广东省广州市天河区2025届高三下学期综合测试（二）数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号
填写在答题卡相应的位置上，再用 2B 铅笔把考号的对应数字涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不
按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的定义，可得答案.
【详解】由题意可得 ，则 .
故选：D.
2. 满足 的集合 A 的个数为（ ）
A. 3 B. 7 C. 8 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次方程以及集合之间的包含关系，可得答案.
【详解】由 ，整理可得 ，解得 或 ，
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则 ，设 ，所以 ，可得 .
故选：B.
3. 已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，75 成等比数列，且 ，则数列 的公差 （ ）
A. B. 2 C. 5 D. 2 或 5
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的通项公式和求和公式， 结合等比数列的性质， 解方程可得首项和公差， 进而得到
所求值.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由 ， ，75 成等比数列可得 ，
即 ，
①，
又 ，即 ② ，
由①②解得 ， ，
故选：B.
4. 函数 的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出 为奇函数，排除 BD；再根据当 趋向于 时， 趋向于 0，C 错误，A 正确.
【详解】 恒成立，故 的定义域为 R，
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，
故 为奇函数，BD 错误；
当 趋向于 时， 的增长速度远大于 的速度，
故 趋向于 0，C 错误，A 正确.
故选：A
5. 已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近线与圆 交于 A，
B 两点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而求出弦长作答.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，
于是双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
当渐近线为 时，点 到此直线距离 ，即直线 与已知圆相离，
不符合要求，
当渐近线为 时，点 到此直线距离 ，则直线 与已知圆相
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交，
所以弦长 .
故选：D
6. 某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为 ，高为 16cm，
母线长为 20cm，如果要对 100 个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要 100 克涂料，则共
需涂料（ ）
A. 克 B. 克 C. 克 D. 克
【答案】C
【解析】
【分析】先求圆台的底面半径，计算圆台的侧面积，即可得到答案.
【详解】作圆台的轴截面如图：
梯形 为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为 、 ，再取 中点 ，连接 ，
则 中，因为 ，所以 ， ，所以 .
所以 .
所以灯罩的侧面积为： .
所以 100 个灯罩的外表面面积为： .
又每平方米需要 100 克涂料，所以共需涂料 克.
故选：C
7. 已知函数 的部分图象如图所示， 为图象与 轴的交点，
为图象与 轴的一个交点，且 .若实数 ， 满足 ，则 （ ）
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A. B. 0 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先根据函数图象确定 的值，再利用 、 两点坐标及距离公式求出 点纵坐标，进而确定 ，
然后求出 得到函数表达式，最后根据 计算 .
【详解】由正弦函数 的图象可知， ，
则 .
已知 ，设 ，根据两点间距离公式，因为 ，
所以 ，即 ，
解得 （由图象可知 点纵坐标为负）.
因为 在 的图象上，所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，则 .
因为 在 的图象上，所以 ，
即 ， ， ， ， .
由图象可知， （ 为函数周期）， ，又 ，所以 ， ，
当 时， 满足条件，所以 .
因为 的最大值为 ，最小值为 ，
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已知 ，所以 ， 一个为 ，一个为 .
不妨设 ， ，则 ， ，解得 ；
， ，解得 .
所以 .
将 代入 得：
.
故选：C.
8 已知 ， .设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意整理对数式，根据已知的大小关系，结合对数的运算律与公式，可得答案.
【详解】由题意可得 ， ，
因为 ， ，所以两边取对数整理可得 ， ，所以
又 ， ， ，
且 ，即 ，
所以 ， ，所以 .
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ， 为 的导函数，则（ ）
A. 曲线 在 处的切线方程为
B. 在区间 上单调递增
C. 在区间 上有极小值
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D. 在区间 上有两个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】求出函数 ，再利用导数的几何意义求解判断 A；结合单调性、极小值意义判断 BC；求出零
点个数判断 D.
【详解】依题意， ，
对于 A， ， ，所求切线方程为 ，A 错误；
对于 B，当 时， ， 在区间 上单调递增，B 正确；
对于 C， 在 上都单调递增，则函数 在 上单调递增，
， ，则存在唯一 ，使得 ，
当 时， ；当 时， ，因此 在 处取得极小值，C 正确；
对于 D，由选项 C 知， 在 上有唯一零点，又 ，
当 时， ，即 ， ，
因此 在区间 上有 1 零点，D 错误.
