云南省红河州、文山州、普洱市、临沧市2025届高三下学期复习统一检测数学试题（解析版）

这是一份云南省红河州、文山州、普洱市、临沧市2025届高三下学期复习统一检测数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，所以．
故选：C
2. 已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上，
所以，解得，所以椭圆的长轴长为．
故选：B.
3. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 或1
【答案】D
【解析】因为，，
所以，解得．
故选：D．
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式
．
故选：A．
5. 广东省第十二届大学生运动会将于2025年5月5日至6月5日在广州市举行．某电视台为了报道此次运动会，计划从甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道．若记者甲被选中，则记者乙也被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设“记者甲被选中”为事件，“记者乙被选中”为事件，
则“记者甲和记者乙都被选中”为事件．
因为，，所以．
故选：D．
6. 函数的零点个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】，，
令，得或；令，得，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以函数极大值为，极小值为，
当时，，当时，，
所以函数的零点个数为2．
故选：C．
7. 在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】设，如图所示，将四棱锥补成长方体，
则四棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，
因为，，即，所以．
又，所以与所成的角即为或其补角，
由题意以及长方体结构特征知和均为直角三角形，
所以，，
所以．
可知与所成的角为，所以与所成的角的正弦值为．
故选：B．
8. 定义在上的函数满足：都有，，且，则（ ）
A. 45B. 46C. 91D. 92
【答案】B
【解析】由①，得：②，
②得：③，
又④
③+④得：⑤，
由①和⑤，得：，
所以，，，，，
以上式子相加得，
则.
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在菱形中，点，分别是，的中点，，，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，因为菱形对角线互相垂直平分，所以，因此，故A错误；
对于B，在菱形中，点，分别是，的中点，
所以，．
根据向量加法的三角形法则，，故B正确；
对于C，显然，故C错误；
对于D，因为，，所以．
因为，
所以，故D正确．
故选：BD．
10. 长时间玩手机可能影响视力．为研究近视与玩手机时长的关系，某市随机抽取1000名高中生进行调查，其中有40%的人近视．而这1000名学生中有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率达50%．根据以上数据得到如下列联表：
附：
参考公式：，其中．
下列说法正确的是（ ）
A.
B. 依据小概率值的独立性检验，认为玩手机时长与近视之间有关
C. 用频率估计概率，若从该市高中生中随机抽取5人进行视力调查，记近视人数为，则的数学期望
D. 若从列联表中每天玩手机超过1小时的人中随机抽取3人，记近视人数为，则
【答案】ABD
【解析】对于A，，，，
，
因为每天玩手机超过1小时的学生近视率为，所以，
所以，，，，故A正确；
对于B，通过计算得出，
所以依据小概率值的独立性检验，
认为玩手机时长与近视之间有关，故B正确；
对于C，根据二项分布的定义，服从二项分布，且，故C错误；
对于D，由题知，服从超几何分布，所以，故D正确．
故选：ABD．
11. 已知一圆台上、下底面半径分别为1，3，母线长为4，下列说法正确的是（ ）
A. 该圆台的体积为
B. 该圆台母线与下底面所成的角为
C. 存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切
D. 过该圆台的轴上一点作平行于下底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积最小值为
【答案】ACD
【解析】设，，，则圆台的高为，
对于A，，正确；
对于B，设母线与底面所成角为，则，所以，错误；
对于C，设梯形为圆台的轴截面，
圆台上、下底面圆心分别为，，则，与球心共线．
若存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切，
如图所示，圆为梯形的内切圆，为圆与的切点，
由圆的切线性质可得，，即，
因为成立，所以，存在一个球与该圆台的两个底面和侧面都相切，正确；
对于D，若剩下的几何体体积最小，则圆柱的体积最大，
设圆柱的半径为，高为，体积为，
可知，，
，
当时，，当时，，
所以，当时，
所以剩下几何体的体积最小值为，正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，若，则_____．
【答案】0.34
【解析】因为，
所以．
故答案为：.
