专题06 导数的应用-2023年高考数学尖子生强基计划校考讲义及强基真题解析

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1.【2022年中科大3】已知，
（1）求满足什么条件恒成立。
（2）若存在,使得则满足什么条件。
2【2021年清华4】恰有一个实数使得成立，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
3.【2020年清华17．】已知函数，则的最大值与最小值的和是（ ）．
A．2B．C．3D．4
二、知识要点拓展
一．导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限（*）存在，则称函数在点可导，并称其极限值为函数在的导数，记作。
若令，则（*）式可改写为
。
二．导数的几何意义：
函数在点的导数是曲线在点处切线的斜率。若表示这个切线与轴正向的夹角，则。
三．基本求导法则：
①； ②，（为常数）；
③； ④反函数导数 ；
⑤复合函数导数 。
四．基本初等函数导数公式
①（为常数）； ②（为任何实数）；
③，， ，，
，；
④， ；
⑤；
⑥。
五.原函数：设是定义在区间上的函数，若存在函数，对任意都有，则称是的一个原函数。
一个函数若存在原函数，它必定有无穷多个原函数，若是的一个原函数，则表示的全体原函数.
六．不定积分：设是的一个原函数，则称的全体原函数为的不定积分。记为，即。
七.不定积分的性质：
①； ②，
③， ④。
八．常见积分公式
， ，
， ，
， ，
， ，
。
九．函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。
三、典例精讲
类型一：导数的定义
例1．已知在处可导，且，求下列极限：
（1）； （2）
练习1：若函数在区间内可导，且则
的值为（ ）
A． B． C． D．
练习2：（2000上海交大）已知在处可导，则 。
类型二：基本初等函数的导数
例2．求函数的导数。
练习3.,若,则的值等于（ ）
例3．函数的导数为_________________；
例4．求函数的导数。
例5．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
类型三：导数证明不等式
例6．求证下列不等式
（1） （相减）
（2） （相除）
（3）
例7．已知函数，，
（1）证明：当时，恒有
（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围;
。
类型四：利用导数求和
例8．利用导数求和：
（1）；
（2）。
类型五：导数与数列的综合应用
例9．已知函数，是方程的两个根，是的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数，都有；
（3）记（），求数列的前项和。
四、强基真题训练
1.若，则（ ）
A． B． C． D．
2.（上海交大）设，则（ ）
-2 （B）2 （C）-4 （D）4
3.与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则
与满足（ ）
A． B．为常数函数
C． D．为常数函数
4.若,则等于（ ）
A． B． C．D．
5.若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）
6.于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A． B.
C. D.
7.函数在点处的导数是 ( )
A． B． C． D．
8.设(是两两不等的常数),则的值是 ______________.
9.证明下面不等式：
（1）已知：，求证；
（2）已知：，求证：。
10.已知函数
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）当时，求证:
11.设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，
(Ⅰ) 判断函数在上的单调性；
(Ⅱ) 设，，比较与的大小，并证明你的结论；
（Ⅲ）设，，，若，比较与的大小，并证明你的结论.
12.设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞
(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
五、强化训练
A组
1. 函数的极小值、极大值分别为（ ）
A.极小值0，极大值4 B.极小值-16，极大值4
C.极小值-1，极大值4 D.极小值0，极大值1
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的单调递减区间为____________
4. 若四次函数有四个根，则它的导函数有多少个根？
5. 若方程有3个不同实根，求实数的取值范围
6. 已知三次方程只有一个实根是正的，求的取值范围
7. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围
8. 已知三次曲线的图象关于点中心对称
（1）求常数
（2）若曲线与直线相切，求曲线的方程
B组
1. 一元三次函数的三次项系数为，的解集为
（1）若有两个相等实根，求的解析式
（2）若在上单调递减，求的取值范围
2. 设三次函数，在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为
（1）求证：
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围
3. 已知定义在正实数集上的函数，其中，设两曲线，有公共点，且在公共点处的切线相同
（1）若，求的值
（2）用表示，并求的最大值
4. 已知函数.
（1）若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（2）若函数的图像在处的切线的斜率为0，且，已知，求证：；
六、高考真题训练
1．(2022高考北京卷·第20题)已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意，有．
2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第21题)已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则环．
3．(2022年浙江省高考数学试题·第22题)设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
(ⅰ)若，则；
(ⅱ)若，则．
(注：是自然对数的底数)
4．(2022新高考全国II卷·第22题)已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
5．(2022新高考全国I卷·第22题)已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
6．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第21题)已知函数
(1)当时，求曲线在点处切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
7．(2021年高考浙江卷·第22题)设a，b为实数，且，函数
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
(3)当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足．
(注：是自然对数的底数)
8．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第22题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点
①；
②．
9．(2021年新高考Ⅰ卷·第22题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：．
10．(2021年高考全国乙卷理科·第20题)设函数，已知是函数的极值点．
(1)求a；
(2)设函数．证明:．
11．(2021年高考全国甲卷理科·第21题)已知且，函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
12．(2021高考北京·第19题)已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
13．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第21题)已知函数．
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围．
14．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第21题)已知函数f(x)=sin2xsin2x．
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
(2)证明：；
(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
15．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第21题)设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
(1)求b．
(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
16．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第21题)已知函数．
(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a取值范围．
17．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第22题)已知函数．
(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．
18．(2020天津高考·第20题)已知函数，为的导函数．
(Ⅰ)当时，
(i)求曲线在点处的切线方程；
(ii)求函数的单调区间和极值；
(Ⅱ)当时，求证：对任意的，且，有．
19．(2020北京高考·第19题)已知函数．
(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程；
(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
20．(2019年高考浙江·第22题)已知实数，设函数，．
(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；
(Ⅱ)对任意均有，求的取值范围．
注：为自然对数的底数．
21．(2019年高考天津理·第20题)设函数为的导函数．
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)当时，证明；
(Ⅲ)设为函数在区间内的零点，其中，证明．
22．(2019年高考全国Ⅲ理·第20题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．
23．(2019年高考全国Ⅱ理·第20题)已知函数．
讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．
24．(2019年高考全国Ⅰ理·第20题)已知函数，为的导数．证明：
(1)在区间存在唯一极大值点；
(2)有且仅有2个零点．
25．(2019年高考江苏·第19题)设函数、为的导函数．
(1)若，，求的值；
(2)若，且和的零点均在集合中，求的极小值；
(3)若，且的极大值为，求证:．
26．(2019年高考北京理·第19题)已知函数．
(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程；
(Ⅱ)当时，求证：；
(Ⅲ)设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值．
27．(2018年高考数学江苏卷·第19题)(本小题满分16分)记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．
(1)证明：函数与不存在“S点”；
(2)若函数与存在“S点”，求实数a的值；
(3)已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．
28．(2018年高考数学浙江卷·第22题)(本题满分15分)已知函数．
(1)若在处导数相等，证明：；
(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．
29．(2018年高考数学天津(理)·第20题)(本小题满分14分)已知函数，，其中．
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明
；
(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．
30．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第21题)已知函数．
(1)若，证明：当时，，当时，；
(2)若是的极大值点，求．
31．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第21题)(12分)
已知函数．
(1)若，证明：当时，；
(2)若在只有一个零点，求．
32．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第21题)(12分)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，证明：．
33．(2018年高考数学北京(理)·第18题)(本小题13分)设函数．
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与轴平行，求；
(Ⅱ)若在处取得极小值，求的取值范围．