故选：BC
10. 某校高三年级在一次考试后，为分析学生的学习情况，从中随机抽取了 200 名学生的成绩，整理得到如
图所示的频率分布直方图.为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这 200 名学生中，成绩位于
的学生成绩方差为 13.75，成绩位于 的学生成绩方差为 7.75.则（ ）
A.
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为 76.14
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C. 估计该年级在 80 分及以上的学生成绩的平均数为 87.50
D. 估计该年级在 80 分及以上的学生成绩的方差为 31
【答案】ACD
【解析】
【分析】A 选项利用各长方形的面积之和为 1 可求 ；B 选项利用中位数左边的直方图的面积等于 0.5 即可
列式求解；C，D 选项利用平均数和方差的计算公式进行求解即可.
【详解】对于 A 选项，在频率分布直方图中，各长方形的面积之和为 1，
则 ，解得 ，故 A 正确；
对于 B 选项，前两个矩形的面积之和为 ，
前三个矩形的面积之和为 ，
设该年级学生成绩的中位数为 ，则 ，
根据中位数的定义可得 ，解得 ，
所以，估计该年级学生成绩的中位数约为 77.14，故 B 错误；
对于 C 选项，估计成绩在 80 分以上的同学的成绩的平均数为
分，故 C 正确；
对于 D 选项，估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的方差为
，故 D 正确.
故选：ACD.
11. 如图，已知正方体 的棱长为 2，点 M 为 的中点，点 P 为底面 上的动点
（包括边界），则（ ）
A. 满足 平面 的点 P 的轨迹长度为
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B. 满足 的点 P 的轨迹长度小于
C. 存在点 P 满足
D. 存在点 P 满足
【答案】AC
【解析】
【分析】构造面面平行，确定 点轨迹，求其长度，判断 A 的真假；确定 P 的轨迹，根据弧长与弦长的关
系判断 B 的真假；取特殊点验证 C 的真假；转化为两点之间直线段最短求 的最小值，可判断 D 的
真假.
【详解】对 A：如图：
取 中点 ， 中点 ，连接 ，则易证平面 平面 ，此时 平面
，
故 平面 时， 点的轨迹为线段 .
因为正方体棱长为 2，所以 ，故 A 正确；
对 B：如图：
因为 ，且 ，所以 ，此时 点轨迹为以 为圆心，半径为 的
圆在正方形 内的部分，易得 分别为 ， 中点，
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所以 ，故劣弧 的长度大于 ，故 B 错误；
对 C：如图：
当 为正方形 中心时， ， ， ，
所以 ，所以 ，故 C 正确；
对 D：如图：
做 点关于平面 的对称点 ，则 在直线 上，且 ，连接 ，
则 ，且 .故 D 错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：对 B 选项，一定要弄清楚 点的轨迹.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知单位向量 ， ， 满足 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意作图，根据平面向量线性运算的几何意义，结合数量积的定义式，可得答案.
【详解】由题意，作等腰 ，且 ，记 的中点为 ，连接 ，如下图：
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设 ， ，
由图可知 ，
由 为单位向量，则 ，
在等腰 中，易知 ，
在 中， ，则 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
13. 某校举办一年一度的田径运动会，其中田赛含跳高、跳远、三级跳远、标枪和铅球等 5 个项目，径赛含
100 米、110 米栏、400 米、1000 米等 4 个项目.某班为选拔优秀运动员，在班内组织选拔赛，要求同学们积
极报名参赛，每位同学田赛与径赛各至少报名 1 个项目，且每人至多报 3 个项目，则每位同学的报名方案
共有________种.（用数字作答）
【答案】90
【解析】
【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及组合的计算即可得解.
【详解】当只报两个项目，由题意： ；
若报 3 个项目，由题意： ；
所以共有 90 中，
故答案为：90
14. 已知 ， ，若对任意 ，都存在 ，使得
，则实数 a 的取值范围为________.
【答案】
【解析】
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【分析】由 得 .设 ， ，求导，分析函数单调性，
求两个函数的值域，再根据函数值域的包含关系求 的取值范围.
详解】由 得 ，
设 ， ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
所以 .
且当 时， ；当 时， ，
故 的值域为 ；
设 ， ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
所以 ，
且当 时， ；当 时， ，
故 的值域为 ；
依题意， 的值域是 的值域的子集.
显然 ，若 ，则 的值域为 ，不合题意，舍去；
若 ，则 的值域 ，
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则需 的值域 ，则 ，解得 .
