云南省红河州、文山州2024-2025学年高二上学期期末统一检测数学试题（解析版）

这是一份云南省红河州、文山州2024-2025学年高二上学期期末统一检测数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知，则的值为， 双曲线与双曲线的， 已知幂函数，则等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知得，所以.
故选：C.
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
3. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设且，则，
由，则，
解得.
故选：B.
4. 双曲线与双曲线的（ ）
A. 实轴长相等B. 虚轴长相等
C. 离心率相等D. 焦距相等
【答案】D
【解析】的实轴的长为，虚半轴的长为4，
因为，所以曲线是双曲线，
实轴的长为，虚轴的长为，
显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确；
双曲线与双曲线的离心率分别为：和，不相等，所以C不正确．
双曲线与双曲线的焦距都为8，焦距相等，所以D正确；
故选：D．
5. 设直线与圆相交于两点，则的面积为（ ）
A. 8B. C. D. 4
【答案】B
【解析】由题意，圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
则，
由此，.
故选：B.
6. 已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】圆的标准方程为：，圆心.
圆的标准方程为：，圆心.
所以线段的中点为，
由题意，为线段的垂直平分线，且，所以，
所以的方程为，则.
故选：D.
7. 对三维空间中不共线的三点和任一点，点在平面内的充要条件是存在唯一有序实数组，使且.现已知四点共面，为空间中任意一点，且满足，其中，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 4
【答案】A
【解析】由题意知，即，
因为四点共面，所以，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
8. 中国古代雕刻艺术中“鬼工球”工艺精妙绝伦，其层层嵌套的结构展现了极高的技艺水准.在现代数学与雕刻艺术的融合探索中，有雕刻师以棱长为6的正方体玉石为材料进行创意雕刻.在正方体内部雕琢出一个可以任意转动的球，在该球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）.假设雕刻过程不计各层厚度与材料损失，那么最内层正四面体的棱长最长为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】A
【解析】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，则该球半径，如图所示：
设为正四面体的外接球球心，则，
平面，为底面等边的中心，
设正四面体的棱长为，则，，
在中，，即，
解得，即.
故选：A.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平面直角坐标系中三个点，点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 是锐角三角形
B. 在上的投影向量为
C.
D. 若四边形为平行四边形，则点的坐标为
【答案】ABD
【解析】由题意，，，，
则，即为等边三角形，则是锐角三角形，故A正确；
因为在上的投影向量为，故B正确；
对于C选项：因为点为线段中点，所以，
所以，又，所以，故C错误；
对于D选项：设，则，
若四边形为平行四边形，则，即，
即，解得，所以，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知幂函数，则（ ）
A.
B. 的定义域为
C. 为非奇非偶函数
D. 不等式的解集为
【答案】AB
【解析】对于A：由题意，解得，正确；
对于B：的定义域为，正确；
对于C：，所以函数为偶函数，错误；
对于D：为偶函数且在单调递增，
由得，解得或，错误；
故选：AB.
11. 已知点，动点到的距离和它到直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线.直线与曲线交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线的方程为：
B. 曲线上存在点，使得
C.
D. 若为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则
【答案】AD
【解析】对于A选项：设，由动点到距离和它到直线的距离的比是常数，得，化简得曲线的方程为：，故A正确；
对于B选项：假设存在，则，
而的最小值为，与假设矛盾，所以假设不成立，
即不存在点，使得，故B错误；
对于C选项：设联立方程组，
化简得：，由根与系数的关系，，
所以，故C错误；
对于D选项：由题知关于原点对称，设，则，
设，
因为点是曲线上的点，
所以，，
由，
得，
故D正确；
故选：AD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的高为__________.
【答案】
【解析】由题意知：，解得，
所以该圆锥的高.
13. 已知双曲线与直线有唯一的公共点.请写出一个符合题目条件的值__________.
【答案】（答案不唯一，，中写出一个即可）
【解析】易知双曲线C的渐近线方程为：，
当直线与渐近线平行，即斜率时，此时直线方程为或，
由，消得到，所以与只有一个交点，
由，消得到，所以与只有一个交点，
故满足题意，
当直线与渐近线不平行，联立方程组，
消并化简得，
由题意知，解得.
综上所述，或时，直线与双曲线C有唯一的公共点.
故答案为：（答案不唯一，，中任取一个即可）
14. 函数的部分图象如图所示.若时，方程恰好有三个实根，则__________.
【答案】
【解析】观察图象知，图象过点，
则，即，而，则，
于是，又图象过点，
结合图象趋势，得，解得，
因此，
由，得的图象对称轴，
当时，，
结合图象知，关于对称，关于对称，
所以.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织了高二年级的1000名学生参加奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求该样本的第75百分位数；
（2）该校计划从参加本次奥运知识能力测试成绩优秀（80分及以上）的学生中，采用按成绩等比例分层随机抽样的方法，从中抽取6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学进行交流，求这2名同学分数在各一人的概率.
解：（1）由频率分布直方图可知：前4组的频率之和为
，
前5组的频率之和为，
所以第75百分位数落在第5组，设为，
则，解得.
故该样本的第75百分位数为82.5.
（2）采用分层抽样从）和抽取6名同学，
因为，
所以应在成绩为的学生中抽取4人，记为；
在成绩为的学生中抽取2人，记为；
再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学的样本空间有如下：
，共15种；
其中在各一人的有：
，共8种；
由此，这2名同学分数在各一人的概率为.
16. 在中，角的对边分别为，已知，.
（1）求角和；
（2）在边上取一点，使得，求的值.
解：（1）
由及正弦定理得，
即，
所以，
由知，故，又，所以.
由余弦定理得
即解得或（舍去），所以.
（2）在中，由正弦定理得所以，
在中，因为，
故为钝角，所以为锐角，因此.
又，所以，
又为锐角，所以，
所以.
17. 如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，，为的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：连接，
因为，且，所以为正三角形，
因为为的中点，所以，且，
所以，则，
又，所以，所以，所以，
又平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可知平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，则，
取，则，设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.
（1）求在上的最大值：
（2）设，求在上的最大值：
（3）将这3个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
解：（1）函数的定义域为在区间上为增函数，
在区间上为减函数，根据函数最值的定义，最大值为
（2）当，即时，在上单调递增，
故；
当时，在上单调递减，故；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以.
综上，时，；时，；时，.
（3）结论：
证明如下：由于这三个都是正数，等价于证明.
因为幂函数在上为增函数，又，所以.
由题设可知在区间上减函数，
又，所以，变形为，故；
综上，，所以.
19. 已知直线与关于抛物线的准线对称，的焦点为.
（1）求的方程；
（2）若斜率为直线与交于两点，且，求直线的方程：
（3）为上两点，且，求面积的最小值.
解：（1）抛物线的准线方程为，
由题意知与到的距离相等，即，解得.
故抛物线的方程为.
（2）设.
因为，根据抛物线的定义得，所以.
设直线，联立，
化简得，故.
由，解得，满足.则直线的方程为.
（3）因为焦点坐标为，则直线的斜率存在.
设直线的方程为：.
由可得，
则，
即.
因为，所以，
即.
将代入上式，
化简得.
所以，且，
解得或.
设到直线的距离为，
则.
.
所以的面积.
因为或，
所以当时，的面积最小值为.