甘肃省定西市安定区城区三校联考2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份甘肃省定西市安定区城区三校联考2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．4B．C．D．
2．已知∠α=35°，那么∠α的余角的补角等于
A．35°B．65°
C．125°D．145°
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在菱形中，对角线相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为（ ）
A．4B．16C．12D．20
6．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．陕西饮食文化远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）

A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
8．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．分解因式： ．
12．剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为 ．
13．在正数范围内定义一种运算：，如，若，则m的值为 ．
14．如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）．
15．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是 ．
16．鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆O的直径，C，D是弧上两点，．张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：，并指出它的所有的非负整数解．
19．淇淇在化简代数式 时出现了错误，他的解答步骤如下：
解：原式 第一步
第二步
第三步
(1)淇淇的解答过程是从第 步开始出错的；
(2)写出正确的解答过程，并求出当时代数式的值．
20．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接．
（2）直接写出引理的结论：线段的数量关系．
21．甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容．
(1)求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率；
(2)若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率．
22．安定区某学校无人机兴趣小组在飞行物限高50米的某区域内举行无人机试飞比赛，该兴趣小组利用所学知识对某同学的无人机高度进行了测量，如图，他们先在点E处用高1.5m的测角仪EF测得无入机A的仰角为30，然后沿水平方向EB前行20m到点C处，在点C处测得无人机A的仰角为60°．请你根据该小组的测量方法和数据，求无人机的位置点A距离地面的高度？（结果精确到0.1，参考数据：）
23．《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：分及以上为优秀，分为良好，分为及格，分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如下：
（1）根据上述数据，补充完成下列表格．
整理数据：
分析数据：
（2）该校目前七年级有人，八年级有人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？
（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．
24．反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点，

(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积．
25．如图，已知是的直径，切于点，交于点为的中点，连接．.

(1)求证：是的切线（提示：利用是直角三角形斜边的中线进行证明）
(2)若，求的正切值．
26．如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、．
(1)试判断，，之间的数量关系；
(2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程．
(3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系．
27．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
七年级
八年级
等级
频数年级
优秀
良好
及格
不及格
七年级
八年级
年级
平均数
众数
中位数
七年级
八年级
《2025年甘肃省定西市安定区城区三校联考一模数学试题》参考答案
1．D
解：的倒数是．
故选：D．
2．C
解：∵∠α=35°，
∴∠α的余角为：90°-35°=55°，
∴∠α的余角的补角为：180°-55°=125°，
故选C.
3．B
A、不属于同类项，无法合并相加，因此选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选：B．
4．C
解：六边形是正六边形，
，
由对称性可知，
故选：C．
5．B
∵四边形是菱形，
∴，
又点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴菱形的周长，
故答案选：B．
6．B
解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：B．
7．A
解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，
，
，
，
即的半径为．
故选：A．
8．D
解：∵点A、B的坐标分别为，，
∴，
∵四边形是菱形
∴，
∵，
∴，
∴
故选：D．
9．C
解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；
故选C．
10．D
解：设菱形的边长为：，过点作交于点，
由图可得，当点运动到点时，面积最大，为，
∴，
解得：；
当点运动到点时，停止运动，此时面积为，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
11．
故答案为：．
12．
解：图中剪纸的对称轴为y轴，
点关于y轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
13．5
解：由题意得：，即
∴或
解得：（舍去）或．
故答案为：5．
14．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
15．
解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，
由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0），
∴0=a（6-2）2+5，解得：，
∴抛物线解析式为：
当x=0时，
∴水管的长度OA是m．
故答案为：．
16．
解：连接，如图所示：
由圆内接四边形的性质可得，，
∴，
∴，
∴这块扇形玉石的面积，
故答案为：．
17．1
．
18．；非负整数解为：0，1．
解：由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
满足的非负整数解为：0，1
19．(1)一
(2)过程见解析，
（1）解：由题意知，第一步中完全平方公式计算错误，
故答案为：一；
（2）解：原式
，
当时，原式．
20．（1）①见解析；②见解析；（2）
解：（1）作出线段的垂直平分线，连接；
以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示：
（2）结论：．理由如下：
由作图可得：是的垂直平分线，



四边形是圆的内接四边形，





21．(1)
(2)
（1）小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为；
（2）将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下：
由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种，
∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为．
22．76.5m
.
由题意得：，
，
设，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
23．（1）；；；（2）70人；（3）七年级学生的体质健康情况更好．
（1）八年级及格的人数是，平均数，中位数；
故答案为；；；
（2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有人；
（3）根据以上数据可得：七年级学生的体质健康情况更好．
24．(1)一次函数的表达式为；函数图象见解析；
(2)或
(3)2
（1）∵一次函数（）的图象与的图象交于，两点，
∴把，分别代入，得，
，
解得，，
∴，，
把，代入，得：
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
画出函数图象如下图：

（2）∵直线与反比例函数交于点A（1，4），B（-2，-2）
∴当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集为或；
（3）如图，

对于，当时，，
解得，，
∴点C的坐标为（-1，0）
∵A（1，4）
∴
25．(1)见解析
(2)
（1）连接，如图，
是的直径，
，
，
∵E为的中点，
，
，
，
，
∵切于点，，
，
是的切线
（2）在中，
，
，
，
，
，
即，
连接，则，
，

26．(1)
(2)，证明见解析
(3)
（1）解：，证明如下：
四边形是正方形，
，
由旋转的性质可得：，，，，
，
点、、共线，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：，
证明如下：
如图，在上取，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，将绕点逆时针旋转得，
，，，
，
，
点、、共线，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
27．(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2
(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）
(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；
（2）∵y=﹣x2+x+2，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．
作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；
（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2，
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），
∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，
=××2+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
∴E（2，1）．
小肃小甘
A
B
C
D
A
(A，A)
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
(B，B)
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
(C，C)
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
(D，D)