13. 已知直线（，），若直线被圆所截得的弦长为，则的最大值为_____．
【答案】
【解析】因为圆的半径，圆心，直线被圆截得的弦长为，
所以圆心在直线上，即，
又因为，当且仅当时，等号成立．
所以得的最大值为．
故答案为：
14. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则_____．
【答案】
【解析】如图，在中，，所以，
所以，
又因为轴，所以，因此，
故直线的方程为，联立，得，
设，，则，由抛物线的定义知，
而，所以，在中，，，
由余弦定理，得，
解得．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知为数列的前项和，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求取得最大值时的值.
解：（1）当时，，解得；
当时，，即.
因也满足，所以.
（2）由（1）得，所以，
所以当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，
所以，
故当或时，取得最大值
16. 已知函数的最小正周期为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，角的对边分别为，，从下列①，②中任选一个作为条件，求的取值范围．
条件①：若的面积为，；
条件②：．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）
解：（1）由题意可知，解得，所以，
令，，可得，，
所以函数的单调递增区间为，．
（2）选①，由，可得，
由余弦定理可得，，所以，
化简可得，即，因为，所以.
因为，
由余弦定理可得，，则，所以，
又因为，所以，即，解得，
又因为，所以．
所以的取值范围是.
选②，由，可得，
根据正弦定理，有，
因为,
所以，
化简得，又因为，所以，即，
因为，所以.
因为，
由余弦定理可得，，则，所以，
又因为，所以，即，解得，又因为，所以．
所以的取值范围是.
17. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）设，求函数在区间上的最大值．
解：（1）函数的定义域为，
由，则切线的斜率，
又，故切点为，
所以切线的方程为，即．
（2）因为，
则，得；，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，有极大值，无极小值．
（3）由（2）得：当且，即时，
在上恒成立，函数在上单调递增，
所以；
当，即时，
时，，时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以；
当时，在上恒成立，函数在上单调递减，
所以，
综上所得：当时，；
当时，；
当时，．
18. 已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点．
①证明：直线过定点；
②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
所以右焦点为到渐近线的距离为，
因为双曲线的离心率为，所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）①设，，
联立，得，
则，，，
所以，
，
因为以线段为直径的圆经过点，所以，
所以，即，
所以，
化简得，即，
因为，，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点；
②假设双曲线上存在点，使为的重心，
则，即，
由①知，，
所以，又，所以，
因为点在双曲线上，所以，即，
化简得，即，
所以，或(舍)，
又因为，所以假设不成立，
故双曲线上不存在点，使为的重心．
19. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一个重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系．其特例是球面三角形总曲率与球面三角形的面积满足，其中为球的半径．如图1，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为圆心的圆）的圆弧连接起来，所围成的图形叫做球面三角形，若平面，平面，平面两两所成的二面角的平面角分别为，，，则球面三角形的面积，已知．
（1）若图1中，求劣弧的长；
（2）若图1中球面三角形中的劣弧，，的长均为，求球面三角形的总曲率；
（3）由图1截出三棱锥，并延长使，得到图2所示的三棱锥，若，，，为线段上的一个动点，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，求的最大值．
解：（1）设劣弧的长度为，因为，，
所以；
（2）设，，的长度为，，
则，且，所以，，，
故平面，平面，平面两两垂直，得，
所以球面三角形的面积，
故球面三角形的总曲率；
（3）由余弦定理知：，所以，
，所以，
因为，所以，因为，故，
由题知，是球的直径，则，，
因为，，且，平面，所以平面，
又平面，则，
因为，，且，平面，所以平面，
因为，所以为等腰直角三角形，
所以．
因为，，两两垂直，
以为坐标原点，以，所在直线为，轴，过点作的平行线为轴，
建立如图空间直角坐标系，设，，则，
，，，，，
，，
则，，，，
设平面法向量，则，
取，则，，可得，
设平面法向量，则，
取，则，，可得，
要使取最大值，则取最小值，取最大值，
因为
，
令，，则，，
可得，
当且仅当，即时等号成立．
则取最大值，为最小值，所以．
近视
不近视
合计
每天玩手机超过1小时
每天玩手机不超过1小时
合计
1000
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828