2025年中考数学总复习课件(山东省专用)25 第一部分 第四章 第五节 解直角三角形及其应用

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考点一　锐角三角函数的定义1．锐角三角函数基本定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．
2．特殊角的三角函数值
考点二　解直角三角形1．解直角三角形：由直角三角形中____的元素，求出其他所有____元素的过程，叫做解直角三角形．2．解直角三角形常用的关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a，b，c．(1)三边关系：____________；(2)两锐角关系：_______________；(3)边角之间的关系：sin A＝cs B＝__，cs A＝sin B＝__，tan A＝__，tan B＝___．
考点三　解直角三角形的应用1．仰角与俯角(1)仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．(2)俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
2．坡度和坡角(1)坡度(坡比)：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比，记作i，i＝__．(2)坡角：坡面与水平面的夹角，记作α，i＝_____．
3．方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角．
4．(鲁教版九上P48习题2.9T2改编)如图，小文家所在居民楼高AB为56 m，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角α是45°，大厦底部D的俯角β是37°，大厦的高度CD是 ______ m．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
考点突破 对点演练
易错警示　三个锐角三角函数值都是直角三角形的两边之比，求三角函数值时一定要分清是哪两条边之比．
【典例2】　计算：(－1)2＋2sin 45°－cs 30°＋sin 60°＋tan260°．
温馨提示　应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
命题点2　解直角三角形【典例3】　如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝32°，AB＝4，点D在BC边上，且∠CAD＝37°，求CD的长．(结果精确到0.1，参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 32°≈0.53，cs 32°≈0.85，tan 32°≈0.62)
归纳总结　科学选择解直角三角形的方法口诀已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦．
归纳总结　解直角三角形的基本模型(1)母子型：(2)背靠背型：解题方法：这两种模型中都有一条公共的直角边，解题时，往往以这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解．
2．(2023·泰安)在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为50°，后退60 m(CD＝60 m)到D处有一平台，在高2 m(DE＝2 m)的平台上的E处，测得B的仰角为26.6°．则该电视发射塔的高度AB为 ________m．(精确到1 m．参考数据：tan 50°≈1.2，tan 26.6°≈0.5)
55　[过点E作EF⊥AB，垂足为点F，由题意，得AF＝DE＝2 m，EF＝AD，BA⊥DA，设AC＝x m，∵CD＝60 m，∴EF＝AD＝AC＋CD＝(x＋60)m，在Rt△ABC中，∠BCA＝50°，∴AB＝AC·tan 50°≈1.2x(m)，
3．(2022·泰安)如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2 m，窗台的高度CF＝1 m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8 m，则CP的长度为_______(结果精确到0.1 m，参考数据：tan 30°≈0.58)．
【教师备选资源】(2020·泰安)如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26 m，斜坡AB的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移________m时，才能确保山体不滑坡．(取tan 50°≈1.2)
课时分层评价卷(十八)　解直角三角形及其应用
6．(2024·黑龙江绥化)如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50 m，则这栋楼的高度为___________m(结果保留根号)．
8．(2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan ∠ACB＝1．(1)求BC的长；(2)求sin ∠DAE的值．
11．[数学文化](2024·江西)将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan ∠CAB＝________．
13．[项目式学习试题](2024·滨州)【教材呈现】人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
【拓展应用】如图2，四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，CD＝4，∠B＝∠C＝90°．求过A，B，D三点的圆的半径．