
【解析】A选项：∵10×60%=6，因此该组数据的第60百分位数为7+82=7.5，故A正确；
B选项：该组数据最大为9，最小为4，因此极差为9-4=5，故B正确；
C选项：该组数据的平均数为4+5+6+7+7+7+8+8+9+910=7，故C错误；
D选项：该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，故D正确，
故选：C.
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“tanA=tanB”是“a=b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当a=b时，∠A=B ⇒tanA=tanB；
反之，当tanA=tanB时，A=B+kπk∈Z,
∵0＜A＜π,0＜B＜π, ∴A=B⇒a=b.
则“tanA=tanB”是“a=b”的充要条件.
故选：C.
12．已知函数fx的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）
A．ff-3=5B．fx是单调增函数
C．fx的定义域是-∞,0∪2,3D．fx的值域是1,5
【答案】D
【解析】对于选项A，由图象可得f-3=2，所以ff-3=f2=1，A错误；
对于选项B，f0=4，f2=1，f0>f2，故fx不是单调增函数，B错误；
对于选项C，由图象可得fx的定义域为-3,0∪2,3，C错误；
对于选项D，由图象可得fx的值域为1,5，D正确．
故选：D．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）
13．已知向量a=4,-2，b=2,x．若a//2a-b，则x= ．
【答案】-1
【解析】∵a=4,-2，b=2,x，∴2a-b=6,-4-x，
由a//2a-b得4×-4-x=-12，解得4×-4-x=-12，解得x=-1.
14．一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ．
【答案】3
【解析】∵一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，
∴2+3+x+5+75=4，解得x=3，
由于3出现了2次，其他数据均出现1次，
∴这组数据的众数是3.
15．已知正数a,b满足4a+b=2，则1a+1b取得最小值时，a= ．
【答案】13
【解析】由题意得4a+b=2，又a>0,b>0，
所以1a+1b=1a+1b4a+b⋅12= 124+ba+4ab+1≥12×5+2ba⋅4ab=92
当且仅当ba=4ab a=13,b=23时，取“=”．
故答案为：13．
16．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积是 ．
【答案】22π3
【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.
则由题意：2πrl=2π32πr=2π ⇒ r=1l=3，
所以h=32-1=22.
所以圆锥的体积为：V=13⋅πr2⋅h=223π.
故答案为：22π3.
三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知向量a=(-1,3),b=(x,2)，且(a-2b)⊥a.
(1)求|a+b|;
(2)求a-b与a的夹角.
解：（1）因为向量a=(-1,3),b=(x,2)，所以a-2b=(-1-2x,-1)，
由(a-2b)⊥a得1+2x-3=0，
解得x=1，所以b=(1,2) ，
又a+b=(0,5)，所以|a+b|=02+52=5.
（2）设向量a-b与向量a的夹角为θ，因为a=(-1,3),a-b=(-2,1)，
所以csθ=(a-b)⋅a|a-b|⋅|a|=510×5=22，
又0°≤θ≤180°，所以θ=45°，
即向量a-b与向量a的夹角是45°.
18．甲、乙、丙3名同学各自独立的求解某道数学题，已知甲能解出该题的概率为23，乙能解出而丙不能解出该题的概率为18，甲、丙都能解出该题的概率为12．
(1)求乙、丙各自解出该题的概率；
(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
解：（1）设事件A为“甲独立解出该题”，事件B为“乙独立解出该题”，事件C为“丙独立解出该题”，
则PA=23，PB⋅1-PC=18，PA⋅PC=12，
解得PB=12,PC=34，
即乙独立解出该题的概率为12，丙独立解出该题的概率为34.
（2）甲、乙、丙3人都未解出该题的概率为1-PA1-PB1-PC=1-231-121-34=124，
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为1-124=2324.
19．如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90∘，∠BAD=30∘，点E，F满足AE=25AD，AF=12AB，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC=43.
(1)证明：EF⊥PD；
(2)求五棱锥P-BCDEF的体积.
（1）证明：由AB=8，AD=53，AE=25AD，AF=12AB，
得AE=23，AF=4，又∠BAD=30∘，在△AEF中，
由余弦定理得EF=AE2+AF2-2AE⋅AFcs∠BAD=16+12-2⋅4⋅23⋅32=2，
所以AE2+EF2=AF2，则AE⊥EF，即EF⊥AD，
所以EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE=E，PE、DE⊂平面PDE，
所以EF⊥平面PDE，又PD⊂平面PDE，故EF⊥PD；
（2）解：PE=AE=23，ED=33，∵CD⊥AD，EF⊥AD，
∴CD//EF，即CD⊥平面PED，所以CD⊥PD，PD=PC2-CD2=39，
且PE2+ED2=PD2，所以PE⊥ED，由（1）EF⊥PE，
而EF,ED是平面BCDEF内的两条相交直线，
由此得PE⊥底面BCDEF，PE即为五棱锥的高，过B点作BG//EF.则BG=2EF=4，
S五边形=S梯形EEBG+S梯形CDBG=12×2+4×23+12×3+4×3=1923，
V=13S五边形×PE=13×1923×23=19.
20．已知函数fx=sin2x-sin2x+π3．
(1)求函数fx的最小正周期；
(2)已知锐角△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b=2,c=3，若fA=32，求△ABC的面积．
解：（1）fx=sin2x-sin2x+π3=sin2x-sin2xcsπ3-cs2xsinπ3
=12sin2x-32cs2x=sin2x-π3，
所以函数fx的最小正周期T=2π2=π．
（2）因为fx=sin2x-π3，所以fA=sin2A-π3=32．
因为A是锐角三角形的内角，所以2A-π3=π3或2A-π3=2π3（舍去），
所以A=π3．又b=2,c=3，
所以△ABC的面积S=12×2×3×sinπ3=332．
21．已知函数fx+1=x2+2x+5x+1.
(1)求fx的解析式；
(2)判断fx在2,+∞上的单调性，并用定义法证明；
(3)若对任意的x∈4,+∞，都有fx≥2m+1，求m的取值范围.
解：（1）∵fx+1=x2+2x+5x+1=x+12+4x+1=x+1+4x+1，∴fx=x+4x.
（2）fx在2,+∞上单调递增，证明如下：
任取x2>x1≥2，
fx2-fx1=x2+4x2-x1-4x1=x2-x1+4x1-x2x1x2=x2-x11-4x1x2
=x2-x1x1x2-4x1x2，
∵x2>x1≥2，∴x2-x1>0，x1x2>4，∴fx2-fx1>0，
∴fx在2,+∞上单调递增.
（3）由（2）知：fx在4,+∞上单调递增，∴fxmin=f4=4+1=5，
∴2m+1≤5，解得：m≤2，∴m的取值范围为-∞,2.