专题03 不等式性质与证明-2023年高考数学尖子生强基计划校考讲义及强基真题解析

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1.【2022年中科大3】已知，
（1）求满足什么条件恒成立。
（2）若存在,使得则满足什么条件。
答案：，q=0
解析：（1）令
故即.
的区间只有两段.
故当.即，则有四重根，即
经过对比系数，可知.
故当.即，则有两个不同根。于是只能一个是三重根，是一重根。即
综上所述，.
【2020中科大11．】已知，证明：当时，不等式成立，且当时，该不等式不成立．
解析：考虑积分不等式放缩，由于
，
从而当时，该不等式不成立．
3.【2020年武大】设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根，则（ ）
A. B.
C. D. ，，成等差数列
解析：根据对称性可选ABC
二、知识要点拓展
1. 作差比较与作商比较法
作差比较：
作商比较法：
注：作完差之后，我们一般采用配方或因式分解
只有正数的比较大小我们才会采用作商比较
2. 逐步调整法
特征：变量的个数大等于三个；
变量之间满足对称性；
等号在相等或极端值时取到。
注：逐步调整法可以和反证法相结合；这样步骤显得更精简些。
3.绝对值不等式
公式：
等号成立条件：A与B同号或异号时取到
注：不等式中加减号的选取依照具体题目的特点而定，关键是削去变量。
不等式中的等号成立条件一定要牢固掌握
不等式可以从两个进行推广
4．构造法与放缩法
构造法：一般我们可以构造函数，三角形或四边形来解决不等式的证明问题；这些问题需要我们丰富的联想和扎时的基础。
放缩法：一般运用在多变量求和的不等式中，许多式子在没有放缩时是无法求和的，经常是需要放缩之后，通过裂项相削来求和。所以，这类题目经常和数列结合在一起考。
5．不等式的衍生问题
不等式经常和函数，数列等内容结合在一起考，属于比较重要和综合的考点；这更要求我们在打牢基础的同时，积极思考，注意类比和推广，这样才能掌握好这块内容。
三、应试技巧和准备策略
强基计划中涉及到不等式的问题主要分为三类：不等式的证明、解不等式、不等式的应用，其中“不等式的证明”是难点。
证明不等式没有固定的程序，证法因题而异，而且灵活多样、技巧性强，一个不等式的证法常不止一种。证明不等式的基本方法主要有： 反证法、数学归纳法、变量代换法、构造法（如构造函数、构造图形）等。
四、例题精讲
例1.（复旦）设有集合，
满足，则实数的取值范围是（ ）。
（B） （C） （D）
►答案B
►分析与解答：先解不等式或解得：
即；再解不等式或
或，或
若，则T：不满足条件；若，则T：或满足条件；若，
T：或满足条件；若，则T：满足条件；若，则T：或满足条件。综上，。
例2.（复旦）设实数，且满足，则函数的最大值是（ ）。
（B） （C） （D）
►答案C
►分析与解答：由于，，所以，
，当且仅当时取等号。
例3.（同济）求证：对于任何实数，三个数中至少有一个不小于。
►分析与解答：
解法一：用反证法。
①
②
③
若，则
由①+②得：。由③得：，矛盾！
解法二：由绝对值不等式性质，得，
故中至少有一个不小于。
例4.（清华），数列满足，且。
求的通项；
求证：。
►分析与解答：
（1），，所以，，所以
。令，。
，。
（2）。
时由均值不等式
。所以。注意到单调递增，且
。所以。
例5.（清华）如图：，且，求面积的最大值。（原题为选择题）

►分析与解答：
连结，
。
等号成立时，，即。
例6.（复旦）设，则有性质（ ）
对任何实数，总是大于0
对任何实数，总是小于0
当时，
以上均不对
►分析与解答：
解法一：注意到含的偶次方幂的项，其系数为正；含的奇次方幂的项，其系数为负，故时，
显然成立。
再注意到对，而，故当时，也成立。
最后当时，，
故仍成立。
综上，对，，选。
解法二：配方法
。
注：配方法是最基本的方法，尤其在证明时常用。
例7.设，且，求证
►分析与解答：
，也即
，因此
。
例8.（北大）求的最小值。
►分析与解答：
首先设，。则由绝对值的几何意义知，为奇数时，当时，有最小值；为偶数时，当任何值时，有最小值。
回到原题，
，共有：
个点。设
。
因为。
现在求和的值。设，则，
。
可得。且，故时，的值最小。

例9.已知，且，求的最小值。
►分析与解答：
方法（一）利用，再用基本不等式即可证明。
方法（二）设，故有。
。当且仅当同时成立时上述不等式取“=”，
即，代入，解得，此时，故的最小值为36。
例10.（清华）已知实数，，，当取到最大值时，有多少个-6？
►分析与解答：
设，则，且，。
于是原问题转化为当取最大值时，有几个。
当中有不少于两个数，且同时不等于0，不等于16时，设为。
①时，则
（看作一个关于的一次函数，，单调递减）。
即，故不改变其他数字，用16代替，代替，增大；
②时，则。故用0代替，代替，增大。
综上，当取最大值时，至多只有一个，且。
而，故中应取6个16,1个14,3个0，即有3个-6.
五、强基真题精练
1.（复旦）若实数满足：对任意正数，均有，则的取值范围是（ ）
（B）
（C） （D）不能确定
B。对，有，故，即，从而。
2.（复旦）设为非负实数，且满足方程，则的最大值和最小值（ ）。
互为倒数 （B）其和为13 （C）其乘积为4 （D）均不存在
C。，所以或。从而，所以，当且仅当时取最大值，时取最小值。
3.（复旦）下列不等式中正确的是（ ）
（B）
（C） （D）
C。因为
所以
4.（交大）已知是非负整数，且，，则的取值范围是 。
。，故，，所以。
5.（交大）已知不等式组有唯一解，则 。
。由条件，，所以，得：。
6.（复旦）是各不相同的自然数，，求证：。
原式
7.（复旦）满足何条件，可使恒成立？
。因为，所以，
即且。由前一式得且；由后一式得
，得：。所以
。
（复旦）求证：。
，所以原式。
（交大）已知正整数列，对大于的，有，
。试证：中至少有一个小于。
若结论不成立，则对任意有。设，则，且，
，
而，矛盾。
高考真题精练
【2021年】
1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）.（2）.
【分析】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，
当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，
所以的解集为.
（2）依题意，即恒成立，
，
当且仅当时取等号，,
故，
所以或，
解得.
所以的取值范围是.
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【分析】（1）函数的定义域为，
又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为.
（2）因为，故，即，
故，
设，由（1）可知不妨设.
因为时，，时，，
故.
先证：，
若，必成立.
若， 要证：，即证，而，
故即证，即证：，其中.
设，
则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，所以成立，
综上，成立.
设，则，
结合，可得：，
即：，故，
要证：，即证，即证，
即证：，即证：，
令，
则，
先证明一个不等式：.
设，则，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
故成立
由上述不等式可得当时，，故恒成立，
故在上为减函数，故，
故成立，即成立.
综上所述，.
【2012年——2020年】
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）.
【分析】
（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；
（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．
【详解】
（1）因为，作出图象，如图所示：
（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：
由，解得．
所以不等式的解集为．
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）当时，.
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或.
（2）（当且仅当时取等号），
，解得：或，
的取值范围为.
3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca1的解集．
【答案】（1）见解析（2）xx