2024-2025学年福建省莆田市高二上册10月月考数学质量检测试卷

这是一份2024-2025学年福建省莆田市高二上册10月月考数学质量检测试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知点，则直线的斜率是（ ）
A B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ）
A. B. C. D.
3. 过原点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在平行六面体中，，，则的长为（ ）
A. B. C. 85D. 97
6. 若两平行直线与之间的距离是，则m+n＝（ ）
A 0B. 1C. D.
7. 已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ）
A. B. C. D.
8. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
A B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如果，，那么直线经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 非零向量，，若，则
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线
11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ）
A. 与平面的夹角的正弦值为B. 点到的距离为
C. 线段长度的最大值为D. 与的数量积的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为______．
13. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________.
14. 已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为__________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 菱形的顶点、的坐标分别为、，边所在直线过点．
（1）求边所在直线的方程；
（2）求对角线所在直线方程．
16. 已知空间向量．
（1）若，求；
（2）若，求的值．
17. 已知直线的方程为.
（1）求证：不论为何值，直线必过定点；
（2）过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长.
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．

（1）证明：平面；
（2）若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．

（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若，求与夹角的余弦值．