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2022年高考数学强基计划讲义 专题6：导数的应用【原卷及解析版】
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【2021年清华4】恰有一个实数使得成立，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
2.【2020年清华17．】已知函数，则的最大值与最小值的和是（ ）．
A．2B．C．3D．4
二、知识要点拓展
一．导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限（*）存在，则称函数在点可导，并称其极限值为函数在的导数，记作。
若令，则（*）式可改写为
。
二．导数的几何意义：
函数在点的导数是曲线在点处切线的斜率。若表示这个切线与轴正向的夹角，则。
三．基本求导法则：
①； ②，（为常数）；
③； ④反函数导数 ；
⑤复合函数导数 。
四．基本初等函数导数公式
①（为常数）； ②（为任何实数）；
③，， ，，
，；
④， ；
⑤；
⑥。
五.原函数：设是定义在区间上的函数，若存在函数，对任意都有，则称是的一个原函数。
一个函数若存在原函数，它必定有无穷多个原函数，若是的一个原函数，则表示的全体原函数.
六．不定积分：设是的一个原函数，则称的全体原函数为的不定积分。记为，即。
七.不定积分的性质：
①； ②，
③， ④。
八．常见积分公式
， ，
， ，
， ，
， ，
。
九．函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。
三、典例精讲
例1．已知在处可导，且，求下列极限：
（1）； （2）
练习1：若函数在区间内可导，且则
的值为（ ）
A． B． C． D．
练习2：（2000上海交大）已知在处可导，则 。
例2．求函数的导数。
练习3.,若,则的值等于（ ）
B． C． D．
例3．函数的导数为_________________；
例4．求函数的导数。
例5．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
例6．求证下列不等式
（1） （相减）
（2） （相除）
（3）
例7．已知函数，，
（1）证明：当时，恒有
（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围;
例8．利用导数求和：
（1）；
（2）。
例9．已知函数，是方程的两个根，是的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数，都有；
（3）记（），求数列的前项和。
四、真题训练
1.若，则（ ）
A． B． C． D．
2.（上海交大）设，则（ ）
-2 （B）2 （C）-4 （D）4
3.与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则
与满足（ ）
A． B．为常数函数
C． D．为常数函数
4.若,则等于（ ）
A． B． C．D．
5.若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）
6.于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A． B.
C. D.
7.函数在点处的导数是 ( )
A． B． C． D．
8.设(是两两不等的常数),则的值是 ______________.
9.证明下面不等式：
（1）已知：，求证；
（2）已知：，求证：。
10.已知函数
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）当时，求证:
11.设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，
(Ⅰ) 判断函数在上的单调性；
(Ⅱ) 设，，比较与的大小，并证明你的结论；
（Ⅲ）设，，，若，比较与的大小，并证明你的结论.
12.设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞
(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
五、强化训练
A组
1. 函数的极小值、极大值分别为（ ）
A.极小值0，极大值4 B.极小值-16，极大值4
C.极小值-1，极大值4 D.极小值0，极大值1
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的单调递减区间为____________
4. 若四次函数有四个根，则它的导函数有多少个根？
5. 若方程有3个不同实根，求实数的取值范围
6. 已知三次方程只有一个实根是正的，求的取值范围
7. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围
8. 已知三次曲线的图象关于点中心对称
（1）求常数
（2）若曲线与直线相切，求曲线的方程
B组
1. 一元三次函数的三次项系数为，的解集为
（1）若有两个相等实根，求的解析式
（2）若在上单调递减，求的取值范围
2. 设三次函数，在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为
（1）求证：
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围
3. 已知定义在正实数集上的函数，其中，设两曲线，有公共点，且在公共点处的切线相同
（1）若，求的值
（2）用表示，并求的最大值
4. 已知函数.
（1）若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（2）若函数的图像在处的切线的斜率为0，且，已知，求证：；
【2021年清华4】恰有一个实数使得成立，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
2.【2020年清华17．】已知函数，则的最大值与最小值的和是（ ）．
A．2B．C．3D．4
二、知识要点拓展
一．导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限（*）存在，则称函数在点可导，并称其极限值为函数在的导数，记作。
若令，则（*）式可改写为
。
二．导数的几何意义：
函数在点的导数是曲线在点处切线的斜率。若表示这个切线与轴正向的夹角，则。
三．基本求导法则：
①； ②，（为常数）；
③； ④反函数导数 ；
⑤复合函数导数 。
四．基本初等函数导数公式
①（为常数）； ②（为任何实数）；
③，， ，，
，；
④， ；
⑤；
⑥。
五.原函数：设是定义在区间上的函数，若存在函数，对任意都有，则称是的一个原函数。
一个函数若存在原函数，它必定有无穷多个原函数，若是的一个原函数，则表示的全体原函数.
六．不定积分：设是的一个原函数，则称的全体原函数为的不定积分。记为，即。
七.不定积分的性质：
①； ②，
③， ④。
八．常见积分公式
， ，
， ，
， ，
， ，
。
九．函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。
三、典例精讲
例1．已知在处可导，且，求下列极限：
（1）； （2）
练习1：若函数在区间内可导，且则
的值为（ ）
A． B． C． D．
练习2：（2000上海交大）已知在处可导，则 。
例2．求函数的导数。
练习3.,若,则的值等于（ ）
B． C． D．
例3．函数的导数为_________________；
例4．求函数的导数。
例5．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
例6．求证下列不等式
（1） （相减）
（2） （相除）
（3）
例7．已知函数，，
（1）证明：当时，恒有
（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围;
例8．利用导数求和：
（1）；
（2）。
例9．已知函数，是方程的两个根，是的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数，都有；
（3）记（），求数列的前项和。
四、真题训练
1.若，则（ ）
A． B． C． D．
2.（上海交大）设，则（ ）
-2 （B）2 （C）-4 （D）4
3.与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则
与满足（ ）
A． B．为常数函数
C． D．为常数函数
4.若,则等于（ ）
A． B． C．D．
5.若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）
6.于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A． B.
C. D.
7.函数在点处的导数是 ( )
A． B． C． D．
8.设(是两两不等的常数),则的值是 ______________.
9.证明下面不等式：
（1）已知：，求证；
（2）已知：，求证：。
10.已知函数
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）当时，求证:
11.设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，
(Ⅰ) 判断函数在上的单调性；
(Ⅱ) 设，，比较与的大小，并证明你的结论；
（Ⅲ）设，，，若，比较与的大小，并证明你的结论.
12.设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞
(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
五、强化训练
A组
1. 函数的极小值、极大值分别为（ ）
A.极小值0，极大值4 B.极小值-16，极大值4
C.极小值-1，极大值4 D.极小值0，极大值1
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的单调递减区间为____________
4. 若四次函数有四个根，则它的导函数有多少个根？
5. 若方程有3个不同实根，求实数的取值范围
6. 已知三次方程只有一个实根是正的，求的取值范围
7. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围
8. 已知三次曲线的图象关于点中心对称
（1）求常数
（2）若曲线与直线相切，求曲线的方程
B组
1. 一元三次函数的三次项系数为，的解集为
（1）若有两个相等实根，求的解析式
（2）若在上单调递减，求的取值范围
2. 设三次函数，在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为
（1）求证：
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围
3. 已知定义在正实数集上的函数，其中，设两曲线，有公共点，且在公共点处的切线相同
（1）若，求的值
（2）用表示，并求的最大值
4. 已知函数.
（1）若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（2）若函数的图像在处的切线的斜率为0，且，已知，求证：；
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