综上，实数 a 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：由 得 .设 ， ，对任意
，都存在 ，使得 就转化成 的值域是 的值域的子集.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 的内角 的对边分列为 ，已知 .
（1）证明： ；
（2）若点 是 边上一点， 平分 ， ，且 的面积是 面积的 2 倍，求 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角得到 ，再结合角的范围即可求证；
（2）通过 ，得到 及 ，进而求出 .法一：由
即可求解；法二：由 ，平方求解；法三：由正弦定理 求解即可；
【小问 1 详解】
因为 ，由正弦定理得 ，
在 中，有 ，所以 ，
即 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，或 （舍去），
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所以 .
【小问 2 详解】
平分 ，
的面积是 面积的 2 倍，
，即 ，
设 AB 边上的高为 h，又 ，即 ，
， ， ， .
以下有不同解法.
解法一：
， ，
即 ， .
解法二：
在 中由余弦定理得， ，即 ①
由 .则 ，又 ，
，即 ②.
由①②联立得， .
解法三：
在 中由正弦定理得，
又 ， ，
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，
，又 A 为 中较小的角， ， ，则 ， .
16. 如图 1 所示，在平行四边形 EBCD 中， ，垂足为 ， ，将 沿
折到 的位置，使得二面角 的大小为 ，如图 2 所示，点 为棱 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）证明： ；
（3）若点 在棱 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，先证 平面 ，进而可得面面垂直；
（2）法一：通过证明线面垂直推出线线垂直；法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；
（3）利用空间向量，根据已知的线面角确定 点的位置，再求 的值.
【小问 1 详解】
由题意可知，图 2 中 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 .
又 面 ，所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
解法一：由平面几何知识可知 ，在图 2 中取 AD 中点 O，连接 MO，PO，
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因为 M 为 AB 中点，所以 ， ，
因为 ， ，所以 为二面角 的平面角，
所以 ，则 为等边三角形，所以 .
又平面 平面 ABCD，交线为 AD，所以 平面 ABCD，所以 .
又 ，且 平面 PMO，所以 平面 PMO.
又 平面 PMO，所以 .
解法二：因为 ， ，所以 为二面角 的平面角，所以 ，
以 A 为原点，AB，AD 所在直线为 x，y 轴，平行于 PO 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ， ，
则 ， ，
所以 ，
所以 .
【小问 3 详解】
以 A 为原点，AB，AD 所在直线为 x，y 轴，平行于 PO 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ， ，
设 ，面 AMN 的法向量为 ， ，
，
则 ，取 ，则 .
又 ，所以
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因为直线 PC 与平面 AMN 所成角 正弦值为 ，所以
解得 ， ， ，
当 时，直线 PC 与平面 AMN 所成角的正弦值为 .
17. 甲乙两人轮流投掷质地均匀的骰子，第一轮甲先后投掷两次，接着乙先后投掷两次，依此轮流每人连续
投掷两次.
（1）甲先后投掷两次，在第一次掷出偶数点的条件下，求甲两次掷出的点数之和大于 6 的概率；
（2）若第一轮甲连续两次掷出的点数均为偶数，则甲获胜.同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到
有人连续两次掷出的点数均为偶数，则此人获胜且比赛结束.求甲获胜的概率.（注：若 ，当
时， 看作 0）
【答案】（1） .
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据条件概率公式，先确定事件 和 ，再分别计算 和 ，进而求得 .
（2）通过设甲获胜的概率为 ，分析甲在不同轮次获胜的情况，借助等比数列求和公式计算.
【小问 1 详解】
设事件 “甲第一次掷出偶数点”，事件 “甲两次掷出的点数之和大于 6”，
样本空间 ，
样本空间包含的样本点个数为 ，且每个样本点都是等可能的.
， ，
， ，
则 ， ，
所以 ，（或 ）
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即在甲第一次掷出偶数点的条件下，两次掷出的点数之和大于 6 的概率为 .
【小问 2 详解】
若甲第一轮获胜，概率为 ；
若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第二轮甲投掷后的两个点数都为偶数，
概率为 ；
若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，第三轮甲投掷后的两个点数都为偶数，
概率为 ；
由以上可得，若甲第 轮获胜，即前 轮投掷后两人的两个点数均不都为偶数，
第 n 轮甲投掷后 两个点数都为偶数.概率为 ；
于是， ， ， ，…， 组成一个以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 .
则当 时， ，故甲获胜的概率为 .
18. 已知点 ， 是圆 与椭圆 的公共点，且
点 M，N 和椭圆的一个焦点相连构成一个等腰直角三角形.
（1）求 r 的值和椭圆 C 的方程；
（2）过点 M 的直线 l 分别交圆 O 和椭圆 C 于 A，B 两点.
（i）若 ，求直线 l 的方程；
（ii）P 是 C 上一点，直线 MP 斜率为 m，直线 NA 斜率为 n， ，求 面积的最大值.
【答案】（1） ， .
（2）（i） 或 .（ii） .
【解析】
【分析】（1）根据题设，可轻松确定 的值及椭圆方程.
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（2）（i）设直线 ： ，分别与圆及椭圆的方程联立，可求出 ， 点的坐标，再根据
列式，可求 的值，得到直线 的方程.
（ii）先根据（i）中的结论，结合 ，可得直线 经过定点，再设直线 方程，与椭圆方程联立，
利用弦长公式得 ，表示出 的面积，结合“对钩函数”的单调性求最大值.
【小问 1 详解】
因为点 M，N 是圆 O 与椭圆 C 的公共点.所以 ， .
又 M，N 和椭圆的一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点.
所以 ， ，所以椭圆 C 的方程为 .
【小问 2 详解】
如图：
（i）因为过点 M 的直线 l 交圆 O 和椭圆 C 分别于 A，B 两点，
所以直线的斜率存在，则可设直线 l 的方程为 ，
由 .得 .则可得 .
同理，由 ，解得
又已知点 ，则 ， ，
因为 ，
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因为 ，所以 ，所以直线 的方程为 或 .
（ii）解法一：根据题意可知 ，设 ，则 ，由 ，得出 ，
由（i）可得 ，同理得
由对称性可得 PB 经过 y 轴上一定点 ，由 P，B，T 三点共线可得：
，从而 ，
整理可得：
化简可得： ，
因为 ， ，所以 ，所以直线 PB 过定点 .
设 ， ，则 ，显然 PB 斜率存在，设
由 ，得 ， ，
令 ，所以 ，所以 .
时 单调递增. ，即 时，三角形面积有最大值 ，
综上：当 PB 斜率为 0 时三角形 MPB 面积有最大值 .
解法二：根据题意可知 ，设 ，则 ，由 ，得出 ，
方程 表示直线 MP，MB，
上式可化为
由 得 ，代入 式，则有
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即
则点 P，B 的坐标满足方程 ，
又过点 P，B 的直线唯一，且 ，所以直线 PB 方程为 .
令 ，则直线 PB 过定点 .
下同解法一.
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是先根据 推到出直线 经过定点 .
19. 已知集合 ，设 S 的所有元素按一定顺序排列得到数列 和
.若 X 和 Y 满足 ，则称 X 和 Y 关于 S 封闭.
（1）若 ， ，写出两个不同的数列 Y，使得 X 和 Y 关于 S 封闭；
（2）已知数列 ， 和 Z 关于 S 封闭.
（i）若随机变量 服从 ， ，求 ；
（ii）证明：存在不同于 X 的数列 Y，使得 Y 和 Z 关于 S 封闭.
（参考公式： ）
【答案】（1） .
（2）（i） ；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据 和 Z 关于 S 封闭的定义写出即可；
（2）（i）根据全封闭定义结合数表法以及均值公式分析计算即可. （ii）利用反证法，得到互相矛盾的结论.
【小问 1 详解】
数列 Y 可以为 .（写对两个即可）
【小问 2 详解】
（i）由数列 Z 和 X 可以构成数表 1，
0 1 2 … …
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… …
因为 X 和 Z 关于 S 封闭，所以 和 取遍 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 .
（ii）交换数表 1 中的两行，记该过程为第一次操作，得到数表 2
… …
0 1 2 … …
调整数表 2 各列顺序，使数表 2 的第一行变为 ，数表 2 的第二行变为 ，
记该过程为第二次操作，得到数表 3
0 1 2 … …
… …
因为 X 和 Z 关于 S 封闭，所以经过以上两次操作后，可知数列 与数列 Z 关于 S 封闭，
假设数列 X 和 Y 相同，则 ， ，…， ，不妨设 ， ，
经过第一次操作后，数表 2 中 与 同列.因此 ，故 .
因为 ，故 .
另一方面，因为 X 和 Z 关于 S 封闭，所以 ，取遍 ，
则有 ，从而与 矛盾
所以存在不同于 X 的数列 Y，使得 Y 和 Z 关于 S 封闭.
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